MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcrank Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem tcrank 8373
Description: This theorem expresses two different facts from the two subset implications in this equality. In the forward direction, it says that the transitive closure has members of every rank below  A. Stated another way, to construct a set at a given rank, you have to climb the entire hierarchy of ordinals below  ( rank `  A ), constructing at least one set at each level in order to move up the ranks. In the reverse direction, it says that every member of  ( TC `  A ) has a rank below the rank of  A, since intuitively it contains only the members of  A and the members of those and so on, but nothing "bigger" than  A. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tcrank  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  ( rank " ( TC `  A ) ) )

Proof of Theorem tcrank
Dummy variables  x  y  z  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankwflemb 8282 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  E. y  e.  On  A  e.  ( R1 `  suc  y
) )
2 suceloni 6659 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
3 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
43raleqdv 2979 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  ( R1 `  x ) (
rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  A. z  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) ) ) )
5 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  u  ->  ( rank `  z )  =  ( rank `  u
) )
6 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  ( TC `  z )  =  ( TC `  u
) )
76imaeq2d 5174 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  u  ->  ( rank " ( TC `  z ) )  =  ( rank " ( TC `  u ) ) )
85, 7sseq12d 3447 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  u  ->  (
( rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) )  <-> 
( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) ) )
98cbvralv 3005 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( R1 `  y ) ( rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  A. u  e.  ( R1 `  y
) ( rank `  u
)  C_  ( rank " ( TC `  u
) ) )
104, 9syl6bb 269 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  ( R1 `  x ) (
rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) ) )
11 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
1211raleqdv 2979 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A. z  e.  ( R1 `  x
) ( rank `  z
)  C_  ( rank " ( TC `  z
) )  <->  A. z  e.  ( R1 `  suc  y ) ( rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) ) ) )
13 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  -> 
( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
) )
14 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  -> 
z  e.  ( R1
`  x ) )
15 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  ->  A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )
16 rankr1ai 8287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  ( rank `  z )  e.  x )
17 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( rank `  z
)  ->  ( R1 `  y )  =  ( R1 `  ( rank `  z ) ) )
1817raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( rank `  z
)  ->  ( A. u  e.  ( R1 `  y ) ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  <->  A. u  e.  ( R1 `  ( rank `  z ) ) ( rank `  u
)  C_  ( rank " ( TC `  u
) ) ) )
1918rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
rank `  z )  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  A. u  e.  ( R1 `  ( rank `  z
) ) ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) ) )
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  ( A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  A. u  e.  ( R1 `  ( rank `  z ) ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) ) )
21 r1elwf 8285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  z  e.  U. ( R1 " On ) )
22 r1rankidb 8293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
z  C_  ( R1 `  ( rank `  z
) ) )
23 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  ( R1 `  ( rank `  z )
)  ->  ( A. u  e.  ( R1 `  ( rank `  z
) ) ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  A. u  e.  z 
( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) ) )
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  ( A. u  e.  ( R1 `  ( rank `  z
) ) ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  A. u  e.  z 
( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) ) )
2520, 24syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  ( A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  A. u  e.  z  ( rank `  u
)  C_  ( rank " ( TC `  u
) ) ) )
2614, 15, 25sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  ->  A. u  e.  z 
( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )
27 rankval3b 8315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  z )  =  |^| { x  e.  On  |  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  x } )
2827eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( w  e.  (
rank `  z )  <->  w  e.  |^| { x  e.  On  |  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  x } ) )
2928biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( w  e.  (
rank `  z )  ->  w  e.  |^| { x  e.  On  |  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  x } ) )
