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Theorem telgsumfzs 16891
Description: Telescoping group sum ranging over a finite set of sequential integers, using explicit substitution. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfzs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
telgsumfzs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
telgsumfzs.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
telgsumfzs.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
telgsumfzs.f  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B )
Assertion
Ref Expression
telgsumfzs  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) )
Distinct variable groups:    B, i,
k    C, i    i, G   
i, M, k    .- , i    ph, i    i, N, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    C( k)    G( k)    .- ( k)

Proof of Theorem telgsumfzs
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 telgsumfzs.f . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B )
2 telgsumfzs.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
x  +  1 )  =  ( M  + 
1 ) )
43oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... ( x  + 
1 ) )  =  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
54raleqdv 3069 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B  <->  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
) )
65anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
x  +  1 ) ) C  e.  B
)  <->  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) ) C  e.  B ) ) )
7 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... x )  =  ( M ... M
) )
87mpteq1d 4534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
i  e.  ( M ... x )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) )  =  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
98oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
103csbeq1d 3447 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C )
1110oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
129, 11eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  <->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) ) )
136, 12imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B )  -> 
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
) )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
14 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
1514oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( M ... ( x  + 
1 ) )  =  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
1615raleqdv 3069 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B  <->  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
) )
1716anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
x  +  1 ) ) C  e.  B
)  <->  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) C  e.  B ) ) )
18 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( M ... x )  =  ( M ... y
) )
1918mpteq1d 4534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
i  e.  ( M ... x )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) )  =  ( i  e.  ( M ... y )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
2019oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
2114csbeq1d 3447 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C )
2221oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C ) )
2320, 22eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  <->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( y  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )
2417, 23imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B )  -> 
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
) )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
25 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( y  +  1 )  +  1 ) )
2625oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( M ... ( x  + 
1 ) )  =  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) )
2726raleqdv 3069 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B  <->  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )
2827anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
x  +  1 ) ) C  e.  B
)  <->  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B ) ) )
29 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( M ... x )  =  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
3029mpteq1d 4534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
i  e.  ( M ... x )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) )  =  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
3130oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
3225csbeq1d 3447 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C )
3332oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) )
3431, 33eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  <->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( ( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )
3528, 34imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B )  -> 
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
) )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
36 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
x  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3736oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( M ... ( x  + 
1 ) )  =  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
3837raleqdv 3069 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B  <->  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B
) )
3938anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
x  +  1 ) ) C  e.  B
)  <->  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) C  e.  B ) ) )
40 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  ( M ... x )  =  ( M ... N
) )
4140mpteq1d 4534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
i  e.  ( M ... x )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) )  =  ( i  e.  ( M ... N )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
4241oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
4336csbeq1d 3447 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( N  + 
1 )  /  k ]_ C )
4443oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( N  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
4542, 44eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
)  <->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N )  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( N  + 
1 )  /  k ]_ C ) ) )
4639, 45imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( x  + 
1 ) ) C  e.  B )  -> 
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... x ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
x  +  1 )  /  k ]_ C
) )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
47 eluzel2 11099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
482, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4948adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  M  e.  ZZ )
50 fzsn 11737 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( M ... M )  =  { M } )
5251mpteq1d 4534 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( i  e.  ( M ... M
)  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) )  =  ( i  e.  { M }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )
5352oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( G  gsumg  ( i  e.  { M }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) ) )
54 telgsumfzs.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
55 telgsumfzs.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
56 ablgrp 16676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
58 grpmnd 15934 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6059adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e.  Mnd )
6157adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  G  e.  Grp )
62 uzid 11108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6349, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
64 peano2uz 11146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
66 eluzfz1 11705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  M  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
68 rspcsbela 3858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ M  /  k ]_ C  e.  B
)
6967, 68sylancom 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  [_ M  / 
k ]_ C  e.  B
)
70 eluzfz2 11706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
7165, 70syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) )
72 rspcsbela 3858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) )  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  + 
1 ) ) C  e.  B )  ->  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )
7371, 72sylancom 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  [_ ( M  +  1 )  / 
k ]_ C  e.  B
)
74 telgsumfzs.m . . . . . . . . . 10  |-  .-  =  ( -g `  G )
7554, 74grpsubcl 15990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [_ M  /  k ]_ C  e.  B  /\  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C  e.  B )  ->  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C
)  e.  B )
7661, 69, 73, 75syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C )  e.  B
)
77 csbeq1 3443 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  M  ->  [_ i  /  k ]_ C  =  [_ M  /  k ]_ C )
78 oveq1 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  M  ->  (
i  +  1 )  =  ( M  + 
1 ) )
7978csbeq1d 3447 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  M  ->  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C  =  [_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C )
8077, 79oveq12d 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  M  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
8180adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B )  /\  i  =  M )  ->  ( [_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
)  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
8254, 60, 49, 76, 81gsumsnd 16852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  { M }  |->  ( [_ i  /  k ]_ C  .- 
[_ ( i  +  1 )  /  k ]_ C ) ) )  =  ( [_ M  /  k ]_ C  .- 
[_ ( M  + 
1 )  /  k ]_ C ) )
8353, 82eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C
) )
8483a1i 11 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( M  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... M )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( M  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
8554, 55, 74telgsumfzslem 16890 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
) )  ->  (
( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
8685ex 434 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
87 eluzelz 11103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  y  e.  ZZ )
8887peano2zd 10981 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ZZ )
8988peano2zd 10981 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
90 peano2z 10916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  +  1 )  e.  ZZ )
9190zred 10978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
9287, 91syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
9392lep1d 10489 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( y  +  1 )  <_ 
( ( y  +  1 )  +  1 ) )
94 eluz2 11100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
y  +  1 ) )  <->  ( ( y  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_ 
( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
9588, 89, 93, 94syl3anbrc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) )
96 fzss2 11735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
y  +  1 ) )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  C_  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
9795, 96syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  C_  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) )
98 ssralv 3569 . . . . . . . 8  |-  ( ( M ... ( y  +  1 ) ) 
C_  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B  ->  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
) )
9997, 98syl 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( ( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B  ->  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
) )
10099adantld 467 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
) )
10186, 100a2and 809 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
y  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... y )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
y  +  1 )  /  k ]_ C
) )  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  ( M ... (
( y  +  1 )  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... ( y  +  1 ) )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ (
( y  +  1 )  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
10213, 24, 35, 46, 84, 101uzind4 11151 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N )  |->  (
[_ i  /  k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
103102expd 436 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) ) ) )
1042, 103mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) C  e.  B  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )
1051, 104mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  ( M ... N ) 
|->  ( [_ i  / 
k ]_ C  .-  [_ (
i  +  1 )  /  k ]_ C
) ) )  =  ( [_ M  / 
k ]_ C  .-  [_ ( N  +  1 )  /  k ]_ C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   [_csb 3440    C_ wss 3481   {csn 4033   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   1c1 9505    + caddc 9507    <_ cle 9641   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   Basecbs 14507    gsumg cgsu 14713   Mndcmnd 15793   Grpcgrp 15925   -gcsg 15927   Abelcabl 16672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674
This theorem is referenced by:  telgsumfz  16892  telgsumfz0s  16893
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