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Theorem tendococl 34725
Description: The composition of two trace-preserving endomorphisms (multiplication in the endormorphism ring) is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoco.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendococl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T )  e.  E
)

Proof of Theorem tendococl
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 tendoco.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2451 . 2  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 eqid 2451 . 2  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendoco.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
6 simp1 988 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  S  e.  E )
82, 3, 5tendof 34716 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  S :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
96, 7, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  S :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
10 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  T  e.  E )
112, 3, 5tendof 34716 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E
)  ->  T :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
126, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  T :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
13 fco 5669 . . 3  |-  ( ( S : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  T : ( ( LTrn `  K ) `  W
) --> ( ( LTrn `  K ) `  W
) )  ->  ( S  o.  T ) : ( ( LTrn `  K ) `  W
) --> ( ( LTrn `  K ) `  W
) )
149, 12, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T ) : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
15 simp11l 1099 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  K  e.  HL )
16 simp11r 1100 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  W  e.  H )
17 simp13 1020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  T  e.  E )
18 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
19 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
202, 3, 5tendovalco 34718 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  E )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( T `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( T `  f
)  o.  ( T `
 g ) ) )
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl32anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g ) ) )
2221fveq2d 5796 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) )  =  ( S `  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g )
) ) )
23 simp12 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  S  e.  E )
24 simp11 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
252, 3, 5tendocl 34720 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
2624, 17, 18, 25syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
272, 3, 5tendocl 34720 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
2824, 17, 19, 27syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
292, 3, 5tendovalco 34718 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  S  e.  E )  /\  ( ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( S `  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g )
) )  =  ( ( S `  ( T `  f )
)  o.  ( S `
 ( T `  g ) ) ) )
3015, 16, 23, 26, 28, 29syl32anc 1227 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  (
( T `  f
)  o.  ( T `
 g ) ) )  =  ( ( S `  ( T `
 f ) )  o.  ( S `  ( T `  g ) ) ) )
3122, 30eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) )  =  ( ( S `
 ( T `  f ) )  o.  ( S `  ( T `  g )
) ) )
322, 3ltrnco 34672 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
3324, 18, 19, 32syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
342, 3, 5tendocoval 34719 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  (
f  o.  g )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )  ->  (
( S  o.  T
) `  ( f  o.  g ) )  =  ( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) ) )
3524, 23, 17, 33, 34syl121anc 1224 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  (
f  o.  g ) )  =  ( S `
 ( T `  ( f  o.  g
) ) ) )
362, 3, 5tendocoval 34719 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
3715, 16, 23, 17, 18, 36syl221anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  f
)  =  ( S `
 ( T `  f ) ) )
382, 3, 5tendocoval 34719 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  g )  =  ( S `  ( T `
 g ) ) )
3915, 16, 23, 17, 19, 38syl221anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  g
)  =  ( S `
 ( T `  g ) ) )
4037, 39coeq12d 5105 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( S  o.  T ) `  f )  o.  (
( S  o.  T
) `  g )
)  =  ( ( S `  ( T `
 f ) )  o.  ( S `  ( T `  g ) ) ) )
4131, 35, 403eqtr4d 2502 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( ( S  o.  T
) `  f )  o.  ( ( S  o.  T ) `  g
) ) )
42 eqid 2451 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
43 simpl1l 1039 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  K  e.  HL )
44 hllat 33317 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4543, 44syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  K  e.  Lat )
46 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
47 simpl2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  S  e.  E )
48 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  T  e.  E )
49 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5046, 47, 48, 49, 36syl121anc 1224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
5146, 48, 49, 25syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
522, 3, 5tendocl 34720 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  f )
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
5346, 47, 51, 52syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( S `  ( T `  f
) )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5450, 53eqeltrd 2539 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5542, 2, 3, 4trlcl 34117 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( S  o.  T ) `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5646, 54, 55syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5742, 2, 3, 4trlcl 34117 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5846, 51, 57syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5942, 2, 3, 4trlcl 34117 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )
)
6046, 49, 59syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )
)
61 simpl1r 1040 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  W  e.  H )
6243, 61, 47, 48, 49, 36syl221anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
6362fveq2d 5796 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  ( T `  f )
) ) )
641, 2, 3, 4, 5tendotp 34714 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( S `  ( T `  f
) ) ) ( le `  K ) ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( T `  f ) ) )
6546, 47, 51, 64syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  ( T `  f )
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) )
6663, 65eqbrtrd 4413 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) )
671, 2, 3, 4, 5tendotp 34714 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( T `  f ) ) ( le `  K ) ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
)
6846, 48, 49, 67syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  f ) )
6942, 1, 45, 56, 58, 60, 66, 68lattrd 15339 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  f ) )
701, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 41, 69istendod 34715 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T )  e.  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4393    o. ccom 4945   -->wf 5515   ` cfv 5519   Basecbs 14285   lecple 14356   Latclat 15326   HLchlt 33304   LHypclh 33937   LTrncltrn 34054   trLctrl 34111   TEndoctendo 34705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-riotaBAD 32913
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-undef 6895  df-map 7319  df-poset 15227  df-plt 15239  df-lub 15255  df-glb 15256  df-join 15257  df-meet 15258  df-p0 15320  df-p1 15321  df-lat 15327  df-clat 15389  df-oposet 33130  df-ol 33132  df-oml 33133  df-covers 33220  df-ats 33221  df-atl 33252  df-cvlat 33276  df-hlat 33305  df-llines 33451  df-lplanes 33452  df-lvols 33453  df-lines 33454  df-psubsp 33456  df-pmap 33457  df-padd 33749  df-lhyp 33941  df-laut 33942  df-ldil 34057  df-ltrn 34058  df-trl 34112  df-tendo 34708
This theorem is referenced by:  tendodi1  34737  tendodi2  34738  tendo0mul  34779  tendo0mulr  34780  tendoconid  34782  cdleml3N  34931  cdleml8  34936  erngdvlem3  34943  erngdvlem3-rN  34951  dvalveclem  34979  dvhvscacl  35057  dvhlveclem  35062  diblss  35124  dicvscacl  35145  dih1dimatlem0  35282
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