30 rankon 8284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( rank `  z )  e.  On
3130oneli 5537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ( rank `  z
)  ->  w  e.  On )
32 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  w  ->  (
( rank `  u )  e.  x  <->  ( rank `  u
)  e.  w ) )
3332ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  ( A. u  e.  z 
( rank `  u )  e.  x  <->  A. u  e.  z  ( rank `  u
)  e.  w ) )
3433onnminsb 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  On  ->  (
w  e.  |^| { x  e.  On  |  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  x }  ->  -.  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  w
) )
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( rank `  z
)  ->  ( w  e.  |^| { x  e.  On  |  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  x }  ->  -.  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  w
) )
3629, 35sylcom 29 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( w  e.  (
rank `  z )  ->  -.  A. u  e.  z  ( rank `  u
)  e.  w ) )
3721, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  (
w  e.  ( rank `  z )  ->  -.  A. u  e.  z  (
rank `  u )  e.  w ) )
3837imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( R1
`  x )  /\  w  e.  ( rank `  z ) )  ->  -.  A. u  e.  z  ( rank `  u
)  e.  w )
39 rexnal 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. u  e.  z  -.  ( rank `  u
)  e.  w  <->  -.  A. u  e.  z  ( rank `  u )  e.  w
)
4038, 39sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( R1
`  x )  /\  w  e.  ( rank `  z ) )  ->  E. u  e.  z  -.  ( rank `  u
)  e.  w )
4140adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  ->  E. u  e.  z  -.  ( rank `  u
)  e.  w )
42 r19.29 2912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. u  e.  z  ( rank `  u
)  C_  ( rank " ( TC `  u
) )  /\  E. u  e.  z  -.  ( rank `  u )  e.  w )  ->  E. u  e.  z  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC
`  u ) )  /\  -.  ( rank `  u )  e.  w
) )
4326, 41, 42syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  ->  E. u  e.  z 
( ( rank `  u
)  C_  ( rank " ( TC `  u
) )  /\  -.  ( rank `  u )  e.  w ) )
44 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  u  e.  z )
45 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
46 tcid 8241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  _V  ->  z  C_  ( TC `  z
) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  C_  ( TC `  z )
4847sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  z  ->  u  e.  ( TC `  z
) )
49 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  u  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  u
) )
5049eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  u  ->  (
( rank `  x )  =  w  <->  ( rank `  u
)  =  w ) )
5150rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ( TC
`  z )  /\  ( rank `  u )  =  w )  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w )
5251ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( TC `  z )  ->  (
( rank `  u )  =  w  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
5344, 48, 523syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  ( ( rank `  u )  =  w  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
54 simp3l 1058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )
5554sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  ( w  e.  ( rank `  u
)  ->  w  e.  ( rank " ( TC
`  u ) ) ) )
56 simp1l 1054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  z  e.  ( R1 `  x ) )
57 rankf 8283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  rank : U. ( R1 " On ) --> On
58 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  rank  Fn  U. ( R1 " On ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  rank  Fn  U. ( R1 " On )
60 r1tr 8265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Tr  ( R1 `  x )
61 trel 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Tr  ( R1 `  x
)  ->  ( (
u  e.  z  /\  z  e.  ( R1 `  x ) )  ->  u  e.  ( R1 `  x ) ) )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  z  /\  z  e.  ( R1 `  x ) )  ->  u  e.  ( R1 `  x ) )
63 r1elwf 8285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( R1 `  x )  ->  u  e.  U. ( R1 " On ) )
64 tcwf 8372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( TC `  u
)  e.  U. ( R1 " On ) )
65 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( TC
`  u )  e. 
_V
6665r1elss 8295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( TC `  u )  e.  U. ( R1
" On )  <->  ( TC `  u )  C_  U. ( R1 " On ) )
6764, 66sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( TC `  u
)  C_  U. ( R1 " On ) )
6862, 63, 673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  z  /\  z  e.  ( R1 `  x ) )  -> 
( TC `  u
)  C_  U. ( R1 " On ) )
69 fvelimab 5936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
rank  Fn  U. ( R1 " On )  /\  ( TC `  u ) 
C_  U. ( R1 " On ) )  ->  (
w  e.  ( rank " ( TC `  u ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  u
) ( rank `  x
)  =  w ) )
7059, 68, 69sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  z  /\  z  e.  ( R1 `  x ) )  -> 
( w  e.  (
rank " ( TC `  u ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  u
) ( rank `  x
)  =  w ) )
7145tcel 8247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  z  ->  ( TC `  u )  C_  ( TC `  z ) )
