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Theorem tcrank 8354
Description: This theorem expresses two different facts from the two subset implications in this equality. In the forward direction, it says that the transitive closure has members of every rank below  A. Stated another way, to construct a set at a given rank, you have to climb the entire hierarchy of ordinals below  ( rank `  A ), constructing at least one set at each level in order to move up the ranks. In the reverse direction, it says that every member of  ( TC `  A ) has a rank below the rank of  A, since intuitively it contains only the members of  A and the members of those and so on, but nothing "bigger" than  A. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tcrank  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  ( rank " ( TC `  A ) ) )

Proof of Theorem tcrank
Dummy variables  x  y  z  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankwflemb 8263 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  E. y  e.  On  A  e.  ( R1 `  suc  y
) )
2 suceloni 6654 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
3 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
43raleqdv 3038 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  ( R1 `  x ) (
rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  A. z  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) ) ) )
5 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  u  ->  ( rank `  z )  =  ( rank `  u
) )
6 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  ( TC `  z )  =  ( TC `  u
) )
76imaeq2d 5188 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  u  ->  ( rank " ( TC `  z ) )  =  ( rank " ( TC `  u ) ) )
85, 7sseq12d 3499 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  u  ->  (
( rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) )  <-> 
( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) ) )
98cbvralv 3062 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( R1 `  y ) ( rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  A. u  e.  ( R1 `  y
) ( rank `  u
)  C_  ( rank " ( TC `  u
) ) )
104, 9syl6bb 264 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  ( R1 `  x ) (
rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) ) )
11 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
1211raleqdv 3038 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A. z  e.  ( R1 `  x
) ( rank `  z
)  C_  ( rank " ( TC `  z
) )  <->  A. z  e.  ( R1 `  suc  y ) ( rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) ) ) )
13 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  -> 
( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
) )
14 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  -> 
z  e.  ( R1
`  x ) )
15 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  ->  A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )
16 rankr1ai 8268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  ( rank `  z )  e.  x )
17 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( rank `  z
)  ->  ( R1 `  y )  =  ( R1 `  ( rank `  z ) ) )
1817raleqdv 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( rank `  z
)  ->  ( A. u  e.  ( R1 `  y ) ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  <->  A. u  e.  ( R1 `  ( rank `  z ) ) ( rank `  u
)  C_  ( rank " ( TC `  u
) ) ) )
1918rspcv 3184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
rank `  z )  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  A. u  e.  ( R1 `  ( rank `  z
) ) ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) ) )
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  ( A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  A. u  e.  ( R1 `  ( rank `  z ) ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) ) )
21 r1elwf 8266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  z  e.  U. ( R1 " On ) )
22 r1rankidb 8274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
z  C_  ( R1 `  ( rank `  z
) ) )
23 ssralv 3531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  ( R1 `  ( rank `  z )
)  ->  ( A. u  e.  ( R1 `  ( rank `  z
) ) ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  A. u  e.  z 
( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) ) )
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  ( A. u  e.  ( R1 `  ( rank `  z
) ) ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  A. u  e.  z 
( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) ) )
2520, 24syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  ( A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  A. u  e.  z  ( rank `  u
)  C_  ( rank " ( TC `  u
) ) ) )
2614, 15, 25sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  ->  A. u  e.  z 
( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )
27 rankval3b 8296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  z )  =  |^| { x  e.  On  |  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  x } )
2827eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( w  e.  (
rank `  z )  <->  w  e.  |^| { x  e.  On  |  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  x } ) )
2928biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( w  e.  (
rank `  z )  ->  w  e.  |^| { x  e.  On  |  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  x } ) )
