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Theorem tdeglem4 21472
Description: There is only one multi-index with total degree 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
tdeglem.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
Assertion
Ref Expression
tdeglem4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  =  0  <-> 
X  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
Distinct variable groups:    A, h    h, I, m    h, V   
h, X, m
Allowed substitution hints:    A( m)    H( h, m)    V( m)

Proof of Theorem tdeglem4
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexnal 2724 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  I  -.  ( X `  x )  =  0  <->  -.  A. x  e.  I  ( X `  x )  =  0 )
2 df-ne 2606 . . . . . . 7  |-  ( ( X `  x )  =/=  0  <->  -.  ( X `  x )  =  0 )
3 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  X  ->  (fld  gsumg  h )  =  (fld  gsumg  X ) )
4 tdeglem.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
5 ovex 6115 . . . . . . . . . . . 12  |-  (fld  gsumg  X )  e.  _V
63, 4, 5fvmpt 5771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  A  ->  ( H `  X )  =  (fld 
gsumg  X ) )
76ad2antlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( H `  X
)  =  (fld  gsumg  X ) )
8 tdeglem.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
98psrbagf 17422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X : I --> NN0 )
109feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X  =  ( y  e.  I  |->  ( X `
 y ) ) )
1110adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  ->  X  =  ( y  e.  I  |->  ( X `
 y ) ) )
1211oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
(fld  gsumg  X )  =  (fld  gsumg  ( y  e.  I  |->  ( X `  y
) ) ) )
13 cnfldbas 17722 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  ( Base ` fld )
14 cnfld0 17740 . . . . . . . . . . 11  |-  0  =  ( 0g ` fld )
15 cnfldadd 17723 . . . . . . . . . . 11  |-  +  =  ( +g  ` fld )
16 cnrng 17738 . . . . . . . . . . . 12  |-fld  e.  Ring
17 rngcmn 16665 . . . . . . . . . . . 12  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
1816, 17mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  ->fld  e. CMnd )
19 simpll 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  ->  I  e.  V )
209adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  ->  X : I --> NN0 )
2120ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  /\  (
x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  /\  y  e.  I
)  ->  ( X `  y )  e.  NN0 )
2221nn0cnd 10634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  /\  (
x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  /\  y  e.  I
)  ->  ( X `  y )  e.  CC )
238psrbagfsupp 17576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  X finSupp  0 )
2423ancoms 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X finSupp  0 )
2524adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  ->  X finSupp  0 )
2611, 25eqbrtrrd 4311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( y  e.  I  |->  ( X `  y
) ) finSupp  0 )
27 incom 3540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  \  { x } )  i^i  {
x } )  =  ( { x }  i^i  ( I  \  {
x } ) )
28 disjdif 3748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { x }  i^i  (
I  \  { x } ) )  =  (/)
2927, 28eqtri 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  \  { x } )  i^i  {
x } )  =  (/)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( ( I  \  { x } )  i^i  { x }
)  =  (/) )
31 difsnid 4016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  I  ->  (
( I  \  {
x } )  u. 
{ x } )  =  I )
3231eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  I  ->  I  =  ( ( I 
\  { x }
)  u.  { x } ) )
3332ad2antrl 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  ->  I  =  ( (
I  \  { x } )  u.  {
x } ) )
3413, 14, 15, 18, 19, 22, 26, 30, 33gsumsplit2 16415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
(fld  gsumg  ( y  e.  I  |->  ( X `  y ) ) )  =  ( (fld 
gsumg  ( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) ) )  +  (fld  gsumg  ( y  e.  {
x }  |->  ( X `
 y ) ) ) ) )
357, 12, 343eqtrd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( H `  X
)  =  ( (fld  gsumg  ( y  e.  ( I  \  { x } ) 
|->  ( X `  y
) ) )  +  (fld 
gsumg  ( y  e.  {
x }  |->  ( X `
 y ) ) ) ) )
36 difexg 4437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  V  ->  (
I  \  { x } )  e.  _V )
3736ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( I  \  {
x } )  e. 
_V )
38 nn0subm 17768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  e.  (SubMnd ` fld )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  ->  NN0  e.  (SubMnd ` fld ) )
40 eldifi 3475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( I  \  { x } )  ->  y  e.  I
)
41 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X : I --> NN0  /\  y  e.  I )  ->  ( X `  y
)  e.  NN0 )
4220, 40, 41syl2an 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  /\  (
x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  /\  y  e.  ( I  \  { x } ) )  -> 
( X `  y
)  e.  NN0 )
43 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( I  \  { x } ) 
|->  ( X `  y
) )  =  ( y  e.  ( I 
\  { x }
)  |->  ( X `  y ) )
4442, 43fmptd 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) ) : ( I  \  { x } ) --> NN0 )
45 mptexg 5944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  \  { x } )  e.  _V  ->  ( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) )  e.  _V )
4636, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  ( I 
\  { x }
)  |->  ( X `  y ) )  e. 