72 ssrexv 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( TC `  u ) 
C_  ( TC `  z )  ->  ( E. x  e.  ( TC `  u ) (
rank `  x )  =  w  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  z  ->  ( E. x  e.  ( TC `  u ) (
rank `  x )  =  w  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
7473adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  z  /\  z  e.  ( R1 `  x ) )  -> 
( E. x  e.  ( TC `  u
) ( rank `  x
)  =  w  ->  E. x  e.  ( TC `  z ) (
rank `  x )  =  w ) )
7570, 74sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  z  /\  z  e.  ( R1 `  x ) )  -> 
( w  e.  (
rank " ( TC `  u ) )  ->  E. x  e.  ( TC `  z ) (
rank `  x )  =  w ) )
7644, 56, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  ( w  e.  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  E. x  e.  ( TC `  z ) ( rank `  x
)  =  w ) )
7755, 76syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  ( w  e.  ( rank `  u
)  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
78 rankon 8284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( rank `  u )  e.  On
79 eloni 5440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
rank `  u )  e.  On  ->  Ord  ( rank `  u ) )
80 eloni 5440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  On  ->  Ord  w )
81 ordtri3or 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Ord  ( rank `  u
)  /\  Ord  w )  ->  ( ( rank `  u )  e.  w  \/  ( rank `  u
)  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u ) ) )
8279, 80, 81syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( rank `  u
)  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( ( rank `  u
)  e.  w  \/  ( rank `  u
)  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u ) ) )
8378, 31, 82sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( rank `  z
)  ->  ( ( rank `  u )  e.  w  \/  ( rank `  u )  =  w  \/  w  e.  (
rank `  u )
) )
84 3orass 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( rank `  u
)  e.  w  \/  ( rank `  u
)  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u ) )  <->  ( ( rank `  u )  e.  w  \/  ( (
rank `  u )  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u
) ) ) )
8583, 84sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( rank `  z
)  ->  ( ( rank `  u )  e.  w  \/  ( (
rank `  u )  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u
) ) ) )
8685orcanai 927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( rank `  z )  /\  -.  ( rank `  u )  e.  w )  ->  (
( rank `  u )  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u
) ) )
8786ad2ant2l 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC
`  u ) )  /\  -.  ( rank `  u )  e.  w
) )  ->  (
( rank `  u )  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u
) ) )
88873adant2 1049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  ( ( rank `  u )  =  w  \/  w  e.  ( rank `  u
) ) )
8953, 77, 88mpjaod 388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  (
rank `  z )
)  /\  u  e.  z  /\  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w ) )  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w )
9089rexlimdv3a 2873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( R1
`  x )  /\  w  e.  ( rank `  z ) )  -> 
( E. u  e.  z  ( ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  /\  -.  ( rank `  u
)  e.  w )  ->  E. x  e.  ( TC `  z ) ( rank `  x
)  =  w ) )
9113, 43, 90sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  ( z  e.  ( R1 `  x )  /\  w  e.  ( rank `  z
) ) )  ->  E. x  e.  ( TC `  z ) (
rank `  x )  =  w )
9291expr 626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  z  e.  ( R1 `  x
) )  ->  (
w  e.  ( rank `  z )  ->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
93 tcwf 8372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( TC `  z
)  e.  U. ( R1 " On ) )
94 r1elssi 8294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( TC `  z )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( TC `  z
)  C_  U. ( R1 " On ) )
95 fvelimab 5936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank  Fn  U. ( R1 " On )  /\  ( TC `  z ) 
C_  U. ( R1 " On ) )  ->  (
w  e.  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
9694, 95sylan2 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
rank  Fn  U. ( R1 " On )  /\  ( TC `  z )  e.  U. ( R1
" On ) )  ->  ( w  e.  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  z ) (
rank `  x )  =  w ) )
9759, 93, 96sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( w  e.  (
rank " ( TC `  z ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
9821, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( R1 `  x )  ->  (
w  e.  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
9998adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  z  e.  ( R1 `  x
) )  ->  (
w  e.  ( rank " ( TC `  z ) )  <->  E. x  e.  ( TC `  z
) ( rank `  x
)  =  w ) )
10092, 99sylibrd 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  z  e.  ( R1 `  x
) )  ->  (
w  e.  ( rank `  z )  ->  w  e.  ( rank " ( TC `  z ) ) ) )
101100ssrdv 3424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  /\  z  e.  ( R1 `  x
) )  ->  ( rank `  z )  C_  ( rank " ( TC
`  z ) ) )
102101ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) ( rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) ) )  ->  A. z  e.  ( R1 `  x ) ( rank `  z
