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Theorem tendodi1 35580
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendopl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendopl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendopl.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
Assertion
Ref Expression
tendodi1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  ( U P V ) )  =  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) )
Distinct variable groups:    t, s, E    f, s, t, T   
f, W, s, t
Allowed substitution hints:    P( t, f, s)    S( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    H( t, f, s)    K( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem tendodi1
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simpr1 1002 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  S  e.  E )
3 simpr2 1003 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  U  e.  E )
4 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  V  e.  E )
5 tendopl.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 tendopl.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
7 tendopl.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
8 tendopl.p . . . . 5  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
95, 6, 7, 8tendoplcl 35577 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  e.  E
)
101, 3, 4, 9syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U P V )  e.  E )
115, 7tendococl 35568 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( U P V )  e.  E )  ->  ( S  o.  ( U P V ) )  e.  E )
121, 2, 10, 11syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  ( U P V ) )  e.  E )
135, 7tendococl 35568 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  U  e.  E
)  ->  ( S  o.  U )  e.  E
)
141, 2, 3, 13syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  U
)  e.  E )
155, 7tendococl 35568 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( S  o.  V )  e.  E
)
161, 2, 4, 15syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  V
)  e.  E )
175, 6, 7, 8tendoplcl 35577 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  o.  U )  e.  E  /\  ( S  o.  V
)  e.  E )  ->  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) )  e.  E
)
181, 14, 16, 17syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) )  e.  E )
19 simplll 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  K  e.  HL )
20 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  W  e.  H )
21 simplr1 1038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  S  e.  E )
22 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
23 simplr2 1039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  U  e.  E )
24 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
255, 6, 7tendocl 35563 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( U `  g )  e.  T
)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( U `  g )  e.  T )
27 simplr3 1040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  V  e.  E )
285, 6, 7tendocl 35563 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( V `  g )  e.  T
)
2922, 27, 24, 28syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( V `  g )  e.  T )
305, 6, 7tendovalco 35561 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  S  e.  E )  /\  ( ( U `  g )  e.  T  /\  ( V `  g
)  e.  T ) )  ->  ( S `  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g )
) )  =  ( ( S `  ( U `  g )
)  o.  ( S `
 ( V `  g ) ) ) )
3119, 20, 21, 26, 29, 30syl32anc 1236 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g
) ) )  =  ( ( S `  ( U `  g ) )  o.  ( S `
 ( V `  g ) ) ) )
328, 6tendopl2 35573 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( U P V ) `  g
)  =  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) )
3323, 27, 24, 32syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( U P V ) `  g )  =  ( ( U `
 g )  o.  ( V `  g
) ) )
3433fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  ( ( U P V ) `  g ) )  =  ( S `  (
( U `  g
)  o.  ( V `
 g ) ) ) )
355, 6, 7tendocoval 35562 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  U
) `  g )  =  ( S `  ( U `  g ) ) )
3619, 20, 21, 23, 24, 35syl221anc 1239 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  U
) `  g )  =  ( S `  ( U `  g ) ) )
375, 6, 7tendocoval 35562 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  V
) `  g )  =  ( S `  ( V `  g ) ) )
3819, 20, 21, 27, 24, 37syl221anc 1239 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  V
) `  g )  =  ( S `  ( V `  g ) ) )
3936, 38coeq12d 5165 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S  o.  U ) `  g
)  o.  ( ( S  o.  V ) `
 g ) )  =  ( ( S `
 ( U `  g ) )  o.  ( S `  ( V `  g )
) ) )
4031, 34, 393eqtr4rd 2519 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S  o.  U ) `  g
)  o.  ( ( S  o.  V ) `
 g ) )  =  ( S `  ( ( U P V ) `  g
) ) )
4122, 21, 23, 13syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S  o.  U )  e.  E )
4222, 21, 27, 15syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S  o.  V )  e.  E )
438, 6tendopl2 35573 . . . . 5  |-  ( ( ( S  o.  U
)  e.  E  /\  ( S  o.  V
)  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) `  g
)  =  ( ( ( S  o.  U
) `  g )  o.  ( ( S  o.  V ) `  g
) ) )
4441, 42, 24, 43syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) ) `  g )  =  ( ( ( S  o.  U ) `
 g )  o.  ( ( S  o.  V ) `  g
) ) )
4522, 23, 27, 9syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( U P V )  e.  E )
465, 6, 7tendocoval 35562 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  ( U P V )  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  ( U P V ) ) `
 g )  =  ( S `  (
( U P V ) `  g ) ) )
4722, 21, 45, 24, 46syl121anc 1233 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  ( U P V ) ) `
 g )  =  ( S `  (
( U P V ) `  g ) ) )
4840, 44, 473eqtr4rd 2519 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  ( U P V ) ) `
 g )  =  ( ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) `  g
) )
4948ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  A. g  e.  T  ( ( S  o.  ( U P V ) ) `  g )  =  ( ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) ) `  g ) )
505, 6, 7tendoeq1 35560 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( S  o.  ( U P V ) )  e.  E  /\  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) )  e.  E )  /\  A. g  e.  T  (
( S  o.  ( U P V ) ) `
 g )  =  ( ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) `  g
) )  ->  ( S  o.  ( U P V ) )  =  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) ) )
511, 12, 18, 49, 50syl121anc 1233 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  ( U P V ) )  =  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    |-> cmpt 4505    o. ccom 5003   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   TEndoctendo 35548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-undef 6999  df-map 7419  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tendo 35551
This theorem is referenced by:  erngdvlem3  35786  erngdvlem3-rN  35794
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