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Theorem telgsumfzs 17216
Description: Telescoping group sum ranging over a finite set of sequential integers, using explicit substitution. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfzs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
telgsumfzs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
telgsumfzs.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
telgsumfzs.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
telgsumfzs.f  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B )
Assertion
Ref Expression
telgsumfzs  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) )
Distinct variable groups:    B, i,
k    C, i    i, G   
i, M, k    .- , i    ph, i    i, N, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    C( k)    G( k)    .- ( k)

Proof of Theorem telgsumfzs
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 telgsumfzs.f . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B )
2 telgsumfzs.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 oveq1 6277 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
x  +  1 )  =  ( M  + 
1 ) )
43oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... ( x  + 
1 ) )  =  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
54raleqdv 3057 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B  <->  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
) )
65anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
x  +  1 ) ) C  e.  B
)  <->  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) ) C  e.  B ) ) )
7 oveq2 6278 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... x )  =  ( M ... M
) )
87mpteq1d 4520 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
i  e.  ( M ... x )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) )  =  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
98oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
103csbeq1d 3427 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C )
1110oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
129, 11eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  <->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) ) )
136, 12imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B )  -> 
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
) )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
14 oveq1 6277 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
1514oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( M ... ( x  + 
1 ) )  =  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
1615raleqdv 3057 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B  <->  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
) )
1716anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
x  +  1 ) ) C  e.  B
)  <->  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) C  e.  B ) ) )
18 oveq2 6278 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( M ... x )  =  ( M ... y
) )
1918mpteq1d 4520 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
i  e.  ( M ... x )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) )  =  ( i  e.  ( M ... y )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
2019oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
2114csbeq1d 3427 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C )
2221oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C ) )
2320, 22eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  <->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )
2417, 23imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B )  -> 
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
) )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
25 oveq1 6277 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( y  +  1 )  +  1 ) )
2625oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( M ... ( x  + 
1 ) )  =  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
2726raleqdv 3057 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B  <->  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )
2827anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
x  +  1 ) ) C  e.  B
)  <->  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B ) ) )
29 oveq2 6278 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( M ... x )  =  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
3029mpteq1d 4520 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
i  e.  ( M ... x )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) )  =  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
3130oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
3225csbeq1d 3427 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C )
3332oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )
3431, 33eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  <->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )
3528, 34imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B )  -> 
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
) )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
36 oveq1 6277 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
x  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3736oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( M ... ( x  + 
1 ) )  =  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
3837raleqdv 3057 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B  <->  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B
) )
3938anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
x  +  1 ) ) C  e.  B
)  <->  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) C  e.  B ) ) )
40 oveq2 6278 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  ( M ... x )  =  ( M ... N
) )
4140mpteq1d 4520 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
i  e.  ( M ... x )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) )  =  ( i  e.  ( M ... N )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
4241oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
4336csbeq1d 3427 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( N  + 
1 )  /  k ]_ C )
4443oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( N  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
4542, 44eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  <->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( N  + 
1 )  /  k ]_ C ) ) )
4639, 45imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B )  -> 
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
) )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
47 eluzel2 11087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
482, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4948adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  M  e.  ZZ )
50 fzsn 11729 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( M ... M )  =  { M } )
5251mpteq1d 4520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( i  e.  ( M ... M
)  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( i  e.  { M }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )
5352oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  { M }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) )
54 telgsumfzs.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
55 telgsumfzs.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
56 ablgrp 17005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
58 grpmnd 16264 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6059adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e.  Mnd )
6157adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e.  Grp )
62 uzid 11096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6349, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
64 peano2uz 11135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
66 eluzfz1 11696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  M  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
68 rspcsbela 3845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ M  /  k ]_ C  e.  B
)
6967, 68sylancom 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  [_ M  / 
k ]_ C  e.  B
)
70 eluzfz2 11697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
7165, 70syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
72 rspcsbela 3845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
7371, 72sylancom 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  [_ ( M  +  1 )  / 
k ]_ C  e.  B
)
74 telgsumfzs.m . . . . . . . . . 10  |-  .-  =  ( -g `  G )
7554, 74grpsubcl 16320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [_ M  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )  ->  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
7661, 69, 73, 75syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C )  e.  B
)
77 csbeq1 3423 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  M  ->  [_ i  /  k ]_ C  =  [_ M  /  k ]_ C )
78 oveq1 6277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  M  ->  (
i  +  1 )  =  ( M  + 
1 ) )
7978csbeq1d 3427 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  M  ->  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C )
8077, 79oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  M  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
8180adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B )  /\  i  =  M )  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
8254, 60, 49, 76, 81gsumsnd 17178 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  { M }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
8353, 82eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C
) )
8483a1i 11 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
8554, 55, 74telgsumfzslem 17215 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
8685ex 432 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
87 eluzelz 11091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  y  e.  ZZ )
8887peano2zd 10968 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ZZ )
8988peano2zd 10968 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
90 peano2z 10901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  +  1 )  e.  ZZ )
9190zred 10965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
9287, 91syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
9392lep1d 10472 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  <_ 
( ( y  +  1 )  +  1 ) )
94 eluz2 11088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
y  +  1 ) )  <->  ( ( y  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_ 
( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
9588, 89, 93, 94syl3anbrc 1178 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) )
96 fzss2 11727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
y  +  1 ) )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  C_  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
9795, 96syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  C_  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
98 ssralv 3550 . . . . . . . 8  |-  ( ( M ... ( y  +  1 ) ) 
C_  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B  ->  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
) )
9997, 98syl 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B  ->  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
) )
10099adantld 465 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
) )
10186, 100a2and 809 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
10213, 24, 35, 46, 84, 101uzind4 11140 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
103102expd 434 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
1042, 103mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
1051, 104mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   [_csb 3420    C_ wss 3461   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    <_ cle 9618   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   Basecbs 14719    gsumg cgsu 14933   Mndcmnd 16121   Grpcgrp 16255   -gcsg 16257   Abelcabl 17001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-abl 17003
This theorem is referenced by:  telgsumfz  17217  telgsumfz0s  17218
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