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Theorem telgsumfzslem 16996
Description: Lemma for telgsumfzs 16997 (induction step). (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfzs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
telgsumfzs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
telgsumfzs.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
telgsumfzslem  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
Distinct variable groups:    B, i,
k    C, i    i, G   
i, M, k    .- , i    ph, i    y, i, k
Allowed substitution hints:    ph( y, k)    B( y)    C( y, k)    G( y, k)    M( y)    .- ( y, k)

Proof of Theorem telgsumfzslem
StepHypRef Expression
1 telgsumfzs.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 telgsumfzs.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e.  Abel )
5 ablcmn 16783 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e. CMnd )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  G  e. CMnd )
8 fzfid 12065 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  e. 
Fin )
9 ablgrp 16782 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
103, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
1110ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  G  e.  Grp )
13 fzelp1 11743 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  ->  i  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
14 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)
1514adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)
16 rspcsbela 3839 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ i  /  k ]_ C  e.  B
)
1713, 15, 16syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  k ]_ C  e.  B )
18 fzp1elp1 11744 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
19 rspcsbela 3839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
2018, 15, 19syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
21 telgsumfzs.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  G )
221, 21grpsubcl 16097 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [_ i  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )  ->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
2312, 17, 20, 22syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
24 fzp1disj 11749 . . . . . 6  |-  ( ( M ... y )  i^i  { ( y  +  1 ) } )  =  (/)
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( M ... y
)  i^i  { (
y  +  1 ) } )  =  (/) )
26 fzsuc 11738 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y
)  u.  { ( y  +  1 ) } ) )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y )  u.  {
( y  +  1 ) } ) )
281, 2, 7, 8, 23, 25, 27gsummptfidmsplit 16929 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( i  e.  { ( y  +  1 ) } 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) ) )
2928adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( i  e.  { ( y  +  1 ) } 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) ) )
30 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )
31 grpmnd 16041 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
3210, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
3332ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  G  e.  Mnd )
34 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( y  +  1 )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
y  +  1 )  e.  _V )
36 peano2uz 11145 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
37 eluzfz2 11705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
39 fzelp1 11743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
41 rspcsbela 3839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
4240, 14, 41syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
43 peano2uz 11145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4436, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
45 eluzfz2 11705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
47 rspcsbela 3839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
4846, 14, 47syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
491, 21grpsubcl 16097 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )  ->  ( [_ ( y  +  1 )  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
5011, 42, 48, 49syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  .-  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  / 
k ]_ C )  e.  B )
51 csbeq1 3423 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  [_ i  /  k ]_ C  =  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C )
52 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( y  +  1 )  +  1 ) )
5352csbeq1d 3427 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C )
5451, 53oveq12d 6299 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  .-  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  / 
k ]_ C ) )
5554adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  .-  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  / 
k ]_ C ) )
561, 33, 35, 50, 55gsumsnd 16958 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  {
( y  +  1 ) }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )
5756adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  {
( y  +  1 ) }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )
5830, 57oveq12d 6299 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( i  e.  {
( y  +  1 ) }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) )  =  ( (
[_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )
59 eluzfz1 11704 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
6044, 59syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
61 rspcsbela 3839 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ M  /  k ]_ C  e.  B
)
6260, 14, 61syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  [_ M  /  k ]_ C  e.  B )
631, 2, 21grpnpncan 16112 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( [_ M  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B
) )  ->  (
( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6411, 62, 42, 48, 63syl13anc 1231 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6564adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  (
( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6629, 58, 653eqtrd 2488 . 2  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6766ex 434 1  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095   [_csb 3420    u. cun 3459    i^i cin 3460   (/)c0 3770   {csn 4014    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1c1 9496    + caddc 9498   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11683   Basecbs 14614   +g cplusg 14679    gsumg cgsu 14820   Mndcmnd 15898   Grpcgrp 16032   -gcsg 16034  CMndccmn 16777   Abelcabl 16778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-abl 16780
This theorem is referenced by:  telgsumfzs  16997
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