30 rankon 8265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( rank `  z )  e.  On
3130oneli 5549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ( rank `  z
)  ->  w  e.  On )
32 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  w  ->  (
( rank `  u )  e.  x  <->  ( rank `  u
)  e.  w ) )
3332ralbidv 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  ( A. u  e.  z 
( rank `  u )  e.  x  <->  A. u  e.  z  ( rank `  u
)  e.  w ) )
3433onnminsb 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  On  ->  (
w  e.  |^| { x  e.  On  |  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  x }  ->  -.  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  w
) )
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( rank `  z
)  ->  ( w  e.  |^| { x  e.  On  |  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  x }  ->  -.  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  w
) )
3629, 35sylcom 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( w  e.  (
rank `  z )  ->  -.  A. u  e.  z  ( rank `  u
)  e.  w ) )
3721, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  (
w  e.  ( rank `  z )  ->  -.  A. u  e.  z  (
rank `  u )  e.  w ) )
3837imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( R1
`  x )  /\  w  e.  ( rank `  z ) )  ->  -.  A. u  e.  z  ( rank `  u
)  e.  w )
39 rexnal 2880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. u  e.  z  -.  ( rank `  u
)  e.  w  <->  -.  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  w
)
4038, 39sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( R1
`  x )  /\  w  e.  ( rank `  z ) )  ->  E. u  e.  z  -.  ( rank `  u
)  e.  w )
4140adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  ->  E. u  e.  z  -.  ( rank `  u
)  e.  w )
42 r19.29 2970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. u  e.  z  ( rank `  u
)  C_  ( rank " ( TC `  u
) )  /\  E. u  e.  z  -.  ( rank `  u )  e.  w )  ->  E. u  e.  z  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC
`  u ) )  /\  -.  ( rank `  u )  e.  w
) )
4326, 41, 42syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  ->  E. u  e.  z 
( ( rank `  u
)  C_  ( rank " ( TC `  u
) )  /\  -.  ( rank `  u )  e.  w ) )
44 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  u  e.  z )
45 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
46 tcid 8222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  _V  ->  z  C_  ( TC `  z
) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  C_  ( TC `  z )
4847sseli 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  z  ->  u  e.  ( TC `  z
) )
49 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  u  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  u
) )
5049eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  u  ->  (
( rank `  x )  =  w  <->  ( rank `  u
)  =  w ) )
5150rspcev 3188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ( TC
`  z )  /\  ( rank `  u )  =  w )  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w )
5251ex 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( TC `  z )  ->  (
( rank `  u )  =  w  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
5344, 48, 523syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  ( ( rank `  u )  =  w  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
54 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )
5554sseld 3469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  ( w  e.  ( rank `  u
)  ->  w  e.  ( rank " ( TC
`  u ) ) ) )
56 simp1l 1029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  z  e.  ( R1 `  x ) )
57 rankf 8264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  rank : U. ( R1 " On ) --> On
58 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  rank  Fn  U. ( R1 " On ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  rank  Fn  U. ( R1 " On )
60 r1tr 8246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Tr  ( R1 `  x )
61 trel 4527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Tr  ( R1 `  x
)  ->  ( (
u  e.  z  /\  z  e.  ( R1 `  x ) )  ->  u  e.  ( R1 `  x ) ) )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  z  /\  z  e.  ( R1 `  x ) )  ->  u  e.  ( R1 `  x ) )
63 r1elwf 8266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( R1 `  x )  ->  u  e.  U. ( R1 " On ) )
64 tcwf 8353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( TC `  u
)  e.  U. ( R1 " On ) )
65 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( TC
`  u )  e. 
_V
6665r1elss 8276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( TC `  u )  e.  U. ( R1
" On )  <->  ( TC `  u )  C_  U. ( R1 " On ) )
6764, 66sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( TC `  u
)  C_  U. ( R1 " On ) )
6862, 63, 673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  z  /\  z  e.  ( R1 `  x ) )  -> 
( TC `  u
)  C_  U. ( R1 " On ) )
69 fvelimab 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
rank  Fn  U. ( R1 " On )  /\  ( TC `  u ) 
C_  U. ( R1 " On ) )  ->  (
w  e.  ( rank " ( TC `  u ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  u
) ( rank `  x
)  =  w ) )
7059, 68, 69sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  z  /\  z  e.  ( R1 `  x ) )  -> 
( w  e.  (
rank " ( TC `  u ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  u
