Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0plr Structured version   Unicode version

Theorem tendo0plr 34745
Description: Property of the additive identity endormorphism. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tendo0.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendo0.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendo0.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendo0.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
tendo0pl.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
Assertion
Ref Expression
tendo0plr  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( S P O )  =  S )
Distinct variable groups:    B, f    T, f    t, s, E    T, s, t, f    f, W, s, t
Allowed substitution hints:    B( t, s)    P( t, f, s)    S( t, f, s)    E( f)    H( t, f, s)    K( t, f, s)    O( t, f, s)

Proof of Theorem tendo0plr
StepHypRef Expression
1 tendo0.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 tendo0.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendo0.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 tendo0.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
5 tendo0.o . . . . 5  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
61, 2, 3, 4, 5tendo0cl 34743 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  E )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  O  e.  E )
8 tendo0pl.p . . . 4  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
92, 3, 4, 8tendoplcom 34735 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  O  e.  E
)  ->  ( S P O )  =  ( O P S ) )
107, 9mpd3an3 1316 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( S P O )  =  ( O P S ) )
111, 2, 3, 4, 5, 8tendo0pl 34744 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( O P S )  =  S )
1210, 11eqtrd 2492 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( S P O )  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    |-> cmpt 4451    _I cid 4732    |` cres 4943    o. ccom 4945   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    |-> cmpt2 6195   Basecbs 14285   HLchlt 33304   LHypclh 33937   LTrncltrn 34054   TEndoctendo 34705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-riotaBAD 32913
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-undef 6895  df-map 7319  df-poset 15227  df-plt 15239  df-lub 15255  df-glb 15256  df-join 15257  df-meet 15258  df-p0 15320  df-p1 15321  df-lat 15327  df-clat 15389  df-oposet 33130  df-ol 33132  df-oml 33133  df-covers 33220  df-ats 33221  df-atl 33252  df-cvlat 33276  df-hlat 33305  df-llines 33451  df-lplanes 33452  df-lvols 33453  df-lines 33454  df-psubsp 33456  df-pmap 33457  df-padd 33749  df-lhyp 33941  df-laut 33942  df-ldil 34057  df-ltrn 34058  df-trl 34112  df-tendo 34708
This theorem is referenced by:  cdlemn6  35156  dihopelvalcpre  35202
  Copyright terms: Public domain W3C validator