Theorem tendodi1 35580

Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	|- H = ( LHyp ` K )
tendopl.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendopl.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
tendopl.p	|- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tendodi1	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) )

Distinct variable groups:   t, s, E   f, s, t, T   f, W, s, t

Allowed substitution hints:   P( t, f, s)   S( t, f, s)   U( t, f, s)   E( f)   H( t, f, s)   K( t, f, s)   V( t, f, s)

Proof of Theorem tendodi1

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		simpr1 1002	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> S e. E )
3		simpr2 1003	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> U e. E )
4		simpr3 1004	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> V e. E )
5		tendopl.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
6		tendopl.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7		tendopl.e	. . . . 5 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
8		tendopl.p	. . . . 5 |- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
9	5, 6, 7, 8	tendoplcl 35577	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ V e. E ) -> ( U P V ) e. E )
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( U P V ) e. E )
11	5, 7	tendococl 35568	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( U P V ) e. E ) -> ( S o. ( U P V ) ) e. E )
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) e. E )
13	5, 7	tendococl 35568	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ U e. E ) -> ( S o. U ) e. E )
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. U ) e. E )
15	5, 7	tendococl 35568	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ V e. E ) -> ( S o. V ) e. E )
16	1, 2, 4, 15	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. V ) e. E )
17	5, 6, 7, 8	tendoplcl 35577	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S o. U ) e. E /\ ( S o. V ) e. E ) -> ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E )
18	1, 14, 16, 17	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E )
19		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> K e. HL )
20		simpllr 758	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> W e. H )
21		simplr1 1038	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> S e. E )
22		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
23		simplr2 1039	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> U e. E )
24		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> g e. T )
25	5, 6, 7	tendocl 35563	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ g e. T ) -> ( U ` g ) e. T )
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( U ` g ) e. T )
27		simplr3 1040	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> V e. E )
28	5, 6, 7	tendocl 35563	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( V ` g ) e. T )
29	22, 27, 24, 28	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( V ` g ) e. T )
30	5, 6, 7	tendovalco 35561	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ S e. E ) /\ ( ( U ` g ) e. T /\ ( V ` g ) e. T ) ) -> ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) )
31	19, 20, 21, 26, 29, 30	syl32anc 1236	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) )
32	8, 6	tendopl2 35573	. . . . . . 7 |- ( ( U e. E /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) )
33	23, 27, 24, 32	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) )
34	33	fveq2d 5868	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) = ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) )
35	5, 6, 7	tendocoval 35562	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. U ) ` g ) = ( S ` ( U ` g ) ) )
36	19, 20, 21, 23, 24, 35	syl221anc 1239	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. U ) ` g ) = ( S ` ( U ` g ) ) )
37	5, 6, 7	tendocoval 35562	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ V e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. V ) ` g ) = ( S ` ( V ` g ) ) )
38	19, 20, 21, 27, 24, 37	syl221anc 1239	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. V ) ` g ) = ( S ` ( V ` g ) ) )
39	36, 38	coeq12d 5165	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) )
40	31, 34, 39	3eqtr4rd 2519	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) )
41	22, 21, 23, 13	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S o. U ) e. E )
42	22, 21, 27, 15	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S o. V ) e. E )
43	8, 6	tendopl2 35573	. . . . 5 |- ( ( ( S o. U ) e. E /\ ( S o. V ) e. E /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) )
44	41, 42, 24, 43	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) )
45	22, 23, 27, 9	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( U P V ) e. E )
46	5, 6, 7	tendocoval 35562	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ ( U P V ) e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) )
47	22, 21, 45, 24, 46	syl121anc 1233	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) )
48	40, 44, 47	3eqtr4rd 2519	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) )
49	48	ralrimiva 2878	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> A. g e. T ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) )
50	5, 6, 7	tendoeq1 35560	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( S o. ( U P V ) ) e. E /\ ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E ) /\ A. g e. T ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) )
51	1, 12, 18, 49, 50	syl121anc 1233	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   |-> cmpt 4505   o. ccom 5003   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   |-> cmpt2 6284   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   TEndoctendo 35548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-riotaBAD 33756

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-undef 6999  df-map 7419  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tendo 35551

This theorem is referenced by:  erngdvlem3  35786  erngdvlem3-rN  35794