MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem1 Structured version   Unicode version

Theorem tdeglem1 22188
Description: Functionality of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
tdeglem.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
Assertion
Ref Expression
tdeglem1  |-  ( I  e.  V  ->  H : A --> NN0 )
Distinct variable groups:    A, h    h, I, m    h, V
Allowed substitution hints:    A( m)    H( h, m)    V( m)

Proof of Theorem tdeglem1
StepHypRef Expression
1 cnfld0 18210 . . 3  |-  0  =  ( 0g ` fld )
2 cnrng 18208 . . . 4  |-fld  e.  Ring
3 rngcmn 17013 . . . 4  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
42, 3mp1i 12 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->fld  e. CMnd
)
5 simpl 457 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  I  e.  V )
6 nn0subm 18238 . . . 4  |-  NN0  e.  (SubMnd ` fld )
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  NN0  e.  (SubMnd ` fld )
)
8 tdeglem.a . . . 4  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
98psrbagf 17782 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  h : I --> NN0 )
108psrbagfsupp 17943 . . . 4  |-  ( ( h  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  h finSupp  0 )
1110ancoms 453 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  h finSupp  0 )
121, 4, 5, 7, 9, 11gsumsubmcl 16718 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  (fld 
gsumg  h )  e.  NN0 )
13 tdeglem.h . 2  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
1412, 13fmptd 6043 1  |-  ( I  e.  V  ->  H : A --> NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   finSupp cfsupp 7825   0cc0 9488   NNcn 10532   NN0cn0 10791    gsumg cgsu 14689  SubMndcsubmnd 15773  CMndccmn 16591   Ringcrg 16983  ℂfldccnfld 18188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-hash 12368  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-cnfld 18189
This theorem is referenced by:  mdegleb  22196  mdeglt  22197  mdegldg  22198  mdegxrcl  22199  mdegcl  22201  mdegnn0cl  22203  mdegaddle  22206  mdegle0  22209  mdegmullem  22210
  Copyright terms: Public domain W3C validator