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Theorem tendodi1 33803
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendopl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendopl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendopl.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
Assertion
Ref Expression
tendodi1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  ( U P V ) )  =  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) )
Distinct variable groups:    t, s, E    f, s, t, T   
f, W, s, t
Allowed substitution hints:    P( t, f, s)    S( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    H( t, f, s)    K( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem tendodi1
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simpr1 1003 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  S  e.  E )
3 simpr2 1004 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  U  e.  E )
4 simpr3 1005 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  V  e.  E )
5 tendopl.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 tendopl.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
7 tendopl.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
8 tendopl.p . . . . 5  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
95, 6, 7, 8tendoplcl 33800 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  e.  E
)
101, 3, 4, 9syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U P V )  e.  E )
115, 7tendococl 33791 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( U P V )  e.  E )  ->  ( S  o.  ( U P V ) )  e.  E )
121, 2, 10, 11syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  ( U P V ) )  e.  E )
135, 7tendococl 33791 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  U  e.  E
)  ->  ( S  o.  U )  e.  E
)
141, 2, 3, 13syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  U
)  e.  E )
155, 7tendococl 33791 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( S  o.  V )  e.  E
)
161, 2, 4, 15syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  V
)  e.  E )
175, 6, 7, 8tendoplcl 33800 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  o.  U )  e.  E  /\  ( S  o.  V
)  e.  E )  ->  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) )  e.  E
)
181, 14, 16, 17syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) )  e.  E )
19 simplll 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  K  e.  HL )
20 simpllr 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  W  e.  H )
21 simplr1 1039 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  S  e.  E )
22 simpll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
23 simplr2 1040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  U  e.  E )
24 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
255, 6, 7tendocl 33786 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( U `  g )  e.  T
)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( U `  g )  e.  T )
27 simplr3 1041 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  V  e.  E )
285, 6, 7tendocl 33786 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( V `  g )  e.  T
)
2922, 27, 24, 28syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( V `  g )  e.  T )
305, 6, 7tendovalco 33784 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  S  e.  E )  /\  ( ( U `  g )  e.  T  /\  ( V `  g
)  e.  T ) )  ->  ( S `  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g )
) )  =  ( ( S `  ( U `  g )
)  o.  ( S `
 ( V `  g ) ) ) )
3119, 20, 21, 26, 29, 30syl32anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g
) ) )  =  ( ( S `  ( U `  g ) )  o.  ( S `
 ( V `  g ) ) ) )
328, 6tendopl2 33796 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( U P V ) `  g
)  =  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) )
3323, 27, 24, 32syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( U P V ) `  g )  =  ( ( U `
 g )  o.  ( V `  g
) ) )
3433fveq2d 5853 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  ( ( U P V ) `  g ) )  =  ( S `  (
( U `  g
)  o.  ( V `
 g ) ) ) )
355, 6, 7tendocoval 33785 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  U
) `  g )  =  ( S `  ( U `  g ) ) )
3619, 20, 21, 23, 24, 35syl221anc 1241 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  U
) `  g )  =  ( S `  ( U `  g ) ) )
375, 6, 7tendocoval 33785 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  V
) `  g )  =  ( S `  ( V `  g ) ) )
3819, 20, 21, 27, 24, 37syl221anc 1241 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  V
) `  g )  =  ( S `  ( V `  g ) ) )
3936, 38coeq12d 4988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S  o.  U ) `  g
)  o.  ( ( S  o.  V ) `
 g ) )  =  ( ( S `
 ( U `  g ) )  o.  ( S `  ( V `  g )
) ) )
4031, 34, 393eqtr4rd 2454 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S  o.  U ) `  g
)  o.  ( ( S  o.  V ) `
 g ) )  =  ( S `  ( ( U P V ) `  g
) ) )
4122, 21, 23, 13syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S  o.  U )  e.  E )
4222, 21, 27, 15syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S  o.  V )  e.  E )
438, 6tendopl2 33796 . . . . 5  |-  ( ( ( S  o.  U
)  e.  E  /\  ( S  o.  V
)  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) `  g
)  =  ( ( ( S  o.  U
) `  g )  o.  ( ( S  o.  V ) `  g
) ) )
4441, 42, 24, 43syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) ) `  g )  =  ( ( ( S  o.  U ) `
 g )  o.  ( ( S  o.  V ) `  g
) ) )
4522, 23, 27, 9syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( U P V )  e.  E )
465, 6, 7tendocoval 33785 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  ( U P V )  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  ( U P V ) ) `
 g )  =  ( S `  (
( U P V ) `  g ) ) )
4722, 21, 45, 24, 46syl121anc 1235 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  ( U P V ) ) `
 g )  =  ( S `  (
( U P V ) `  g ) ) )
4840, 44, 473eqtr4rd 2454 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  ( U P V ) ) `
 g )  =  ( ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) `  g
) )
4948ralrimiva 2818 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  A. g  e.  T  ( ( S  o.  ( U P V ) ) `  g )  =  ( ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) ) `  g ) )
505, 6, 7tendoeq1 33783 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( S  o.  ( U P V ) )  e.  E  /\  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) )  e.  E )  /\  A. g  e.  T  (
( S  o.  ( U P V ) ) `
 g )  =  ( ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) `  g
) )  ->  ( S  o.  ( U P V ) )  =  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) ) )
511, 12, 18, 49, 50syl121anc 1235 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  ( U P V ) )  =  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754    |-> cmpt 4453    o. ccom 4827   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   HLchlt 32368   LHypclh 33001   LTrncltrn 33118   TEndoctendo 33771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-riotaBAD 31977
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-undef 7005  df-map 7459  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-p1 15994  df-lat 16000  df-clat 16062  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369  df-llines 32515  df-lplanes 32516  df-lvols 32517  df-lines 32518  df-psubsp 32520  df-pmap 32521  df-padd 32813  df-lhyp 33005  df-laut 33006  df-ldil 33121  df-ltrn 33122  df-trl 33177  df-tendo 33774
This theorem is referenced by:  erngdvlem3  34009  erngdvlem3-rN  34017
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