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Theorem tendodi1 33803
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h |- H = ( LHyp ` K )
tendopl.t |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendopl.e |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
tendopl.p |- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tendodi1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) )
Distinct variable groups:   t, s, E   f, s, t, T   f, W, s, t
Allowed substitution hints:   P( t, f, s)   S( t, f, s)   U( t, f, s)   E( f)   H( t, f, s)   K( t, f, s)   V( t, f, s)
Proof of Theorem tendodi1
Dummy variable g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2 simpr1 1003 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> S e. E )
3 simpr2 1004 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> U e. E )
4 simpr3 1005 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> V e. E )
5 tendopl.h . . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
6 tendopl.t . . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 tendopl.e . . . . 5 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
8 tendopl.p . . . . 5 |- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
95, 6, 7, 8tendoplcl 33800 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ V e. E ) -> ( U P V ) e. E )
101, 3, 4, 9syl3anc 1230 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( U P V ) e. E )
115, 7tendococl 33791 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( U P V ) e. E ) -> ( S o. ( U P V ) ) e. E )
121, 2, 10, 11syl3anc 1230 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) e. E )
135, 7tendococl 33791 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ U e. E ) -> ( S o. U ) e. E )
141, 2, 3, 13syl3anc 1230 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. U ) e. E )
155, 7tendococl 33791 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ V e. E ) -> ( S o. V ) e. E )
161, 2, 4, 15syl3anc 1230 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. V ) e. E )
175, 6, 7, 8tendoplcl 33800 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S o. U ) e. E /\ ( S o. V ) e. E ) -> ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E )
181, 14, 16, 17syl3anc 1230 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E )
19 simplll 760 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> K e. HL )
20 simpllr 761 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> W e. H )
21 simplr1 1039 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> S e. E )
22 simpll 752 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
23 simplr2 1040 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> U e. E )
24 simpr 459 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> g e. T )
255, 6, 7tendocl 33786 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ g e. T ) -> ( U ` g ) e. T )
2622, 23, 24, 25syl3anc 1230 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( U ` g ) e. T )
27 simplr3 1041 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> V e. E )
285, 6, 7tendocl 33786 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( V ` g ) e. T )
2922, 27, 24, 28syl3anc 1230 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( V ` g ) e. T )
305, 6, 7tendovalco 33784 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ S e. E ) /\ ( ( U ` g ) e. T /\ ( V ` g ) e. T ) ) -> ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) )
3119, 20, 21, 26, 29, 30syl32anc 1238 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) )
328, 6tendopl2 33796 . . . . . . 7 |- ( ( U e. E /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) )
3323, 27, 24, 32syl3anc 1230 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) )
3433fveq2d 5853 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) = ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) )
355, 6, 7tendocoval 33785 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. U ) ` g ) = ( S ` ( U ` g ) ) )
3619, 20, 21, 23, 24, 35syl221anc 1241 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. U ) ` g ) = ( S ` ( U ` g ) ) )
375, 6, 7tendocoval 33785 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ V e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. V ) ` g ) = ( S ` ( V ` g ) ) )
3819, 20, 21, 27, 24, 37syl221anc 1241 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. V ) ` g ) = ( S ` ( V ` g ) ) )
3936, 38coeq12d 4988 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) )
4031, 34, 393eqtr4rd 2454 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) )
4122, 21, 23, 13syl3anc 1230 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S o. U ) e. E )
4222, 21, 27, 15syl3anc 1230 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S o. V ) e. E )
438, 6tendopl2 33796 . . . . 5 |- ( ( ( S o. U ) e. E /\ ( S o. V ) e. E /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) )
4441, 42, 24, 43syl3anc 1230 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) )
4522, 23, 27, 9syl3anc 1230 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( U P V ) e. E )
465, 6, 7tendocoval 33785 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ ( U P V ) e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) )
4722, 21, 45, 24, 46syl121anc 1235 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) )
4840, 44, 473eqtr4rd 2454 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) )
4948ralrimiva 2818 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> A. g e. T ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) )
505, 6, 7tendoeq1 33783 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( S o. ( U P V ) ) e. E /\ ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E ) /\ A. g e. T ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) )
511, 12, 18, 49, 50syl121anc 1235 1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2754   |-> cmpt 4453   o. ccom 4827   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   |-> cmpt2 6280   HLchlt 32368   LHypclh 33001   LTrncltrn 33118   TEndoctendo 33771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-riotaBAD 31977
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-undef 7005  df-map 7459  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-p1 15994  df-lat 16000  df-clat 16062  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369  df-llines 32515  df-lplanes 32516  df-lvols 32517  df-lines 32518  df-psubsp 32520  df-pmap 32521  df-padd 32813  df-lhyp 33005  df-laut 33006  df-ldil 33121  df-ltrn 33122  df-trl 33177  df-tendo 33774
This theorem is referenced by:  erngdvlem3  34009  erngdvlem3-rN  34017
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