Theorem tendodi1 34179

Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	|- H = ( LHyp ` K )
tendopl.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendopl.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
tendopl.p	|- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tendodi1	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) )

Distinct variable groups:   t, s, E   f, s, t, T   f, W, s, t

Allowed substitution hints:   P( t, f, s)   S( t, f, s)   U( t, f, s)   E( f)   H( t, f, s)   K( t, f, s)   V( t, f, s)

Proof of Theorem tendodi1

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		simpr1 994	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> S e. E )
3		simpr2 995	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> U e. E )
4		simpr3 996	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> V e. E )
5		tendopl.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
6		tendopl.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7		tendopl.e	. . . . 5 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
8		tendopl.p	. . . . 5 |- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
9	5, 6, 7, 8	tendoplcl 34176	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ V e. E ) -> ( U P V ) e. E )
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( U P V ) e. E )
11	5, 7	tendococl 34167	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( U P V ) e. E ) -> ( S o. ( U P V ) ) e. E )
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1218	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) e. E )
13	5, 7	tendococl 34167	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ U e. E ) -> ( S o. U ) e. E )
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. U ) e. E )
15	5, 7	tendococl 34167	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ V e. E ) -> ( S o. V ) e. E )
16	1, 2, 4, 15	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. V ) e. E )
17	5, 6, 7, 8	tendoplcl 34176	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S o. U ) e. E /\ ( S o. V ) e. E ) -> ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E )
18	1, 14, 16, 17	syl3anc 1218	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E )
19		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> K e. HL )
20		simpllr 758	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> W e. H )
21		simplr1 1030	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> S e. E )
22		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
23		simplr2 1031	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> U e. E )
24		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> g e. T )
25	5, 6, 7	tendocl 34162	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ g e. T ) -> ( U ` g ) e. T )
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( U ` g ) e. T )
27		simplr3 1032	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> V e. E )
28	5, 6, 7	tendocl 34162	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( V ` g ) e. T )
29	22, 27, 24, 28	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( V ` g ) e. T )
30	5, 6, 7	tendovalco 34160	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ S e. E ) /\ ( ( U ` g ) e. T /\ ( V ` g ) e. T ) ) -> ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) )
31	19, 20, 21, 26, 29, 30	syl32anc 1226	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) )
32	8, 6	tendopl2 34172	. . . . . . 7 |- ( ( U e. E /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) )
33	23, 27, 24, 32	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) )
34	33	fveq2d 5688	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) = ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) )
35	5, 6, 7	tendocoval 34161	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. U ) ` g ) = ( S ` ( U ` g ) ) )
36	19, 20, 21, 23, 24, 35	syl221anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. U ) ` g ) = ( S ` ( U ` g ) ) )
37	5, 6, 7	tendocoval 34161	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ V e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. V ) ` g ) = ( S ` ( V ` g ) ) )
38	19, 20, 21, 27, 24, 37	syl221anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. V ) ` g ) = ( S ` ( V ` g ) ) )
39	36, 38	coeq12d 4996	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) )
40	31, 34, 39	3eqtr4rd 2480	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) )
41	22, 21, 23, 13	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S o. U ) e. E )
42	22, 21, 27, 15	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S o. V ) e. E )
43	8, 6	tendopl2 34172	. . . . 5 |- ( ( ( S o. U ) e. E /\ ( S o. V ) e. E /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) )
44	41, 42, 24, 43	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) )
45	22, 23, 27, 9	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( U P V ) e. E )
46	5, 6, 7	tendocoval 34161	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ ( U P V ) e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) )
47	22, 21, 45, 24, 46	syl121anc 1223	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) )
48	40, 44, 47	3eqtr4rd 2480	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) )
49	48	ralrimiva 2793	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> A. g e. T ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) )
50	5, 6, 7	tendoeq1 34159	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( S o. ( U P V ) ) e. E /\ ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E ) /\ A. g e. T ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) )
51	1, 12, 18, 49, 50	syl121anc 1223	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2709   e. cmpt 4343   o. ccom 4836   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   e. cmpt2 6088   HLchlt 32746   LHypclh 33379   LTrncltrn 33496   TEndoctendo 34147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-riotaBAD 32355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-iin 4167  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-id 4628  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-undef 6784  df-map 7208  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-join 15138  df-meet 15139  df-p0 15201  df-p1 15202  df-lat 15208  df-clat 15270  df-oposet 32572  df-ol 32574  df-oml 32575  df-covers 32662  df-ats 32663  df-atl 32694  df-cvlat 32718  df-hlat 32747  df-llines 32893  df-lplanes 32894  df-lvols 32895  df-lines 32896  df-psubsp 32898  df-pmap 32899  df-padd 33191  df-lhyp 33383  df-laut 33384  df-ldil 33499  df-ltrn 33500  df-trl 33554  df-tendo 34150

This theorem is referenced by:  erngdvlem3  34385  erngdvlem3-rN  34393