MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Structured version   Unicode version

Theorem tdeglem3 21547
Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
tdeglem.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
Assertion
Ref Expression
tdeglem3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  ( ( H `  X
)  +  ( H `
 Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, h    h, I, m    h, V   
h, X, m    h, Y, m
Allowed substitution hints:    A( m)    H( h, m)    V( m)

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 17841 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfld0 17859 . . 3  |-  0  =  ( 0g ` fld )
3 cnfldadd 17842 . . 3  |-  +  =  ( +g  ` fld )
4 cnrng 17857 . . . 4  |-fld  e.  Ring
5 rngcmn 16694 . . . 4  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
64, 5mp1i 12 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->fld  e. CMnd
)
7 simp1 988 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  I  e.  V )
8 tdeglem.a . . . . . 6  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
98psrbagf 17451 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X : I --> NN0 )
10 nn0sscn 10603 . . . . 5  |-  NN0  C_  CC
11 fss 5586 . . . . 5  |-  ( ( X : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  X : I --> CC )
129, 10, 11sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X : I --> CC )
13123adant3 1008 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  X : I --> CC )
148psrbagf 17451 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> NN0 )
15 fss 5586 . . . . 5  |-  ( ( Y : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  Y : I --> CC )
1614, 10, 15sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> CC )
17163adant2 1007 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> CC )
188psrbagfsupp 17611 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  X finSupp  0 )
1918ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X finSupp  0 )
20193adant3 1008 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  X finSupp  0 )
218psrbagfsupp 17611 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  Y finSupp  0 )
2221ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y finSupp  0 )
23223adant2 1007 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  Y finSupp  0 )
241, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23gsumadd 16431 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  (fld 
gsumg  ( X  oF  +  Y ) )  =  ( (fld 
gsumg  X )  +  (fld  gsumg  Y ) ) )
258psrbagaddcl 17457 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  oF  +  Y )  e.  A )
26 oveq2 6118 . . . 4  |-  ( h  =  ( X  oF  +  Y )  ->  (fld 
gsumg  h )  =  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y
) ) )
27 tdeglem.h . . . 4  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
28 ovex 6135 . . . 4  |-  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y ) )  e.  _V
2926, 27, 28fvmpt 5793 . . 3  |-  ( ( X  oF  +  Y )  e.  A  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y
) ) )
3025, 29syl 16 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  (fld  gsumg  ( X  oF  +  Y
) ) )
31 oveq2 6118 . . . . 5  |-  ( h  =  X  ->  (fld  gsumg  h )  =  (fld  gsumg  X ) )
32 ovex 6135 . . . . 5  |-  (fld  gsumg  X )  e.  _V
3331, 27, 32fvmpt 5793 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( H `  X )  =  (fld 
gsumg  X ) )
34 oveq2 6118 . . . . 5  |-  ( h  =  Y  ->  (fld  gsumg  h )  =  (fld  gsumg  Y ) )
35 ovex 6135 . . . . 5  |-  (fld  gsumg  Y )  e.  _V
3634, 27, 35fvmpt 5793 . . . 4  |-  ( Y  e.  A  ->  ( H `  Y )  =  (fld 
gsumg  Y ) )
3733, 36oveqan12d 6129 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  +  ( H `  Y ) )  =  ( (fld  gsumg  X )  +  (fld 
gsumg  Y ) ) )
38373adant1 1006 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  +  ( H `  Y ) )  =  ( (fld  gsumg  X )  +  (fld 
gsumg  Y ) ) )
3924, 30, 383eqtr4d 2485 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  oF  +  Y
) )  =  ( ( H `  X
)  +  ( H `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2738    C_ wss 3347   class class class wbr 4311    e. cmpt 4369   `'ccnv 4858   "cima 4862   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    oFcof 6337    ^m cmap 7233   Fincfn 7329   finSupp cfsupp 7639   CCcc 9299   0cc0 9301    + caddc 9304   NNcn 10341   NN0cn0 10598    gsumg cgsu 14398  CMndccmn 16296   Ringcrg 16664  ℂfldccnfld 17837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-addf 9380  ax-mulf 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-oi 7743  df-card 8128  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-seq 11826  df-hash 12123  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-abl 16299  df-mgp 16611  df-ur 16623  df-rng 16666  df-cring 16667  df-cnfld 17838
This theorem is referenced by:  mdegmullem  21568
  Copyright terms: Public domain W3C validator