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Theorem tendococl 35443
Description: The composition of two trace-preserving endomorphisms (multiplication in the endormorphism ring) is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoco.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendococl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T )  e.  E
)

Proof of Theorem tendococl
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 tendoco.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2460 . 2  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 eqid 2460 . 2  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendoco.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
6 simp1 991 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simp2 992 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  S  e.  E )
82, 3, 5tendof 35434 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  S :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
96, 7, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  S :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
10 simp3 993 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  T  e.  E )
112, 3, 5tendof 35434 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E
)  ->  T :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
126, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  T :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
13 fco 5732 . . 3  |-  ( ( S : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  T : ( ( LTrn `  K ) `  W
) --> ( ( LTrn `  K ) `  W
) )  ->  ( S  o.  T ) : ( ( LTrn `  K ) `  W
) --> ( ( LTrn `  K ) `  W
) )
149, 12, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T ) : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
15 simp11l 1102 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  K  e.  HL )
16 simp11r 1103 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  W  e.  H )
17 simp13 1023 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  T  e.  E )
18 simp2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
19 simp3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
202, 3, 5tendovalco 35436 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  E )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( T `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( T `  f
)  o.  ( T `
 g ) ) )
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl32anc 1231 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g ) ) )
2221fveq2d 5861 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) )  =  ( S `  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g )
) ) )
23 simp12 1022 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  S  e.  E )
24 simp11 1021 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
252, 3, 5tendocl 35438 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
2624, 17, 18, 25syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
272, 3, 5tendocl 35438 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
2824, 17, 19, 27syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
292, 3, 5tendovalco 35436 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  S  e.  E )  /\  ( ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( S `  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g )
) )  =  ( ( S `  ( T `  f )
)  o.  ( S `
 ( T `  g ) ) ) )
3015, 16, 23, 26, 28, 29syl32anc 1231 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  (
( T `  f
)  o.  ( T `
 g ) ) )  =  ( ( S `  ( T `
 f ) )  o.  ( S `  ( T `  g ) ) ) )
3122, 30eqtrd 2501 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) )  =  ( ( S `
 ( T `  f ) )  o.  ( S `  ( T `  g )
) ) )
322, 3ltrnco 35390 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
3324, 18, 19, 32syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
342, 3, 5tendocoval 35437 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  (
f  o.  g )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )  ->  (
( S  o.  T
) `  ( f  o.  g ) )  =  ( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) ) )
3524, 23, 17, 33, 34syl121anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  (
f  o.  g ) )  =  ( S `
 ( T `  ( f  o.  g
) ) ) )
362, 3, 5tendocoval 35437 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
3715, 16, 23, 17, 18, 36syl221anc 1234 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  f
)  =  ( S `
 ( T `  f ) ) )
382, 3, 5tendocoval 35437 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  g )  =  ( S `  ( T `
 g ) ) )
3915, 16, 23, 17, 19, 38syl221anc 1234 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  g
)  =  ( S `
 ( T `  g ) ) )
4037, 39coeq12d 5158 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( S  o.  T ) `  f )  o.  (
( S  o.  T
) `  g )
)  =  ( ( S `  ( T `
 f ) )  o.  ( S `  ( T `  g ) ) ) )
4131, 35, 403eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( ( S  o.  T
) `  f )  o.  ( ( S  o.  T ) `  g
) ) )
42 eqid 2460 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
43 simpl1l 1042 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  K  e.  HL )
44 hllat 34035 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4543, 44syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  K  e.  Lat )
46 simpl1 994 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
47 simpl2 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  S  e.  E )
48 simpl3 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  T  e.  E )
49 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5046, 47, 48, 49, 36syl121anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
5146, 48, 49, 25syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
522, 3, 5tendocl 35438 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  f )
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
5346, 47, 51, 52syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( S `  ( T `  f
) )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5450, 53eqeltrd 2548 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5542, 2, 3, 4trlcl 34835 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( S  o.  T ) `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5646, 54, 55syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5742, 2, 3, 4trlcl 34835 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5846, 51, 57syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5942, 2, 3, 4trlcl 34835 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )
)
6046, 49, 59syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )
)
61 simpl1r 1043 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  W  e.  H )
6243, 61, 47, 48, 49, 36syl221anc 1234 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
6362fveq2d 5861 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  ( T `  f )
) ) )
641, 2, 3, 4, 5tendotp 35432 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( S `  ( T `  f
) ) ) ( le `  K ) ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( T `  f ) ) )
6546, 47, 51, 64syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  ( T `  f )
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) )
6663, 65eqbrtrd 4460 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) )
671, 2, 3, 4, 5tendotp 35432 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( T `  f ) ) ( le `  K ) ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
)
6846, 48, 49, 67syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  f ) )
6942, 1, 45, 56, 58, 60, 66, 68lattrd 15534 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  f ) )
701, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 41, 69istendod 35433 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T )  e.  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440    o. ccom 4996   -->wf 5575   ` cfv 5579   Basecbs 14479   lecple 14551   Latclat 15521   HLchlt 34022   LHypclh 34655   LTrncltrn 34772   trLctrl 34829   TEndoctendo 35423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-undef 6992  df-map 7412  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tendo 35426
This theorem is referenced by:  tendodi1  35455  tendodi2  35456  tendo0mul  35497  tendo0mulr  35498  tendoconid  35500  cdleml3N  35649  cdleml8  35654  erngdvlem3  35661  erngdvlem3-rN  35669  dvalveclem  35697  dvhvscacl  35775  dvhlveclem  35780  diblss  35842  dicvscacl  35863  dih1dimatlem0  36000
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