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Theorem tendocnv 35024
Description: Converse of a trace-preserving endomorphism value. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendosp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendosp.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendosp.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendocnv  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  =  ( S `  `' F ) )

Proof of Theorem tendocnv
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 tendosp.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendosp.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 tendosp.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
52, 3, 4tendocl 34769 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  F )  e.  T
)
6 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
76, 2, 3ltrn1o 34126 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  F )  e.  T
)  ->  ( S `  F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
81, 5, 7syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
9 f1ococnv1 5780 . . . 4  |-  ( ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( `' ( S `
 F )  o.  ( S `  F
) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1110coeq1d 5112 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  `' ( S `  F ) ) )
12 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  S  e.  E )
136, 2, 4tendoid 34775 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( S `  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )
141, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )
156, 2, 3ltrn1o 34126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
16153adant2 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
17 f1ococnv2 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1918fveq2d 5806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  ( F  o.  `' F ) )  =  ( S `  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
20 f1ococnv2 5778 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )
218, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
2214, 19, 213eqtr4rd 2506 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( S `  ( F  o.  `' F
) ) )
23 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  T )
242, 3ltrncnv 34148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
25243adant2 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
262, 3, 4tendospdi1 35023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  F  e.  T  /\  `' F  e.  T ) )  -> 
( S `  ( F  o.  `' F
) )  =  ( ( S `  F
)  o.  ( S `
 `' F ) ) )
271, 12, 23, 25, 26syl13anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  ( F  o.  `' F ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' F
) ) )
2822, 27eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' F
) ) )
2928coeq2d 5113 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( `' ( S `  F )  o.  ( ( S `
 F )  o.  `' ( S `  F ) ) )  =  ( `' ( S `  F )  o.  ( ( S `
 F )  o.  ( S `  `' F ) ) ) )
30 coass 5467 . . . 4  |-  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( `' ( S `  F
)  o.  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 F ) ) )
31 coass 5467 . . . 4  |-  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  ( S `
 `' F ) )  =  ( `' ( S `  F
)  o.  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' F ) ) )
3229, 30, 313eqtr4g 2520 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  ( S `
 `' F ) ) )
3310coeq1d 5112 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  ( S `
 `' F ) )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  ( S `  `' F ) ) )
342, 3, 4tendocl 34769 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( S `  `' F )  e.  T
)
3525, 34syld3an3 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  `' F )  e.  T
)
366, 2, 3ltrn1o 34126 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  `' F )  e.  T
)  ->  ( S `  `' F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
371, 35, 36syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  `' F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
38 f1of 5752 . . . 4  |-  ( ( S `  `' F
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  ->  ( S `  `' F ) : (
Base `  K ) --> ( Base `  K )
)
39 fcoi2 5697 . . . 4  |-  ( ( S `  `' F
) : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  ->  (
(  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  ( S `  `' F ) )  =  ( S `  `' F ) )
4037, 38, 393syl 20 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  ( S `  `' F
) )  =  ( S `  `' F
) )
4132, 33, 403eqtrd 2499 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( S `
 `' F ) )
422, 3ltrncnv 34148 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  F )  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  e.  T )
431, 5, 42syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  e.  T )
446, 2, 3ltrn1o 34126 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  `' ( S `
 F )  e.  T )  ->  `' ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
451, 43, 44syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
46 f1of 5752 . . 3  |-  ( `' ( S `  F
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  ->  `' ( S `  F ) : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
) )
47 fcoi2 5697 . . 3  |-  ( `' ( S `  F
) : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  ->  (
(  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  `' ( S `
 F ) )  =  `' ( S `
 F ) )
4845, 46, 473syl 20 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  `' ( S `  F ) )  =  `' ( S `  F ) )
4911, 41, 483eqtr3rd 2504 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  =  ( S `  `' F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    _I cid 4742   `'ccnv 4950    |` cres 4953    o. ccom 4955   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529   Basecbs 14295   HLchlt 33353   LHypclh 33986   LTrncltrn 34103   TEndoctendo 34754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-map 7329  df-poset 15238  df-plt 15250  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-p0 15331  df-p1 15332  df-lat 15338  df-clat 15400  df-oposet 33179  df-ol 33181  df-oml 33182  df-covers 33269  df-ats 33270  df-atl 33301  df-cvlat 33325  df-hlat 33354  df-lhyp 33990  df-laut 33991  df-ldil 34106  df-ltrn 34107  df-trl 34161  df-tendo 34757
This theorem is referenced by:  tendospcanN  35026  dihjatcclem4  35424
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