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Theorem telfsumo 13595
Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
telfsumo.1  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
telfsumo.2  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
telfsumo.3  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
telfsumo.4  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
telfsumo.5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
telfsumo.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
telfsumo  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C )  =  ( D  -  E ) )
Distinct variable groups:    A, j    B, k    C, k    j, k, M    j, N, k    ph, j, k    D, k   
k, E
Allowed substitution hints:    A( k)    B( j)    C( j)    D( j)    E( j)

Proof of Theorem telfsumo
StepHypRef Expression
1 telfsumo.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz1 11702 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
4 telfsumo.6 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
54ralrimiva 2857 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
6 telfsumo.3 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
76eleq1d 2512 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
87rspcv 3192 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  D  e.  CC ) )
93, 5, 8sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  D  e.  CC )
1110subidd 9924 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( D  -  D )  =  0 )
12 sum0 13522 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  -  C )  =  0
1311, 12syl6reqr 2503 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  (/)  ( B  -  C )  =  ( D  -  D ) )
14 oveq2 6289 . . . . . 6  |-  ( N  =  M  ->  ( M..^ N )  =  ( M..^ M ) )
1514adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  ( M..^ M ) )
16 fzo0 11828 . . . . 5  |-  ( M..^ M )  =  (/)
1715, 16syl6eq 2500 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
1817sumeq1d 13502 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( B  -  C ) )
19 eqeq1 2447 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  (
k  =  M  <->  N  =  M ) )
20 telfsumo.4 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
2120eqeq1d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  D  <->  E  =  D ) )
2219, 21imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  (
( k  =  M  ->  A  =  D )  <->  ( N  =  M  ->  E  =  D ) ) )
2322, 6vtoclg 3153 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  ->  E  =  D ) )
2423imp 429 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  =  M )  ->  E  =  D )
251, 24sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  E  =  D )
2625oveq2d 6297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( D  -  E )  =  ( D  -  D ) )
2713, 18, 263eqtr4d 2494 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  ( D  -  E ) )
28 fzofi 12063 . . . . . 6  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
30 elfzofz 11822 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  j  e.  ( M ... N ) )
3130adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  j  e.  ( M ... N ) )
325adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
33 telfsumo.1 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
3433eleq1d 2512 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
3534rspcv 3192 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  B  e.  CC ) )
3631, 32, 35sylc 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  B  e.  CC )
37 fzofzp1 11888 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
3837adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
39 telfsumo.2 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
4039eleq1d 2512 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
4140rspcv 3192 . . . . . 6  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
4238, 32, 41sylc 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  e.  CC )
4329, 36, 42fsumsub 13582 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C ) )
4443adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C ) )
4533cbvsumv 13497 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( M..^ N ) A  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) B
46 eluzel2 11095 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
471, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
48 eluzp1m1 11113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4947, 48sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
50 eluzelz 11099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
511, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
53 fzoval 11809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
55 fzossfz 11825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M..^ N )  C_  ( M ... N )
5654, 55syl6eqssr 3540 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
5756sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
584adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... N
) )  ->  A  e.  CC )
5957, 58syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
6049, 59, 6fsum1p 13547 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) A ) )
6154sumeq1d 13502 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A )
62 fzoval 11809 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6352, 62syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6463sumeq1d 13502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) A  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) A )
6564oveq2d 6297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A )  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A ) )
6660, 61, 653eqtr4d 2494 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) A  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
6745, 66syl5eqr 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
68 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
69 fzp1ss 11740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
7047, 69syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
7170sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
7271, 4syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  A  e.  CC )
7372adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  A  e.  CC )
7468, 73, 20fsumm1 13545 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A  +  E ) )
75 1zzd 10901 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
7647peano2zd 10977 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
7775, 76, 51, 72, 39fsumshftm 13575 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  =  sum_ j  e.  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) C )
7847zcnd 10975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
79 ax-1cn 9553 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
80 pncan 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
8178, 79, 80sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
8281oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) )  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
8351, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
8482, 83eqtr4d 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) )  =  ( M..^ N ) )
8584sumeq1d 13502 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( ( ( M  + 
1 )  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) C  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )
8677, 85eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )
8786adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )
8851, 62syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )..^ N )  =  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
8988sumeq1d 13502 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  =  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A )
9089oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  +  E )  =  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A  +  E ) )
91 fzofi 12063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  1 )..^ N )  e.  Fin
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )..^ N )  e.  Fin )
93 elfzofz 11822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
9493, 72sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  A  e.  CC )
9592, 94fsumcl 13534 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  e.  CC )
96 eluzfz2 11703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
971, 96syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
9820eleq1d 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
9998rspcv 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  E  e.  CC ) )
10097, 5, 99sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
10195, 100addcomd 9785 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  +  E )  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
10290, 101eqtr3d 2486 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A  +  E )  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
103102adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) A  +  E )  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
10474, 87, 1033eqtr3d 2492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
10567, 104oveq12d 6299 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )  =  ( ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A )  -  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) ) )
1069, 100, 95pnpcan2d 9974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A )  -  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )  =  ( D  -  E ) )
107106adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) A )  -  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) A ) )  =  ( D  -  E
) )
108105, 107eqtrd 2484 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )  =  ( D  -  E ) )
10944, 108eqtrd 2484 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  ( D  -  E ) )
110 uzp1 11123 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
1111, 110syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) )
11227, 109, 111mpjaodan 786 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C )  =  ( D  -  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    - cmin 9810   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681  ..^cfzo 11803   sum_csu 13487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488
This theorem is referenced by:  telfsumo2  13596  telfsum  13597  geoserg  13656  dchrisumlem2  23547  stirlinglem12  31756
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