MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem2 Structured version   Unicode version

Theorem tdeglem2 22585
Description: Simplification of total degree for the univariate case. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
tdeglem2  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( h `
 (/) ) )  =  ( h  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  (fld 
gsumg  h ) )

Proof of Theorem tdeglem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7459 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  h : { (/) } --> NN0 )
21feqmptd 5926 . . . . . 6  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  h  =  ( x  e. 
{ (/) }  |->  ( h `
 x ) ) )
32oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  (fld  gsumg  h )  =  (fld  gsumg  ( x  e.  { (/) }  |->  ( h `  x ) ) ) )
4 cnring 18567 . . . . . . 7  |-fld  e.  Ring
5 ringmnd 17334 . . . . . . 7  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Mnd )
64, 5mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->fld  e.  Mnd )
7 0ex 4587 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  (/)  e.  _V )
97snid 4060 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  { (/)
}
10 ffvelrn 6030 . . . . . . . 8  |-  ( ( h : { (/) } --> NN0  /\  (/)  e.  { (/)
} )  ->  (
h `  (/) )  e. 
NN0 )
111, 9, 10sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  (
h `  (/) )  e. 
NN0 )
1211nn0cnd 10875 . . . . . 6  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  (
h `  (/) )  e.  CC )
13 cnfldbas 18551 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
14 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( h `
 x )  =  ( h `  (/) ) )
1513, 14gsumsn 17108 . . . . . 6  |-  ( (fld  e. 
Mnd  /\  (/)  e.  _V  /\  ( h `  (/) )  e.  CC )  ->  (fld  gsumg  ( x  e.  { (/)
}  |->  ( h `  x ) ) )  =  ( h `  (/) ) )
166, 8, 12, 15syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  (fld  gsumg  ( x  e.  { (/)
}  |->  ( h `  x ) ) )  =  ( h `  (/) ) )
173, 16eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  {
(/) } )  ->  (fld  gsumg  h )  =  ( h `  (/) ) )
18 df1o2 7160 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
1918oveq2i 6307 . . . 4  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  ( NN0  ^m  { (/)
} )
2017, 19eleq2s 2565 . . 3  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  (fld  gsumg  h )  =  ( h `  (/) ) )
2120eqcomd 2465 . 2  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( h `
 (/) )  =  (fld  gsumg  h ) )
2221mpteq2ia 4539 1  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( h `
 (/) ) )  =  ( h  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  (fld 
gsumg  h ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   {csn 4032    |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1oc1o 7141    ^m cmap 7438   CCcc 9507   NN0cn0 10816    gsumg cgsu 14858   Mndcmnd 16046   Ringcrg 17325  ℂfldccnfld 18547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ring 17327  df-cring 17328  df-cnfld 18548
This theorem is referenced by:  deg1ldg  22618  deg1leb  22621  deg1val  22622  deg1valOLD  22623
  Copyright terms: Public domain W3C validator