MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Structured version   Unicode version

Theorem tdeglem3 22327
Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
tdeglem.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
Assertion
Ref Expression
tdeglem3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  ( ( H `  X
)  +  ( H `
 Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, h    h, I, m    h, V   
h, X, m    h, Y, m
Allowed substitution hints:    A( m)    H( h, m)    V( m)

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18295 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfld0 18313 . . 3  |-  0  =  ( 0g ` fld )
3 cnfldadd 18296 . . 3  |-  +  =  ( +g  ` fld )
4 cnring 18311 . . . 4  |-fld  e.  Ring
5 ringcmn 17100 . . . 4  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
64, 5mp1i 12 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->fld  e. CMnd
)
7 simp1 995 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  I  e.  V )
8 tdeglem.a . . . . . 6  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
98psrbagf 17885 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X : I --> NN0 )
10 nn0sscn 10803 . . . . 5  |-  NN0  C_  CC
11 fss 5726 . . . . 5  |-  ( ( X : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  X : I --> CC )
129, 10, 11sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X : I --> CC )
13123adant3 1015 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  X : I --> CC )
148psrbagf 17885 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> NN0 )
15 fss 5726 . . . . 5  |-  ( ( Y : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  Y : I --> CC )
1614, 10, 15sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> CC )
17163adant2 1014 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> CC )
188psrbagfsupp 18046 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  X finSupp  0 )
1918ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X finSupp  0 )
20193adant3 1015 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  X finSupp  0 )
218psrbagfsupp 18046 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  Y finSupp  0 )
2221ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y finSupp  0 )
23223adant2 1014 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  Y finSupp  0 )
241, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23gsumadd 16809 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  (fld 
gsumg  ( X  oF  +  Y ) )  =  ( (fld 
gsumg  X )  +  (fld  gsumg  Y ) ) )
258psrbagaddcl 17891 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  oF  +  Y )  e.  A )
26 oveq2 6286 . . . 4  |-  ( h  =  ( X  oF  +  Y )  ->  (fld 
gsumg  h )  =  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y
) ) )
27 tdeglem.h . . . 4  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
28 ovex 6306 . . . 4  |-  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y ) )  e.  _V
2926, 27, 28fvmpt 5938 . . 3  |-  ( ( X  oF  +  Y )  e.  A  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y
) ) )
3025, 29syl 16 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y
) ) )
31 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( h  =  X  ->  (fld  gsumg  h )  =  (fld  gsumg  X ) )
32 ovex 6306 . . . . 5  |-  (fld  gsumg  X )  e.  _V
3331, 27, 32fvmpt 5938 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( H `  X )  =  (fld 
gsumg  X ) )
34 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( h  =  Y  ->  (fld  gsumg  h )  =  (fld  gsumg  Y ) )
35 ovex 6306 . . . . 5  |-  (fld  gsumg  Y )  e.  _V
3634, 27, 35fvmpt 5938 . . . 4  |-  ( Y  e.  A  ->  ( H `  Y )  =  (fld 
gsumg  Y ) )
3733, 36oveqan12d 6297 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  +  ( H `  Y ) )  =  ( (fld  gsumg  X )  +  (fld 
gsumg  Y ) ) )
38373adant1 1013 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  +  ( H `  Y ) )  =  ( (fld  gsumg  X )  +  (fld 
gsumg  Y ) ) )
3924, 30, 383eqtr4d 2492 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  ( ( H `  X
)  +  ( H `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   {crab 2795    C_ wss 3459   class class class wbr 4434    |-> cmpt 4492   `'ccnv 4985   "cima 4989   -->wf 5571   ` cfv 5575  (class class class)co 6278    oFcof 6520    ^m cmap 7419   Fincfn 7515   finSupp cfsupp 7828   CCcc 9490   0cc0 9492    + caddc 9495   NNcn 10539   NN0cn0 10798    gsumg cgsu 14712  CMndccmn 16669   Ringcrg 17069  ℂfldccnfld 18291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6522  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-supp 6901  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-fsupp 7829  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-seq 12084  df-hash 12382  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-submnd 15838  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17013  df-ur 17025  df-ring 17071  df-cring 17072  df-cnfld 18292
This theorem is referenced by:  mdegmullem  22348
  Copyright terms: Public domain W3C validator