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Theorem tendocnv 36174
Description: Converse of a trace-preserving endomorphism value. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendosp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendosp.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendosp.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendocnv  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  =  ( S `  `' F ) )

Proof of Theorem tendocnv
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 tendosp.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendosp.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 tendosp.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
52, 3, 4tendocl 35919 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  F )  e.  T
)
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
76, 2, 3ltrn1o 35276 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  F )  e.  T
)  ->  ( S `  F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
81, 5, 7syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
9 f1ococnv1 5850 . . . 4  |-  ( ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( `' ( S `
 F )  o.  ( S `  F
) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1110coeq1d 5170 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  `' ( S `  F ) ) )
12 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  S  e.  E )
136, 2, 4tendoid 35925 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( S `  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )
141, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )
156, 2, 3ltrn1o 35276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
16153adant2 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
17 f1ococnv2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1918fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  ( F  o.  `' F ) )  =  ( S `  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
20 f1ococnv2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )
218, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
2214, 19, 213eqtr4rd 2519 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( S `  ( F  o.  `' F
) ) )
23 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  T )
242, 3ltrncnv 35298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
25243adant2 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
262, 3, 4tendospdi1 36173 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  F  e.  T  /\  `' F  e.  T ) )  -> 
( S `  ( F  o.  `' F
) )  =  ( ( S `  F
)  o.  ( S `
 `' F ) ) )
271, 12, 23, 25, 26syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  ( F  o.  `' F ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' F
) ) )
2822, 27eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' F
) ) )
2928coeq2d 5171 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( `' ( S `  F )  o.  ( ( S `
 F )  o.  `' ( S `  F ) ) )  =  ( `' ( S `  F )  o.  ( ( S `
 F )  o.  ( S `  `' F ) ) ) )
30 coass 5532 . . . 4  |-  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( `' ( S `  F
)  o.  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 F ) ) )
31 coass 5532 . . . 4  |-  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  ( S `
 `' F ) )  =  ( `' ( S `  F
)  o.  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' F ) ) )
3229, 30, 313eqtr4g 2533 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  ( S `
 `' F ) ) )
3310coeq1d 5170 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  ( S `
 `' F ) )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  ( S `  `' F ) ) )
342, 3, 4tendocl 35919 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( S `  `' F )  e.  T
)
3525, 34syld3an3 1273 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  `' F )  e.  T
)
366, 2, 3ltrn1o 35276 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  `' F )  e.  T
)  ->  ( S `  `' F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
371, 35, 36syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  `' F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
38 f1of 5822 . . . 4  |-  ( ( S `  `' F
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  ->  ( S `  `' F ) : (
Base `  K ) --> ( Base `  K )
)
39 fcoi2 5766 . . . 4  |-  ( ( S `  `' F
) : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  ->  (
(  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  ( S `  `' F ) )  =  ( S `  `' F ) )
4037, 38, 393syl 20 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  ( S `  `' F
) )  =  ( S `  `' F
) )
4132, 33, 403eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( S `
 `' F ) )
422, 3ltrncnv 35298 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  F )  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  e.  T )
431, 5, 42syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  e.  T )
446, 2, 3ltrn1o 35276 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  `' ( S `
 F )  e.  T )  ->  `' ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
451, 43, 44syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
46 f1of 5822 . . 3  |-  ( `' ( S `  F
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  ->  `' ( S `  F ) : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
) )
47 fcoi2 5766 . . 3  |-  ( `' ( S `  F
) : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  ->  (
(  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  `' ( S `
 F ) )  =  `' ( S `
 F ) )
4845, 46, 473syl 20 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  `' ( S `  F ) )  =  `' ( S `  F ) )
4911, 41, 483eqtr3rd 2517 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  =  ( S `  `' F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    _I cid 4796   `'ccnv 5004    |` cres 5007    o. ccom 5009   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   Basecbs 14507   HLchlt 34503   LHypclh 35136   LTrncltrn 35253   TEndoctendo 35904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7434  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-oposet 34329  df-ol 34331  df-oml 34332  df-covers 34419  df-ats 34420  df-atl 34451  df-cvlat 34475  df-hlat 34504  df-lhyp 35140  df-laut 35141  df-ldil 35256  df-ltrn 35257  df-trl 35311  df-tendo 35907
This theorem is referenced by:  tendospcanN  36176  dihjatcclem4  36574
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