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Theorem telgsumfzs 17667
Description: Telescoping group sum ranging over a finite set of sequential integers, using explicit substitution. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfzs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
telgsumfzs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
telgsumfzs.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
telgsumfzs.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
telgsumfzs.f  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B )
Assertion
Ref Expression
telgsumfzs  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) )
Distinct variable groups:    B, i,
k    C, i    i, G   
i, M, k    .- , i    ph, i    i, N, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    C( k)    G( k)    .- ( k)

Proof of Theorem telgsumfzs
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 telgsumfzs.f . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B )
2 telgsumfzs.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 oveq1 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
x  +  1 )  =  ( M  + 
1 ) )
43oveq2d 6330 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... ( x  + 
1 ) )  =  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
54raleqdv 3004 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B  <->  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
) )
65anbi2d 715 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
x  +  1 ) ) C  e.  B
)  <->  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) ) C  e.  B ) ) )
7 oveq2 6322 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... x )  =  ( M ... M
) )
87mpteq1d 4497 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
i  e.  ( M ... x )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) )  =  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
98oveq2d 6330 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
103csbeq1d 3381 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C )
1110oveq2d 6330 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
129, 11eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  <->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) ) )
136, 12imbi12d 326 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B )  -> 
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
) )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
14 oveq1 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
1514oveq2d 6330 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( M ... ( x  + 
1 ) )  =  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
1615raleqdv 3004 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B  <->  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
) )
1716anbi2d 715 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
x  +  1 ) ) C  e.  B
)  <->  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) C  e.  B ) ) )
18 oveq2 6322 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( M ... x )  =  ( M ... y
) )
1918mpteq1d 4497 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
i  e.  ( M ... x )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) )  =  ( i  e.  ( M ... y )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
2019oveq2d 6330 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
2114csbeq1d 3381 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C )
2221oveq2d 6330 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C ) )
2320, 22eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  <->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )
2417, 23imbi12d 326 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B )  -> 
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
) )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
25 oveq1 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( y  +  1 )  +  1 ) )
2625oveq2d 6330 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( M ... ( x  + 
1 ) )  =  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
2726raleqdv 3004 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B  <->  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )
2827anbi2d 715 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
x  +  1 ) ) C  e.  B
)  <->  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B ) ) )
29 oveq2 6322 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( M ... x )  =  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
3029mpteq1d 4497 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
i  e.  ( M ... x )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) )  =  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
3130oveq2d 6330 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
3225csbeq1d 3381 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C )
3332oveq2d 6330 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )
3431, 33eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  <->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )
3528, 34imbi12d 326 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B )  -> 
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
) )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
36 oveq1 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
x  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3736oveq2d 6330 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( M ... ( x  + 
1 ) )  =  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
3837raleqdv 3004 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B  <->  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B
) )
3938anbi2d 715 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
x  +  1 ) ) C  e.  B
)  <->  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) C  e.  B ) ) )
40 oveq2 6322 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  ( M ... x )  =  ( M ... N
) )
4140mpteq1d 4497 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
i  e.  ( M ... x )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) )  =  ( i  e.  ( M ... N )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
4241oveq2d 6330 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
4336csbeq1d 3381 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( N  + 
1 )  /  k ]_ C )
4443oveq2d 6330 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( N  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
4542, 44eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  <->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( N  + 
1 )  /  k ]_ C ) ) )
4639, 45imbi12d 326 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B )  -> 
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
) )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
47 eluzel2 11192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
482, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4948adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  M  e.  ZZ )
50 fzsn 11868 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( M ... M )  =  { M } )
5251mpteq1d 4497 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( i  e.  ( M ... M
)  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( i  e.  { M }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )
5352oveq2d 6330 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  { M }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) )
54 telgsumfzs.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
55 telgsumfzs.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
56 ablgrp 17483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
58 grpmnd 16726 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6059adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e.  Mnd )
6157adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e.  Grp )
62 uzid 11201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6349, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
64 peano2uz 11240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
66 eluzfz1 11834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  M  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
68 rspcsbela 3806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ M  /  k ]_ C  e.  B
)
6967, 68sylancom 678 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  [_ M  / 
k ]_ C  e.  B
)
70 eluzfz2 11835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
7165, 70syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
72 rspcsbela 3806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
7371, 72sylancom 678 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  [_ ( M  +  1 )  / 
k ]_ C  e.  B
)
74 telgsumfzs.m . . . . . . . . . 10  |-  .-  =  ( -g `  G )
7554, 74grpsubcl 16782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [_ M  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )  ->  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
7661, 69, 73, 75syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C )  e.  B
)
77 csbeq1 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  M  ->  [_ i  /  k ]_ C  =  [_ M  /  k ]_ C )
78 oveq1 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  M  ->  (
i  +  1 )  =  ( M  + 
1 ) )
7978csbeq1d 3381 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  M  ->  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C )
8077, 79oveq12d 6332 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  M  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
8180adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B )  /\  i  =  M )  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
8254, 60, 49, 76, 81gsumsnd 17633 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  { M }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
8353, 82eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C
) )
8483a1i 11 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
8554, 55, 74telgsumfzslem 17666 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
8685ex 440 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
87 eluzelz 11196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  y  e.  ZZ )
8887peano2zd 11071 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ZZ )
8988peano2zd 11071 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
90 peano2z 11006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  +  1 )  e.  ZZ )
9190zred 11068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
9287, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
9392lep1d 10565 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  <_ 
( ( y  +  1 )  +  1 ) )
94 eluz2 11193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
y  +  1 ) )  <->  ( ( y  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_ 
( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
9588, 89, 93, 94syl3anbrc 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) )
96 fzss2 11866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
y  +  1 ) )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  C_  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
9795, 96syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  C_  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
98 ssralv 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( M ... ( y  +  1 ) ) 
C_  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B  ->  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
) )
9997, 98syl 17 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B  ->  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
) )
10099adantld 473 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
) )
10186, 100a2and 825 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
10213, 24, 35, 46, 84, 101uzind4 11245 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
103102expd 442 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
1042, 103mpcom 37 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
1051, 104mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   [_csb 3374    C_ wss 3415   {csn 3979   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   RRcr 9563   1c1 9565    + caddc 9567    <_ cle 9701   ZZcz 10965   ZZ>=cuz 11187   ...cfz 11812   Basecbs 15169    gsumg cgsu 15387   Mndcmnd 16583   Grpcgrp 16717   -gcsg 16719   Abelcabl 17479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-hash 12547  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-mulg 16724  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-abl 17481
This theorem is referenced by:  telgsumfz  17668  telgsumfz0s  17669
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