Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendococl Structured version   Unicode version

Theorem tendococl 33791
 Description: The composition of two trace-preserving endomorphisms (multiplication in the endormorphism ring) is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoco.h
tendoco.e
Assertion
Ref Expression
tendococl

Proof of Theorem tendococl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . 2
2 tendoco.h . 2
3 eqid 2402 . 2
4 eqid 2402 . 2
5 tendoco.e . 2
6 simp1 997 . 2
7 simp2 998 . . . 4
82, 3, 5tendof 33782 . . . 4
96, 7, 8syl2anc 659 . . 3
10 simp3 999 . . . 4
112, 3, 5tendof 33782 . . . 4
126, 10, 11syl2anc 659 . . 3
13 fco 5724 . . 3
149, 12, 13syl2anc 659 . 2
15 simp11l 1108 . . . . . 6
16 simp11r 1109 . . . . . 6
17 simp13 1029 . . . . . 6
18 simp2 998 . . . . . 6
19 simp3 999 . . . . . 6
202, 3, 5tendovalco 33784 . . . . . 6
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl32anc 1238 . . . . 5
2221fveq2d 5853 . . . 4
23 simp12 1028 . . . . 5
24 simp11 1027 . . . . . 6
252, 3, 5tendocl 33786 . . . . . 6
2624, 17, 18, 25syl3anc 1230 . . . . 5
272, 3, 5tendocl 33786 . . . . . 6
2824, 17, 19, 27syl3anc 1230 . . . . 5
292, 3, 5tendovalco 33784 . . . . 5
3015, 16, 23, 26, 28, 29syl32anc 1238 . . . 4
3122, 30eqtrd 2443 . . 3
322, 3ltrnco 33738 . . . . 5
3324, 18, 19, 32syl3anc 1230 . . . 4
342, 3, 5tendocoval 33785 . . . 4
3524, 23, 17, 33, 34syl121anc 1235 . . 3
362, 3, 5tendocoval 33785 . . . . 5
3715, 16, 23, 17, 18, 36syl221anc 1241 . . . 4
382, 3, 5tendocoval 33785 . . . . 5
3915, 16, 23, 17, 19, 38syl221anc 1241 . . . 4
4037, 39coeq12d 4988 . . 3
4131, 35, 403eqtr4d 2453 . 2
42 eqid 2402 . . 3
43 simpl1l 1048 . . . 4
44 hllat 32381 . . . 4
4543, 44syl 17 . . 3
46 simpl1 1000 . . . 4
47 simpl2 1001 . . . . . 6
48 simpl3 1002 . . . . . 6
49 simpr 459 . . . . . 6
5046, 47, 48, 49, 36syl121anc 1235 . . . . 5
5146, 48, 49, 25syl3anc 1230 . . . . . 6
522, 3, 5tendocl 33786 . . . . . 6
5346, 47, 51, 52syl3anc 1230 . . . . 5
5450, 53eqeltrd 2490 . . . 4
5542, 2, 3, 4trlcl 33182 . . . 4
5646, 54, 55syl2anc 659 . . 3
5742, 2, 3, 4trlcl 33182 . . . 4
5846, 51, 57syl2anc 659 . . 3
5942, 2, 3, 4trlcl 33182 . . . 4
6046, 49, 59syl2anc 659 . . 3
61 simpl1r 1049 . . . . . 6
6243, 61, 47, 48, 49, 36syl221anc 1241 . . . . 5
6362fveq2d 5853 . . . 4
641, 2, 3, 4, 5tendotp 33780 . . . . 5
6546, 47, 51, 64syl3anc 1230 . . . 4
6663, 65eqbrtrd 4415 . . 3
671, 2, 3, 4, 5tendotp 33780 . . . 4
6846, 48, 49, 67syl3anc 1230 . . 3
6942, 1, 45, 56, 58, 60, 66, 68lattrd 16012 . 2
701, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 41, 69istendod 33781 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   class class class wbr 4395   ccom 4827  wf 5565  cfv 5569  cbs 14841  cple 14916  clat 15999  chlt 32368  clh 33001  cltrn 33118  ctrl 33176  ctendo 33771 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-riotaBAD 31977 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-undef 7005  df-map 7459  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-p1 15994  df-lat 16000  df-clat 16062  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369  df-llines 32515  df-lplanes 32516  df-lvols 32517  df-lines 32518  df-psubsp 32520  df-pmap 32521  df-padd 32813  df-lhyp 33005  df-laut 33006  df-ldil 33121  df-ltrn 33122  df-trl 33177  df-tendo 33774 This theorem is referenced by:  tendodi1  33803  tendodi2  33804  tendo0mul  33845  tendo0mulr  33846  tendoconid  33848  cdleml3N  33997  cdleml8  34002  erngdvlem3  34009  erngdvlem3-rN  34017  dvalveclem  34045  dvhvscacl  34123  dvhlveclem  34128  diblss  34190  dicvscacl  34211  dih1dimatlem0  34348
 Copyright terms: Public domain W3C validator