MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Structured version   Unicode version

Theorem tdeglem3 21487
Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
tdeglem.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
Assertion
Ref Expression
tdeglem3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  ( ( H `  X
)  +  ( H `
 Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, h    h, I, m    h, V   
h, X, m    h, Y, m
Allowed substitution hints:    A( m)    H( h, m)    V( m)

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 17781 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfld0 17799 . . 3  |-  0  =  ( 0g ` fld )
3 cnfldadd 17782 . . 3  |-  +  =  ( +g  ` fld )
4 cnrng 17797 . . . 4  |-fld  e.  Ring
5 rngcmn 16665 . . . 4  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
64, 5mp1i 12 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->fld  e. CMnd
)
7 simp1 983 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  I  e.  V )
8 tdeglem.a . . . . . 6  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
98psrbagf 17410 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X : I --> NN0 )
10 nn0sscn 10580 . . . . 5  |-  NN0  C_  CC
11 fss 5564 . . . . 5  |-  ( ( X : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  X : I --> CC )
129, 10, 11sylancl 657 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X : I --> CC )
13123adant3 1003 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  X : I --> CC )
148psrbagf 17410 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> NN0 )
15 fss 5564 . . . . 5  |-  ( ( Y : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  Y : I --> CC )
1614, 10, 15sylancl 657 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> CC )
17163adant2 1002 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> CC )
188psrbagfsupp 17568 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  X finSupp  0 )
1918ancoms 450 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X finSupp  0 )
20193adant3 1003 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  X finSupp  0 )
218psrbagfsupp 17568 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  Y finSupp  0 )
2221ancoms 450 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y finSupp  0 )
23223adant2 1002 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  Y finSupp  0 )
241, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23gsumadd 16405 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  (fld 
gsumg  ( X  oF  +  Y ) )  =  ( (fld 
gsumg  X )  +  (fld  gsumg  Y ) ) )
258psrbagaddcl 17416 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  oF  +  Y )  e.  A )
26 oveq2 6098 . . . 4  |-  ( h  =  ( X  oF  +  Y )  ->  (fld 
gsumg  h )  =  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y
) ) )
27 tdeglem.h . . . 4  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
28 ovex 6115 . . . 4  |-  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y ) )  e.  _V
2926, 27, 28fvmpt 5771 . . 3  |-  ( ( X  oF  +  Y )  e.  A  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y
) ) )
3025, 29syl 16 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y
) ) )
31 oveq2 6098 . . . . 5  |-  ( h  =  X  ->  (fld  gsumg  h )  =  (fld  gsumg  X ) )
32 ovex 6115 . . . . 5  |-  (fld  gsumg  X )  e.  _V
3331, 27, 32fvmpt 5771 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( H `  X )  =  (fld 
gsumg  X ) )
34 oveq2 6098 . . . . 5  |-  ( h  =  Y  ->  (fld  gsumg  h )  =  (fld  gsumg  Y ) )
35 ovex 6115 . . . . 5  |-  (fld  gsumg  Y )  e.  _V
3634, 27, 35fvmpt 5771 . . . 4  |-  ( Y  e.  A  ->  ( H `  Y )  =  (fld 
gsumg  Y ) )
3733, 36oveqan12d 6109 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  +  ( H `  Y ) )  =  ( (fld  gsumg  X )  +  (fld 
gsumg  Y ) ) )
38373adant1 1001 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  +  ( H `  Y ) )  =  ( (fld  gsumg  X )  +  (fld 
gsumg  Y ) ) )
3924, 30, 383eqtr4d 2483 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  ( ( H `  X
)  +  ( H `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   {crab 2717    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   "cima 4839   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    oFcof 6317    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   finSupp cfsupp 7616   CCcc 9276   0cc0 9278    + caddc 9281   NNcn 10318   NN0cn0 10575    gsumg cgsu 14375  CMndccmn 16270   Ringcrg 16635  ℂfldccnfld 17777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-cnfld 17778
This theorem is referenced by:  mdegmullem  21508
  Copyright terms: Public domain W3C validator