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Theorem telgsumfzslem 17666
Description: Lemma for telgsumfzs 17667 (induction step). (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfzs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
telgsumfzs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
telgsumfzs.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
telgsumfzslem  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
Distinct variable groups:    B, i,
k    C, i    i, G   
i, M, k    .- , i    ph, i    y, i, k
Allowed substitution hints:    ph( y, k)    B( y)    C( y, k)    G( y, k)    M( y)    .- ( y, k)

Proof of Theorem telgsumfzslem
StepHypRef Expression
1 telgsumfzs.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 telgsumfzs.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
43adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e.  Abel )
5 ablcmn 17484 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e. CMnd )
76adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  G  e. CMnd )
8 fzfid 12217 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  e. 
Fin )
9 ablgrp 17483 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
103, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
1110ad2antrl 739 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
1211adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  G  e.  Grp )
13 fzelp1 11876 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  ->  i  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
14 simpr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)
1514adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)
16 rspcsbela 3806 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ i  /  k ]_ C  e.  B
)
1713, 15, 16syl2anr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  k ]_ C  e.  B )
18 fzp1elp1 11877 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
19 rspcsbela 3806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
2018, 15, 19syl2anr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
21 telgsumfzs.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  G )
221, 21grpsubcl 16782 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [_ i  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )  ->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
2312, 17, 20, 22syl3anc 1276 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
24 fzp1disj 11882 . . . . . 6  |-  ( ( M ... y )  i^i  { ( y  +  1 ) } )  =  (/)
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( M ... y
)  i^i  { (
y  +  1 ) } )  =  (/) )
26 fzsuc 11871 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y
)  u.  { ( y  +  1 ) } ) )
2726adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y )  u.  {
( y  +  1 ) } ) )
281, 2, 7, 8, 23, 25, 27gsummptfidmsplit 17611 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( i  e.  { ( y  +  1 ) } 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) ) )
2928adantr 471 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( i  e.  { ( y  +  1 ) } 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) ) )
30 simpr 467 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )
31 grpmnd 16726 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
3210, 31syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
3332ad2antrl 739 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  G  e.  Mnd )
34 ovex 6342 . . . . . . 7  |-  ( y  +  1 )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
y  +  1 )  e.  _V )
36 peano2uz 11240 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
37 eluzfz2 11835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
39 fzelp1 11876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
41 rspcsbela 3806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
4240, 14, 41syl2an 484 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
43 peano2uz 11240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4436, 43syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
45 eluzfz2 11835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
47 rspcsbela 3806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
4846, 14, 47syl2an 484 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
491, 21grpsubcl 16782 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )  ->  ( [_ ( y  +  1 )  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
5011, 42, 48, 49syl3anc 1276 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  .-  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  / 
k ]_ C )  e.  B )
51 csbeq1 3377 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  [_ i  /  k ]_ C  =  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C )
52 oveq1 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( y  +  1 )  +  1 ) )
5352csbeq1d 3381 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C )
5451, 53oveq12d 6332 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  .-  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  / 
k ]_ C ) )
5554adantl 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  .-  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  / 
k ]_ C ) )
561, 33, 35, 50, 55gsumsnd 17633 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  {
( y  +  1 ) }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )
5756adantr 471 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  {
( y  +  1 ) }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )
5830, 57oveq12d 6332 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( i  e.  {
( y  +  1 ) }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) )  =  ( (
[_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )
59 eluzfz1 11834 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
6044, 59syl 17 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
61 rspcsbela 3806 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ M  /  k ]_ C  e.  B
)
6260, 14, 61syl2an 484 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  [_ M  /  k ]_ C  e.  B )
631, 2, 21grpnpncan 16797 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( [_ M  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B
) )  ->  (
( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6411, 62, 42, 48, 63syl13anc 1278 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6564adantr 471 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  (
( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6629, 58, 653eqtrd 2499 . 2  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6766ex 440 1  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   _Vcvv 3056   [_csb 3374    u. cun 3413    i^i cin 3414   (/)c0 3742   {csn 3979    |-> cmpt 4474   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   1c1 9565    + caddc 9567   ZZ>=cuz 11187   ...cfz 11812   Basecbs 15169   +g cplusg 15238    gsumg cgsu 15387   Mndcmnd 16583   Grpcgrp 16717   -gcsg 16719  CMndccmn 17478   Abelcabl 17479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-hash 12547  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-mulg 16724  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-abl 17481
This theorem is referenced by:  telgsumfzs  17667
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