Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendodi1 Structured version   Unicode version

Theorem tendodi1 33803
 Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h
tendopl.t
tendopl.e
tendopl.p
Assertion
Ref Expression
tendodi1
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   ()   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem tendodi1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . 2
2 simpr1 1003 . . 3
3 simpr2 1004 . . . 4
4 simpr3 1005 . . . 4
5 tendopl.h . . . . 5
6 tendopl.t . . . . 5
7 tendopl.e . . . . 5
8 tendopl.p . . . . 5
95, 6, 7, 8tendoplcl 33800 . . . 4
101, 3, 4, 9syl3anc 1230 . . 3
115, 7tendococl 33791 . . 3
121, 2, 10, 11syl3anc 1230 . 2
135, 7tendococl 33791 . . . 4
141, 2, 3, 13syl3anc 1230 . . 3
155, 7tendococl 33791 . . . 4
161, 2, 4, 15syl3anc 1230 . . 3
175, 6, 7, 8tendoplcl 33800 . . 3
181, 14, 16, 17syl3anc 1230 . 2
19 simplll 760 . . . . . 6
20 simpllr 761 . . . . . 6
21 simplr1 1039 . . . . . 6
22 simpll 752 . . . . . . 7
23 simplr2 1040 . . . . . . 7
24 simpr 459 . . . . . . 7
255, 6, 7tendocl 33786 . . . . . . 7
2622, 23, 24, 25syl3anc 1230 . . . . . 6
27 simplr3 1041 . . . . . . 7
285, 6, 7tendocl 33786 . . . . . . 7
2922, 27, 24, 28syl3anc 1230 . . . . . 6
305, 6, 7tendovalco 33784 . . . . . 6
3119, 20, 21, 26, 29, 30syl32anc 1238 . . . . 5
328, 6tendopl2 33796 . . . . . . 7
3323, 27, 24, 32syl3anc 1230 . . . . . 6
3433fveq2d 5853 . . . . 5
355, 6, 7tendocoval 33785 . . . . . . 7
3619, 20, 21, 23, 24, 35syl221anc 1241 . . . . . 6
375, 6, 7tendocoval 33785 . . . . . . 7
3819, 20, 21, 27, 24, 37syl221anc 1241 . . . . . 6
3936, 38coeq12d 4988 . . . . 5
4031, 34, 393eqtr4rd 2454 . . . 4
4122, 21, 23, 13syl3anc 1230 . . . . 5
4222, 21, 27, 15syl3anc 1230 . . . . 5
438, 6tendopl2 33796 . . . . 5
4441, 42, 24, 43syl3anc 1230 . . . 4
4522, 23, 27, 9syl3anc 1230 . . . . 5
465, 6, 7tendocoval 33785 . . . . 5
4722, 21, 45, 24, 46syl121anc 1235 . . . 4
4840, 44, 473eqtr4rd 2454 . . 3
4948ralrimiva 2818 . 2
505, 6, 7tendoeq1 33783 . 2
511, 12, 18, 49, 50syl121anc 1235 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754   cmpt 4453   ccom 4827  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmpt2 6280  chlt 32368  clh 33001  cltrn 33118  ctendo 33771 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-riotaBAD 31977 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-undef 7005  df-map 7459  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-p1 15994  df-lat 16000  df-clat 16062  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369  df-llines 32515  df-lplanes 32516  df-lvols 32517  df-lines 32518  df-psubsp 32520  df-pmap 32521  df-padd 32813  df-lhyp 33005  df-laut 33006  df-ldil 33121  df-ltrn 33122  df-trl 33177  df-tendo 33774 This theorem is referenced by:  erngdvlem3  34009  erngdvlem3-rN  34017
 Copyright terms: Public domain W3C validator