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Theorem telgsumfzslem 16890
Description: Lemma for telgsumfzs 16891 (induction step). (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfzs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
telgsumfzs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
telgsumfzs.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
telgsumfzslem  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
Distinct variable groups:    B, i,
k    C, i    i, G   
i, M, k    .- , i    ph, i    y, i, k
Allowed substitution hints:    ph( y, k)    B( y)    C( y, k)    G( y, k)    M( y)    .- ( y, k)

Proof of Theorem telgsumfzslem
StepHypRef Expression
1 telgsumfzs.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 telgsumfzs.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e.  Abel )
5 ablcmn 16677 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e. CMnd )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  G  e. CMnd )
8 fzfid 12063 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  e. 
Fin )
9 ablgrp 16676 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
103, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
1110ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  G  e.  Grp )
13 fzelp1 11744 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  ->  i  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
14 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)
1514adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)
16 rspcsbela 3858 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ i  /  k ]_ C  e.  B
)
1713, 15, 16syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  k ]_ C  e.  B )
18 fzp1elp1 11745 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
19 rspcsbela 3858 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
2018, 15, 19syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
21 telgsumfzs.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  G )
221, 21grpsubcl 15990 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [_ i  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )  ->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
2312, 17, 20, 22syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
24 fzp1disj 11750 . . . . . 6  |-  ( ( M ... y )  i^i  { ( y  +  1 ) } )  =  (/)
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( M ... y
)  i^i  { (
y  +  1 ) } )  =  (/) )
26 fzsuc 11739 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y
)  u.  { ( y  +  1 ) } ) )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y )  u.  {
( y  +  1 ) } ) )
281, 2, 7, 8, 23, 25, 27gsummptfidmsplit 16823 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( i  e.  { ( y  +  1 ) } 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) ) )
2928adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( i  e.  { ( y  +  1 ) } 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) ) )
30 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )
31 grpmnd 15934 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
3210, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
3332ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  G  e.  Mnd )
34 ovex 6320 . . . . . . 7  |-  ( y  +  1 )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
y  +  1 )  e.  _V )
36 peano2uz 11146 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
37 eluzfz2 11706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
39 fzelp1 11744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
41 rspcsbela 3858 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
4240, 14, 41syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
43 peano2uz 11146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4436, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
45 eluzfz2 11706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
47 rspcsbela 3858 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
4846, 14, 47syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
491, 21grpsubcl 15990 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )  ->  ( [_ ( y  +  1 )  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
5011, 42, 48, 49syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  .-  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  / 
k ]_ C )  e.  B )
51 csbeq1 3443 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  [_ i  /  k ]_ C  =  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C )
52 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( y  +  1 )  +  1 ) )
5352csbeq1d 3447 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C )
5451, 53oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  .-  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  / 
k ]_ C ) )
5554adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  i  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  .-  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  / 
k ]_ C ) )
561, 33, 35, 50, 55gsumsnd 16852 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  {
( y  +  1 ) }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )
5756adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  {
( y  +  1 ) }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )
5830, 57oveq12d 6313 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( i  e.  {
( y  +  1 ) }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) )  =  ( (
[_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )
59 eluzfz1 11705 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
6044, 59syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
61 rspcsbela 3858 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ M  /  k ]_ C  e.  B
)
6260, 14, 61syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  [_ M  /  k ]_ C  e.  B )
631, 2, 21grpnpncan 16005 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( [_ M  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B
) )  ->  (
( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6411, 62, 42, 48, 63syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6564adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  (
( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ( +g  `  G
) ( [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6629, 58, 653eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  /\  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) )
6766ex 434 1  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   [_csb 3440    u. cun 3479    i^i cin 3480   (/)c0 3790   {csn 4033    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1c1 9505    + caddc 9507   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   Basecbs 14507   +g cplusg 14572    gsumg cgsu 14713   Mndcmnd 15793   Grpcgrp 15925   -gcsg 15927  CMndccmn 16671   Abelcabl 16672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674
This theorem is referenced by:  telgsumfzs  16891
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