MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Structured version   Unicode version

Theorem tdeglem3 22325
Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
tdeglem.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
Assertion
Ref Expression
tdeglem3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  ( ( H `  X
)  +  ( H `
 Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, h    h, I, m    h, V   
h, X, m    h, Y, m
Allowed substitution hints:    A( m)    H( h, m)    V( m)

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18294 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfld0 18312 . . 3  |-  0  =  ( 0g ` fld )
3 cnfldadd 18295 . . 3  |-  +  =  ( +g  ` fld )
4 cnring 18310 . . . 4  |-fld  e.  Ring
5 ringcmn 17101 . . . 4  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
64, 5mp1i 12 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->fld  e. CMnd
)
7 simp1 996 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  I  e.  V )
8 tdeglem.a . . . . . 6  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
98psrbagf 17884 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X : I --> NN0 )
10 nn0sscn 10812 . . . . 5  |-  NN0  C_  CC
11 fss 5745 . . . . 5  |-  ( ( X : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  X : I --> CC )
129, 10, 11sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X : I --> CC )
13123adant3 1016 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  X : I --> CC )
148psrbagf 17884 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> NN0 )
15 fss 5745 . . . . 5  |-  ( ( Y : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  Y : I --> CC )
1614, 10, 15sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> CC )
17163adant2 1015 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> CC )
188psrbagfsupp 18045 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  X finSupp  0 )
1918ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X finSupp  0 )
20193adant3 1016 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  X finSupp  0 )
218psrbagfsupp 18045 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  Y finSupp  0 )
2221ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y finSupp  0 )
23223adant2 1015 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  Y finSupp  0 )
241, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23gsumadd 16811 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  (fld 
gsumg  ( X  oF  +  Y ) )  =  ( (fld 
gsumg  X )  +  (fld  gsumg  Y ) ) )
258psrbagaddcl 17890 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  oF  +  Y )  e.  A )
26 oveq2 6303 . . . 4  |-  ( h  =  ( X  oF  +  Y )  ->  (fld 
gsumg  h )  =  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y
) ) )
27 tdeglem.h . . . 4  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
28 ovex 6320 . . . 4  |-  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y ) )  e.  _V
2926, 27, 28fvmpt 5957 . . 3  |-  ( ( X  oF  +  Y )  e.  A  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y
) ) )
3025, 29syl 16 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y
) ) )
31 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( h  =  X  ->  (fld  gsumg  h )  =  (fld  gsumg  X ) )
32 ovex 6320 . . . . 5  |-  (fld  gsumg  X )  e.  _V
3331, 27, 32fvmpt 5957 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( H `  X )  =  (fld 
gsumg  X ) )
34 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( h  =  Y  ->  (fld  gsumg  h )  =  (fld  gsumg  Y ) )
35 ovex 6320 . . . . 5  |-  (fld  gsumg  Y )  e.  _V
3634, 27, 35fvmpt 5957 . . . 4  |-  ( Y  e.  A  ->  ( H `  Y )  =  (fld 
gsumg  Y ) )
3733, 36oveqan12d 6314 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  +  ( H `  Y ) )  =  ( (fld  gsumg  X )  +  (fld 
gsumg  Y ) ) )
38373adant1 1014 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  +  ( H `  Y ) )  =  ( (fld  gsumg  X )  +  (fld 
gsumg  Y ) ) )
3924, 30, 383eqtr4d 2518 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  ( ( H `  X
)  +  ( H `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821    C_ wss 3481   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   "cima 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   finSupp cfsupp 7841   CCcc 9502   0cc0 9504    + caddc 9507   NNcn 10548   NN0cn0 10807    gsumg cgsu 14713  CMndccmn 16671   Ringcrg 17070  ℂfldccnfld 18290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-cnfld 18291
This theorem is referenced by:  mdegmullem  22346
  Copyright terms: Public domain W3C validator