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Theorem telgsumfzslem 17215
Description: Lemma for telgsumfzs 17216 (induction step). (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfzs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
telgsumfzs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
telgsumfzs.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
telgsumfzslem  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
Distinct variable groups:    B, i,
k    C, i    i, G   
i, M, k    .- , i    ph, i    y, i, k
Allowed substitution hints:    ph( y, k)    B( y)    C( y, k)    G( y, k)    M( y)    .- ( y, k)

Proof of Theorem telgsumfzslem
StepHypRef Expression
1 telgsumfzs.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 telgsumfzs.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
43adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e.  Abel )
5 ablcmn 17006 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e. CMnd )
76adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  G  e. CMnd )
8 fzfid 12068 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  e. 
Fin )
9 ablgrp 17005 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
103, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
1110ad2antrl 725 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
1211adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  G  e.  Grp )
13 fzelp1 11736 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  ->  i  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
14 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)
1514adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)
16 rspcsbela 3845 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ i  /  k ]_ C  e.  B
)
1713, 15, 16syl2anr 476 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  k ]_ C  e.  B )
18 fzp1elp1 11737 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
19 rspcsbela 3845 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
2018, 15, 19syl2anr 476 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
21 telgsumfzs.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  G )
221, 21grpsubcl 16320 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [_ i  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )  ->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
2312, 17, 20, 22syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
24 fzp1disj 11742 . . . . . 6  |-  ( ( M ... y )  i^i  { ( y  +  1 ) } )  =  (/)
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( M ... y
)  i^i  { (
y  +  1 ) } )  =  (/) )
26 fzsuc 11731 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y
)  u.  { ( y  +  1 ) } ) )
2726adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y )  u.  {
( y  +  1 ) } ) )
281, 2, 7, 8, 23, 25, 27gsummptfidmsplit 17151 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( i  e.  { ( y  +  1 ) } 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) ) )
2928adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( i  e.  { ( y  +  1 ) } 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) ) )
30 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )
31 grpmnd 16264 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
3210, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
3332ad2antrl 725 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  G  e.  Mnd )
34 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( y  +  1 )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
y  +  1 )  e.  _V )
36 peano2uz 11135 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
37 eluzfz2 11697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
39 fzelp1 11736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
41 rspcsbela 3845 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
4240, 14, 41syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
43 peano2uz 11135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4436, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
45 eluzfz2 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
47 rspcsbela 3845 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
4846, 14, 47syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
491, 21grpsubcl 16320 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )  ->  ( [_ ( y  +  1 )  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
5011, 42, 48, 49syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  .-  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  / 
k ]_ C )  e.  B )
51 csbeq1 3423 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  [_ i  /  k ]_ C  =  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C )
52 oveq1 6277 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( y  +  1 )  +  1 ) )
5352csbeq1d 3427 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C )
5451, 53oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  .-  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  / 
k ]_ C ) )
5554adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  .-  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  / 
k ]_ C ) )
561, 33, 35, 50, 55gsumsnd 17178 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  {
( y  +  1 ) }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )
5756adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  {
( y  +  1 ) }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )
5830, 57oveq12d 6288 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( i  e.  {
( y  +  1 ) }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) )  =  ( (
[_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )
59 eluzfz1 11696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
6044, 59syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
61 rspcsbela 3845 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ M  /  k ]_ C  e.  B
)
6260, 14, 61syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  [_ M  /  k ]_ C  e.  B )
631, 2, 21grpnpncan 16335 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( [_ M  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B
) )  ->  (
( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6411, 62, 42, 48, 63syl13anc 1228 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6564adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  (
( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6629, 58, 653eqtrd 2499 . 2  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6766ex 432 1  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   [_csb 3420    u. cun 3459    i^i cin 3460   (/)c0 3783   {csn 4016    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482    + caddc 9484   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   Basecbs 14719   +g cplusg 14787    gsumg cgsu 14933   Mndcmnd 16121   Grpcgrp 16255   -gcsg 16257  CMndccmn 17000   Abelcabl 17001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-abl 17003
This theorem is referenced by:  telgsumfzs  17216
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