_V )
4746ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) )  e.  _V )
48 funmpt 5451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Fun  (
y  e.  ( I 
\  { x }
)  |->  ( X `  y ) )
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  ->  Fun  ( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) ) )
50 funmpt 5451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Fun  (
y  e.  I  |->  ( X `  y ) )
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  ->  Fun  ( y  e.  I  |->  ( X `  y
) ) )
52 difss 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I 
\  { x }
)  C_  I
53 resmpt 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  \  { x } )  C_  I  ->  ( ( y  e.  I  |->  ( X `  y ) )  |`  ( I  \  { x } ) )  =  ( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) ) )
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  I  |->  ( X `  y ) )  |`  ( I  \  { x } ) )  =  ( y  e.  ( I  \  { x } ) 
|->  ( X `  y
) )
55 resss 5131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  I  |->  ( X `  y ) )  |`  ( I  \  { x } ) )  C_  ( y  e.  I  |->  ( X `
 y ) )
5654, 55eqsstr3i 3384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( I  \  { x } ) 
|->  ( X `  y
) )  C_  (
y  e.  I  |->  ( X `  y ) )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) ) 
C_  ( y  e.  I  |->  ( X `  y ) ) )
58 mptexg 5944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  ( X `  y ) )  e.  _V )
5958ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( y  e.  I  |->  ( X `  y
) )  e.  _V )
60 funsssuppss 6714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  ( y  e.  I  |->  ( X `  y ) )  /\  ( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) ) 
C_  ( y  e.  I  |->  ( X `  y ) )  /\  ( y  e.  I  |->  ( X `  y
) )  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  ( I  \  { x } ) 
|->  ( X `  y
) ) supp  0 ) 
C_  ( ( y  e.  I  |->  ( X `
 y ) ) supp  0 ) )
6151, 57, 59, 60syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( ( y  e.  ( I  \  {
x } )  |->  ( X `  y ) ) supp  0 )  C_  ( ( y  e.  I  |->  ( X `  y ) ) supp  0
) )
62 fsuppsssupp 7632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e.  ( I  \  {
x } )  |->  ( X `  y ) )  e.  _V  /\  Fun  ( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) ) )  /\  ( ( y  e.  I  |->  ( X `  y ) ) finSupp  0  /\  (
( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) ) supp  0 )  C_  (
( y  e.  I  |->  ( X `  y
) ) supp  0 ) ) )  ->  (
y  e.  ( I 
\  { x }
)  |->  ( X `  y ) ) finSupp  0
)
6347, 49, 26, 61, 62syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) ) finSupp 
0 )
6414, 18, 37, 39, 44, 63gsumsubmcl 16397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
(fld  gsumg  ( y  e.  ( I 
\  { x }
)  |->  ( X `  y ) ) )  e.  NN0 )
65 rngmnd 16644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Mnd )
6616, 65mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  ->fld  e.  Mnd )
67 simprl 750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  ->  x  e.  I )
6820, 67ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( X `  x
)  e.  NN0 )
6968nn0cnd 10634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( X `  x
)  e.  CC )
70 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( X `  y )  =  ( X `  x ) )
7113, 70gsumsn 16441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (fld  e. 
Mnd  /\  x  e.  I  /\  ( X `  x )  e.  CC )  ->  (fld 
gsumg  ( y  e.  {
x }  |->  ( X `
 y ) ) )  =  ( X `
 x ) )
7266, 67, 69, 71syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
(fld  gsumg  ( y  e.  { x }  |->  ( X `  y ) ) )  =  ( X `  x ) )
73 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( X `  x
)  =/=  0 )
7473, 2sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  ->  -.  ( X `  x
)  =  0 )
75 elnn0 10577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X `  x )  e.  NN0  <->  ( ( X `
 x )  e.  NN  \/  ( X `
 x )  =  0 ) )
7668, 75sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( ( X `  x )  e.  NN  \/  ( X `  x
)  =  0 ) )
77 orel2 383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( X `  x
)  =  0  -> 
( ( ( X `
 x )  e.  NN  \/  ( X `
 x )  =  0 )  ->  ( X `  x )  e.  NN ) )
7874, 76, 77sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( X `  x
)  e.  NN )
7972, 78eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
(fld  gsumg  ( y  e.  { x }  |->  ( X `  y ) ) )  e.  NN )
80 nn0nnaddcl 10607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (fld 
gsumg  ( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) ) )  e.  NN0  /\  (fld  gsumg  (
y  e.  { x }  |->  ( X `  y ) ) )  e.  NN )  -> 
( (fld 
gsumg  ( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) ) )  +  (fld  gsumg  ( y  e.  {
x }  |->  ( X `
 y ) ) ) )  e.  NN )
8164, 79, 80syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( (fld 
gsumg  ( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) ) )  +  (fld  gsumg  ( y  e.  {
x }  |->  ( X `
 y ) ) ) )  e.  NN )
8281nnne0d 10362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( (fld 