)  C_  ( rank " ( TC `  z
) ) )
103102ex 441 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  A. u  e.  ( R1 `  y ) (
rank `  u )  C_  ( rank " ( TC `  u ) )  ->  A. z  e.  ( R1 `  x ) ( rank `  z
)  C_  ( rank " ( TC `  z
) ) ) )
10410, 12, 103tfis3 6703 . . . . 5  |-  ( suc  y  e.  On  ->  A. z  e.  ( R1
`  suc  y )
( rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) ) )
105 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( rank `  z )  =  ( rank `  A
) )
106 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  ( TC `  z )  =  ( TC `  A
) )
107106imaeq2d 5174 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( rank " ( TC `  z ) )  =  ( rank " ( TC `  A ) ) )
108105, 107sseq12d 3447 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) )  <-> 
( rank `  A )  C_  ( rank " ( TC `  A ) ) ) )
109108rspccv 3133 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( R1 ` 
suc  y ) (
rank `  z )  C_  ( rank " ( TC `  z ) )  ->  ( A  e.  ( R1 `  suc  y )  ->  ( rank `  A )  C_  ( rank " ( TC
`  A ) ) ) )
1102, 104, 1093syl 18 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  ( R1 ` 
suc  y )  -> 
( rank `  A )  C_  ( rank " ( TC `  A ) ) ) )
111110rexlimiv 2867 . . 3  |-  ( E. y  e.  On  A  e.  ( R1 `  suc  y )  ->  ( rank `  A )  C_  ( rank " ( TC
`  A ) ) )
1121, 111sylbi 200 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_  ( rank " ( TC `  A ) ) )
113 tcvalg 8240 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( TC `  A
)  =  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) } )
114 r1rankidb 8293 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  ( R1 `  ( rank `  A )
) )
115 r1tr 8265 . . . . 5  |-  Tr  ( R1 `  ( rank `  A
) )
116 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  ( R1
`  ( rank `  A
) )  e.  _V
117 sseq2 3440 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( A  C_  x  <->  A  C_  ( R1
`  ( rank `  A
) ) ) )
118 treq 4496 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( Tr  x 
<->  Tr  ( R1 `  ( rank `  A )
) ) )
119117, 118anbi12d 725 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  <->  ( A  C_  ( R1 `  ( rank `  A ) )  /\  Tr  ( R1
`  ( rank `  A
) ) ) ) )
120116, 119elab 3173 . . . . . 6  |-  ( ( R1 `  ( rank `  A ) )  e. 
{ x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  <->  ( A  C_  ( R1 `  ( rank `  A ) )  /\  Tr  ( R1
`  ( rank `  A
) ) ) )
121 intss1 4241 . . . . . 6  |-  ( ( R1 `  ( rank `  A ) )  e. 
{ x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  ->  |^|
{ x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  C_  ( R1 `  ( rank `  A ) ) )
122120, 121sylbir 218 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ( R1 `  ( rank `  A
) )  /\  Tr  ( R1 `  ( rank `  A ) ) )  ->  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) } 
C_  ( R1 `  ( rank `  A )
) )
123114, 115, 122sylancl 675 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  C_  ( R1 `  ( rank `  A ) ) )
124113, 123eqsstrd 3452 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( TC `  A
)  C_  ( R1 `  ( rank `  A
) ) )
125 imass2 5210 . . . 4  |-  ( ( TC `  A ) 
C_  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( rank " ( TC `  A
) )  C_  ( rank " ( R1 `  ( rank `  A )
) ) )
126 ffun 5742 . . . . . . . 8  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  Fun  rank )
12757, 126ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  Fun  rank
128 fvelima 5931 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  rank  /\  x  e.  ( rank " ( R1 `  ( rank `  A
) ) ) )  ->  E. y  e.  ( R1 `  ( rank `  A ) ) (
rank `  y )  =  x )
129127, 128mpan 684 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( rank " ( R1 `  ( rank `  A
) ) )  ->  E. y  e.  ( R1 `  ( rank `  A
) ) ( rank `  y )  =  x )
130 rankr1ai 8287 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( rank `  y )  e.  (
rank `  A )
)
131 eleq1 2537 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  y )  =  x  ->  ( (
rank `  y )  e.  ( rank `  A
)  <->  x  e.  ( rank `  A ) ) )
132130, 131syl5ibcom 228 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( ( rank `  y )  =  x  ->  x  e.  ( rank `  A )
) )
133132rexlimiv 2867 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ( R1
`  ( rank `  A
) ) ( rank `  y )  =  x  ->  x  e.  (
rank `  A )
)
134129, 133syl 17 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( rank " ( R1 `  ( rank `  A
) ) )  ->  x  e.  ( rank `  A ) )
135134ssriv 3422 . . . 4  |-  ( rank " ( R1 `  ( rank `  A )
) )  C_  ( rank `  A )
136125, 135syl6ss 3430 . . 3  |-  ( ( TC `  A ) 
C_  ( R1 `  ( rank `  A )
)  ->  ( rank " ( TC `  A
) )  C_  ( rank `  A ) )
137124, 136syl 17 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank " ( TC
`  A ) ) 
C_  ( rank `  A
) )
138112, 137eqssd 3435 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  ( rank " ( TC `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   U.cuni 4190   |^|cint 4226   Tr wtr 4490   "cima 4842   Ord word 5429   Oncon0 5430   suc csuc 5432   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589   TCctc 8238   R1cr1 8251   rankcrnk 8252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-tc 8239  df-r1 8253  df-rank 8254
This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8878  grur1  9263
  Copyright terms: Public domain W3C validator