) ( rank `  x
)  =  w ) )
7145tcel 8228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  z  ->  ( TC `  u )  C_  ( TC `  z ) )
72 ssrexv 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( TC `  u ) 
C_  ( TC `  z )  ->  ( E. x  e.  ( TC `  u ) (
rank `  x )  =  w  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  z  ->  ( E. x  e.  ( TC `  u ) (
rank `  x )  =  w  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
7473adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  z  /\  z  e.  ( R1 `  x ) )  -> 
( E. x  e.  ( TC `  u
) ( rank `  x
)  =  w  ->  E. x  e.  ( TC `  z ) (
rank `  x )  =  w ) )
7570, 74sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  z  /\  z  e.  ( R1 `  x ) )  -> 
( w  e.  (
rank " ( TC `  u ) )  ->  E. x  e.  ( TC `  z ) (
rank `  x )  =  w ) )
7644, 56, 75syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  ( w  e.  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  E. x  e.  ( TC `  z ) ( rank `  x
)  =  w ) )
7755, 76syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  ( w  e.  ( rank `  u
)  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
78 rankon 8265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( rank `  u )  e.  On
79 eloni 5452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
rank `  u )  e.  On  ->  Ord  ( rank `  u ) )
80 eloni 5452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  On  ->  Ord  w )
81 ordtri3or 5474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Ord  ( rank `  u
)  /\  Ord  w )  ->  ( ( rank `  u )  e.  w  \/  ( rank `  u
)  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u ) ) )
8279, 80, 81syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( rank `  u
)  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( ( rank `  u
)  e.  w  \/  ( rank `  u
)  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u ) ) )
8378, 31, 82sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( rank `  z
)  ->  ( ( rank `  u )  e.  w  \/  ( rank `  u )  =  w  \/  w  e.  (
rank `  u )
) )
84 3orass 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( rank `  u
)  e.  w  \/  ( rank `  u
)  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u ) )  <->  ( ( rank `  u )  e.  w  \/  ( (
rank `  u )  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u
) ) ) )
8583, 84sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( rank `  z
)  ->  ( ( rank `  u )  e.  w  \/  ( (
rank `  u )  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u
) ) ) )
8685orcanai 921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( rank `  z )  /\  -.  ( rank `  u )  e.  w )  ->  (
( rank `  u )  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u
) ) )
8786ad2ant2l 750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC
`  u ) )  /\  -.  ( rank `  u )  e.  w
) )  ->  (
( rank `  u )  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u
) ) )
88873adant2 1024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  ( ( rank `  u )  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u
) ) )
8953, 77, 88mpjaod 382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w )
9089rexlimdv3a 2926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( R1
`  x )  /\  w  e.  ( rank `  z ) )  -> 
( E. u  e.  z  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w )  ->  E. x  e.  ( TC `  z ) ( rank `  x
)  =  w ) )
9113, 43, 90sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  ->  E. x  e.  ( TC `  z ) (
rank `  x )  =  w )
9291expr 618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  z  e.  ( R1 `  x
) )  ->  (
w  e.  ( rank `  z )  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
93 tcwf 8353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( TC `  z
)  e.  U. ( R1 " On ) )
94 r1elssi 8275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( TC `  z )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( TC `  z
)  C_  U. ( R1 " On ) )
95 fvelimab 5937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank  Fn  U. ( R1 " On )  /\  ( TC `  z ) 
C_  U. ( R1 " On ) )  ->  (
w  e.  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
9694, 95sylan2 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
rank  Fn  U. ( R1 " On )  /\  ( TC `  z )  e.  U. ( R1
" On ) )  ->  ( w  e.  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  z ) (
rank `  x )  =  w ) )
9759, 93, 96sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( w  e.  (
rank " ( TC `  z ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
9821, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  (
w  e.  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
9998adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  z  e.  ( R1 `  x
) )  ->  (
w  e.  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
10092, 99sylibrd 237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  z  e.  ( R1 `  x
) )  ->  (
w  e.  ( rank `  z )  ->  w  e.  ( rank " ( TC `  z ) ) ) )
101100ssrdv 3476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  z  e.  ( R1 `  x
) )  ->  ( rank `  z )  C_  ( rank " ( TC
`  z ) ) )
102101ralrimiva 2846 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  ->  A. z  e.  ( R1 `  x ) ( rank `  z
)  C_  ( rank " ( TC `  z
) ) )
