MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem2 Structured version   Unicode version

Theorem tdeglem2 21656
Description: Simplification of total degree for the univariate case. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
tdeglem2  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( h `
 (/) ) )  =  ( h  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  (fld 
gsumg  h ) )

Proof of Theorem tdeglem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7337 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  h : { (/) } --> NN0 )
21feqmptd 5846 . . . . . 6  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  h  =  ( x  e. 
{ (/) }  |->  ( h `
 x ) ) )
32oveq2d 6209 . . . . 5  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  (fld  gsumg  h )  =  (fld  gsumg  ( x  e.  { (/) }  |->  ( h `  x ) ) ) )
4 cnrng 17956 . . . . . . 7  |-fld  e.  Ring
5 rngmnd 16769 . . . . . . 7  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Mnd )
64, 5mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->fld  e.  Mnd )
7 0ex 4523 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  (/)  e.  _V )
97snid 4006 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  { (/)
}
10 ffvelrn 5943 . . . . . . . 8  |-  ( ( h : { (/) } --> NN0  /\  (/)  e.  { (/)
} )  ->  (
h `  (/) )  e. 
NN0 )
111, 9, 10sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  (
h `  (/) )  e. 
NN0 )
1211nn0cnd 10742 . . . . . 6  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  (
h `  (/) )  e.  CC )
13 cnfldbas 17940 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
14 fveq2 5792 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( h `
 x )  =  ( h `  (/) ) )
1513, 14gsumsn 16563 . . . . . 6  |-  ( (fld  e. 
Mnd  /\  (/)  e.  _V  /\  ( h `  (/) )  e.  CC )  ->  (fld  gsumg  ( x  e.  { (/)
}  |->  ( h `  x ) ) )  =  ( h `  (/) ) )
166, 8, 12, 15syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  (fld  gsumg  ( x  e.  { (/)
}  |->  ( h `  x ) ) )  =  ( h `  (/) ) )
173, 16eqtrd 2492 . . . 4  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  (fld  gsumg  h )  =  ( h `  (/) ) )
18 df1o2 7035 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
1918oveq2i 6204 . . . 4  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  ( NN0  ^m  { (/)
} )
2017, 19eleq2s 2559 . . 3  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  (fld  gsumg  h )  =  ( h `  (/) ) )
2120eqcomd 2459 . 2  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( h `
 (/) )  =  (fld  gsumg  h ) )
2221mpteq2ia 4475 1  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( h `
 (/) ) )  =  ( h  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  (fld 
gsumg  h ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071   (/)c0 3738   {csn 3978    |-> cmpt 4451   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   1oc1o 7016    ^m cmap 7317   CCcc 9384   NN0cn0 10683    gsumg cgsu 14490   Mndcmnd 15520   Ringcrg 16760  ℂfldccnfld 17936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-hash 12214  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-mgp 16706  df-rng 16762  df-cring 16763  df-cnfld 17937
This theorem is referenced by:  deg1ldg  21689  deg1leb  21692  deg1val  21693  deg1valOLD  21694
  Copyright terms: Public domain W3C validator