gsumg  ( y  e.  ( I  \  { x } )  |->  ( X `
 y ) ) )  +  (fld  gsumg  ( y  e.  {
x }  |->  ( X `
 y ) ) ) )  =/=  0
)
8335, 82eqnetrd 2624 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  ( x  e.  I  /\  ( X `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( H `  X
)  =/=  0 )
8483expr 612 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  -> 
( H `  X
)  =/=  0 ) )
852, 84syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A
)  /\  x  e.  I )  ->  ( -.  ( X `  x
)  =  0  -> 
( H `  X
)  =/=  0 ) )
8685rexlimdva 2839 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( E. x  e.  I  -.  ( X `
 x )  =  0  ->  ( H `  X )  =/=  0
) )
871, 86syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  A. x  e.  I  ( X `  x )  =  0  ->  ( H `  X )  =/=  0
) )
8887necon4bd 2671 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  =  0  ->  A. x  e.  I 
( X `  x
)  =  0 ) )
89 ffn 5556 . . . . . 6  |-  ( X : I --> NN0  ->  X  Fn  I )
909, 89syl 16 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X  Fn  I )
91 0nn0 10590 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
92 fnconstg 5595 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( I  X.  { 0 } )  Fn  I )
9391, 92mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( I  X.  {
0 } )  Fn  I )
94 eqfnfv 5794 . . . . 5  |-  ( ( X  Fn  I  /\  ( I  X.  { 0 } )  Fn  I
)  ->  ( X  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  A. x  e.  I 
( X `  x
)  =  ( ( I  X.  { 0 } ) `  x
) ) )
9590, 93, 94syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( X  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  A. x  e.  I  ( X `  x )  =  ( ( I  X.  {
0 } ) `  x ) ) )
96 c0ex 9376 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
9796fvconst2 5930 . . . . . 6  |-  ( x  e.  I  ->  (
( I  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
9897eqeq2d 2452 . . . . 5  |-  ( x  e.  I  ->  (
( X `  x
)  =  ( ( I  X.  { 0 } ) `  x
)  <->  ( X `  x )  =  0 ) )
9998ralbiia 2745 . . . 4  |-  ( A. x  e.  I  ( X `  x )  =  ( ( I  X.  { 0 } ) `  x )  <->  A. x  e.  I 
( X `  x
)  =  0 )
10095, 99syl6bb 261 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( X  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  A. x  e.  I  ( X `  x )  =  0 ) )
10188, 100sylibrd 234 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  =  0  ->  X  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
1028psrbag0 17564 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  A
)
103102adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( I  X.  {
0 } )  e.  A )
104 oveq2 6098 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  (fld 
gsumg  h )  =  (fld  gsumg  ( I  X.  { 0 } ) ) )
105 ovex 6115 . . . . . 6  |-  (fld  gsumg  ( I  X.  {
0 } ) )  e.  _V
106104, 4, 105fvmpt 5771 . . . . 5  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  A  ->  ( H `  (
I  X.  { 0 } ) )  =  (fld 
gsumg  ( I  X.  { 0 } ) ) )
107103, 106syl 16 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( H `  (
I  X.  { 0 } ) )  =  (fld 
gsumg  ( I  X.  { 0 } ) ) )
108 fconstmpt 4878 . . . . . 6  |-  ( I  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  I  |->  0 )
109108oveq2i 6101 . . . . 5  |-  (fld  gsumg  ( I  X.  {
0 } ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  I  |->  0 ) )
11016, 65ax-mp 5 . . . . . . 7  |-fld  e.  Mnd
11114gsumz 15504 . . . . . . 7  |-  ( (fld  e. 
Mnd  /\  I  e.  V )  ->  (fld  gsumg  ( x  e.  I  |->  0 ) )  =  0 )
112110, 111mpan 665 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (fld  gsumg  ( x  e.  I  |->  0 ) )  =  0 )
113112adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  (fld 
gsumg  ( x  e.  I  |->  0 ) )  =  0 )
114109, 113syl5eq 2485 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  (fld 
gsumg  ( I  X.  { 0 } ) )  =  0 )
115107, 114eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( H `  (
I  X.  { 0 } ) )  =  0 )
116 fveq2 5688 . . . 4  |-  ( X  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( H `  X )  =  ( H `  ( I  X.  { 0 } ) ) )
117116eqeq1d 2449 . . 3  |-  ( X  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( ( H `
 X )  =  0  <->  ( H `  ( I  X.  { 0 } ) )  =  0 ) )
118115, 117syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( X  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( H `  X )  =  0 ) )
119101, 118impbid 191 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  =  0  <-> 
X  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   `'ccnv 4835    |` cres 4838   "cima 4839   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   supp csupp 6689    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   finSupp cfsupp 7616   CCcc 9276   0cc0 9278    + caddc 9281   NNcn 10318   NN0cn0 10575    gsumg cgsu 14375   Mndcmnd 15405  SubMndcsubmnd 15459  CMndccmn 16270   Ringcrg 16635  ℂfldccnfld 17718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-cnfld 17719
This theorem is referenced by:  mdegle0  21491
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