Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Structured version   Unicode version

Theorem tdeglem3 22327
 Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a
tdeglem.h fld g
Assertion
Ref Expression
tdeglem3
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18295 . . 3 fld
2 cnfld0 18313 . . 3 fld
3 cnfldadd 18296 . . 3 fld
4 cnring 18311 . . . 4 fld
5 ringcmn 17100 . . . 4 fld fld CMnd
64, 5mp1i 12 . . 3 fld CMnd
7 simp1 995 . . 3
8 tdeglem.a . . . . . 6
98psrbagf 17885 . . . . 5
10 nn0sscn 10803 . . . . 5
11 fss 5726 . . . . 5
129, 10, 11sylancl 662 . . . 4
148psrbagf 17885 . . . . 5
15 fss 5726 . . . . 5
1614, 10, 15sylancl 662 . . . 4
188psrbagfsupp 18046 . . . . 5 finSupp
1918ancoms 453 . . . 4 finSupp
20193adant3 1015 . . 3 finSupp
218psrbagfsupp 18046 . . . . 5 finSupp
2221ancoms 453 . . . 4 finSupp
23223adant2 1014 . . 3 finSupp
241, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23gsumadd 16809 . 2 fld g fld g fld g
26 oveq2 6286 . . . 4 fld g fld g
27 tdeglem.h . . . 4 fld g
28 ovex 6306 . . . 4 fld g
2926, 27, 28fvmpt 5938 . . 3 fld g
3025, 29syl 16 . 2 fld g
31 oveq2 6286 . . . . 5 fld g fld g
32 ovex 6306 . . . . 5 fld g
3331, 27, 32fvmpt 5938 . . . 4 fld g
34 oveq2 6286 . . . . 5 fld g fld g
35 ovex 6306 . . . . 5 fld g
3634, 27, 35fvmpt 5938 . . . 4 fld g
3733, 36oveqan12d 6297 . . 3 fld g fld g
38373adant1 1013 . 2 fld g fld g
3924, 30, 383eqtr4d 2492 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 972   wceq 1381   wcel 1802  crab 2795   wss 3459   class class class wbr 4434   cmpt 4492  ccnv 4985  cima 4989  wf 5571  cfv 5575  (class class class)co 6278   cof 6520   cmap 7419  cfn 7515   finSupp cfsupp 7828  cc 9490  cc0 9492   caddc 9495  cn 10539  cn0 10798   g cgsu 14712  CMndccmn 16669  crg 17069  ℂfldccnfld 18291 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-addf 9571  ax-mulf 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6522  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-supp 6901  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-fsupp 7829  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-seq 12084  df-hash 12382  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-submnd 15838  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17013  df-ur 17025  df-ring 17071  df-cring 17072  df-cnfld 18292 This theorem is referenced by:  mdegmullem  22348
 Copyright terms: Public domain W3C validator