Theorem tendodi1 34734

Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	|- H = ( LHyp ` K )
tendopl.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendopl.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
tendopl.p	|- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tendodi1	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) )

Distinct variable groups:   t, s, E   f, s, t, T   f, W, s, t

Allowed substitution hints:   P( t, f, s)   S( t, f, s)   U( t, f, s)   E( f)   H( t, f, s)   K( t, f, s)   V( t, f, s)

Proof of Theorem tendodi1

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		simpr1 994	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> S e. E )
3		simpr2 995	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> U e. E )
4		simpr3 996	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> V e. E )
5		tendopl.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
6		tendopl.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7		tendopl.e	. . . . 5 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
8		tendopl.p	. . . . 5 |- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
9	5, 6, 7, 8	tendoplcl 34731	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ V e. E ) -> ( U P V ) e. E )
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( U P V ) e. E )
11	5, 7	tendococl 34722	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( U P V ) e. E ) -> ( S o. ( U P V ) ) e. E )
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1219	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) e. E )
13	5, 7	tendococl 34722	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ U e. E ) -> ( S o. U ) e. E )
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. U ) e. E )
15	5, 7	tendococl 34722	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ V e. E ) -> ( S o. V ) e. E )
16	1, 2, 4, 15	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. V ) e. E )
17	5, 6, 7, 8	tendoplcl 34731	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S o. U ) e. E /\ ( S o. V ) e. E ) -> ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E )
18	1, 14, 16, 17	syl3anc 1219	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E )
19		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> K e. HL )
20		simpllr 758	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> W e. H )
21		simplr1 1030	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> S e. E )
22		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
23		simplr2 1031	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> U e. E )
24		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> g e. T )
25	5, 6, 7	tendocl 34717	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ g e. T ) -> ( U ` g ) e. T )
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( U ` g ) e. T )
27		simplr3 1032	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> V e. E )
28	5, 6, 7	tendocl 34717	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( V ` g ) e. T )
29	22, 27, 24, 28	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( V ` g ) e. T )
30	5, 6, 7	tendovalco 34715	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ S e. E ) /\ ( ( U ` g ) e. T /\ ( V ` g ) e. T ) ) -> ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) )
31	19, 20, 21, 26, 29, 30	syl32anc 1227	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) )
32	8, 6	tendopl2 34727	. . . . . . 7 |- ( ( U e. E /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) )
33	23, 27, 24, 32	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) )
34	33	fveq2d 5793	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) = ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) )
35	5, 6, 7	tendocoval 34716	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. U ) ` g ) = ( S ` ( U ` g ) ) )
36	19, 20, 21, 23, 24, 35	syl221anc 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. U ) ` g ) = ( S ` ( U ` g ) ) )
37	5, 6, 7	tendocoval 34716	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ V e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. V ) ` g ) = ( S ` ( V ` g ) ) )
38	19, 20, 21, 27, 24, 37	syl221anc 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. V ) ` g ) = ( S ` ( V ` g ) ) )
39	36, 38	coeq12d 5102	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) )
40	31, 34, 39	3eqtr4rd 2503	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) )
41	22, 21, 23, 13	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S o. U ) e. E )
42	22, 21, 27, 15	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S o. V ) e. E )
43	8, 6	tendopl2 34727	. . . . 5 |- ( ( ( S o. U ) e. E /\ ( S o. V ) e. E /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) )
44	41, 42, 24, 43	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) )
45	22, 23, 27, 9	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( U P V ) e. E )
46	5, 6, 7	tendocoval 34716	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ ( U P V ) e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) )
47	22, 21, 45, 24, 46	syl121anc 1224	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) )
48	40, 44, 47	3eqtr4rd 2503	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) )
49	48	ralrimiva 2822	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> A. g e. T ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) )
50	5, 6, 7	tendoeq1 34714	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( S o. ( U P V ) ) e. E /\ ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E ) /\ A. g e. T ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) )
51	1, 12, 18, 49, 50	syl121anc 1224	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   |-> cmpt 4448   o. ccom 4942   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   |-> cmpt2 6192   HLchlt 33301   LHypclh 33934   LTrncltrn 34051   TEndoctendo 34702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-riotaBAD 32910

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-undef 6892  df-map 7316  df-poset 15218  df-plt 15230  df-lub 15246  df-glb 15247  df-join 15248  df-meet 15249  df-p0 15311  df-p1 15312  df-lat 15318  df-clat 15380  df-oposet 33127  df-ol 33129  df-oml 33130  df-covers 33217  df-ats 33218  df-atl 33249  df-cvlat 33273  df-hlat 33302  df-llines 33448  df-lplanes 33449  df-lvols 33450  df-lines 33451  df-psubsp 33453  df-pmap 33454  df-padd 33746  df-lhyp 33938  df-laut 33939  df-ldil 34054  df-ltrn 34055  df-trl 34109  df-tendo 34705

This theorem is referenced by:  erngdvlem3  34940  erngdvlem3-rN  34948