103102ex 435 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  A. z  e.  ( R1 `  x ) ( rank `  z
)  C_  ( rank " ( TC `  z
) ) ) )
10410, 12, 103tfis3 6698 . . . . 5  |-  ( suc  y  e.  On  ->  A. z  e.  ( R1
`  suc  y )
( rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) ) )
105 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( rank `  z )  =  ( rank `  A
) )
106 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  ( TC `  z )  =  ( TC `  A
) )
107106imaeq2d 5188 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( rank " ( TC `  z ) )  =  ( rank " ( TC `  A ) ) )
108105, 107sseq12d 3499 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) )  <-> 
( rank `  A )  C_  ( rank " ( TC `  A ) ) ) )
109108rspccv 3185 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( R1 ` 
suc  y ) (
rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) )  ->  ( A  e.  ( R1 `  suc  y )  ->  ( rank `  A )  C_  ( rank " ( TC
`  A ) ) ) )
1102, 104, 1093syl 18 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  ( R1 ` 
suc  y )  -> 
( rank `  A )  C_  ( rank " ( TC `  A ) ) ) )
111110rexlimiv 2918 . . 3  |-  ( E. y  e.  On  A  e.  ( R1 `  suc  y )  ->  ( rank `  A )  C_  ( rank " ( TC
`  A ) ) )
1121, 111sylbi 198 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_  ( rank " ( TC `  A ) ) )
113 tcvalg 8221 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( TC `  A
)  =  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) } )
114 r1rankidb 8274 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  ( R1 `  ( rank `  A )
) )
115 r1tr 8246 . . . . 5  |-  Tr  ( R1 `  ( rank `  A
) )
116 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( R1
`  ( rank `  A
) )  e.  _V
117 sseq2 3492 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( A  C_  x  <->  A  C_  ( R1
`  ( rank `  A
) ) ) )
118 treq 4526 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( Tr  x 
<->  Tr  ( R1 `  ( rank `  A )
) ) )
119117, 118anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  <->  ( A  C_  ( R1 `  ( rank `  A ) )  /\  Tr  ( R1
`  ( rank `  A
) ) ) ) )
120116, 119elab 3224 . . . . . 6  |-  ( ( R1 `  ( rank `  A ) )  e. 
{ x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  <->  ( A  C_  ( R1 `  ( rank `  A ) )  /\  Tr  ( R1
`  ( rank `  A
) ) ) )
121 intss1 4273 . . . . . 6  |-  ( ( R1 `  ( rank `  A ) )  e. 
{ x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  ->  |^|
{ x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  C_  ( R1 `  ( rank `  A ) ) )
122120, 121sylbir 216 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ( R1 `  ( rank `  A
) )  /\  Tr  ( R1 `  ( rank `  A ) ) )  ->  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) } 
C_  ( R1 `  ( rank `  A )
) )
123114, 115, 122sylancl 666 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  C_  ( R1 `  ( rank `  A ) ) )
124113, 123eqsstrd 3504 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( TC `  A
)  C_  ( R1 `  ( rank `  A
) ) )
125 imass2 5224 . . . 4  |-  ( ( TC `  A ) 
C_  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( rank " ( TC `  A
) )  C_  ( rank " ( R1 `  ( rank `  A )
) ) )
126 ffun 5748 . . . . . . . 8  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  Fun  rank )
12757, 126ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  Fun  rank
128 fvelima 5933 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  rank  /\  x  e.  ( rank " ( R1 `  ( rank `  A
) ) ) )  ->  E. y  e.  ( R1 `  ( rank `  A ) ) (
rank `  y )  =  x )
129127, 128mpan 674 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( rank " ( R1 `  ( rank `  A
) ) )  ->  E. y  e.  ( R1 `  ( rank `  A
) ) ( rank `  y )  =  x )
130 rankr1ai 8268 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( rank `  y )  e.  (
rank `  A )
)
131 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  y )  =  x  ->  ( (
rank `  y )  e.  ( rank `  A
)  <->  x  e.  ( rank `  A ) ) )
132130, 131syl5ibcom 223 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( ( rank `  y )  =  x  ->  x  e.  ( rank `  A )
) )
133132rexlimiv 2918 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ( R1
`  ( rank `  A
) ) ( rank `  y )  =  x  ->  x  e.  (
rank `  A )
)
134129, 133syl 17 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( rank " ( R1 `  ( rank `  A
) ) )  ->  x  e.  ( rank `  A ) )
135134ssriv 3474 . . . 4  |-  ( rank " ( R1 `  ( rank `  A )
) )  C_  ( rank `  A )
136125, 135syl6ss 3482 . . 3  |-  ( ( TC `  A ) 
C_  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( rank " ( TC `  A
) )  C_  ( rank `  A ) )
137124, 136syl 17 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank " ( TC
`  A ) ) 
C_  ( rank `  A
) )
138112, 137eqssd 3487 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  ( rank " ( TC `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cab 2414   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   U.cuni 4222   |^|cint 4258   Tr wtr 4520   "cima 4857   Ord word 5441   Oncon0 5442   suc csuc 5444   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601   TCctc 8219   R1cr1 8232   rankcrnk 8233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-tc 8220  df-r1 8234  df-rank 8235
This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8858  grur1  9244
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