Theorem tclinf 15241

Description: A non empty Tarski class is infinite.

Assertion

Ref	Expression
tclinf	|- ((T e. Tarski /\ T =/= (/)) -> om ~<_ T)

Proof of Theorem tclinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. . . . 5 |- (t = T -> (t e. Tarski <-> T e. Tarski ))
2		neeq1 2024	. . . . 5 |- (t = T -> (t =/= (/) <-> T =/= (/)))
3	1, 2	anbi12d 690	. . . 4 |- (t = T -> ((t e. Tarski /\ t =/= (/)) <-> (T e. Tarski /\ T =/= (/))))
4		breq2 3342	. . . 4 |- (t = T -> (om ~<_ t <-> om ~<_ T))
5	3, 4	imbi12d 688	. . 3 |- (t = T -> (((t e. Tarski /\ t =/= (/)) -> om ~<_ t) <-> ((T e. Tarski /\ T =/= (/)) -> om ~<_ T)))
6		simpr 350	. . . 4 |- ((t e. Tarski /\ t =/= (/)) -> t =/= (/))
7		elunii 3182	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ~Px /\ ~Px e. t) -> x e. U.t)
8		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
9	8	pwid 3042	. . . . . . . . 9 |- x e. ~Px
10		tarax2 15217	. . . . . . . . 9 |- ((t e. Tarski /\ x e. t) -> ~Px e. t)
11	7, 9, 10	sylancr 526	. . . . . . . 8 |- ((t e. Tarski /\ x e. t) -> x e. U.t)
12	11	ex 402	. . . . . . 7 |- (t e. Tarski -> (x e. t -> x e. U.t))
13	12	adantr 425	. . . . . 6 |- ((t e. Tarski /\ t =/= (/)) -> (x e. t -> x e. U.t))
14	13	19.21aiv 1664	. . . . 5 |- ((t e. Tarski /\ t =/= (/)) -> A.x(x e. t -> x e. U.t))
15		dfss2 2610	. . . . 5 |- (t C_ U.t <-> A.x(x e. t -> x e. U.t))
16	14, 15	sylibr 217	. . . 4 |- ((t e. Tarski /\ t =/= (/)) -> t C_ U.t)
17		visset 2295	. . . . 5 |- t e. _V
18	17	dominf 6052	. . . 4 |- ((t =/= (/) /\ t C_ U.t) -> om ~<_ t)
19	6, 16, 18	syl11anc 524	. . 3 |- ((t e. Tarski /\ t =/= (/)) -> om ~<_ t)
20	5, 19	vtoclg 2346	. 2 |- (T e. Tarski -> ((T e. Tarski /\ T =/= (/)) -> om ~<_ T))
21	20	anabsi5 553	1 |- ((T e. Tarski /\ T =/= (/)) -> om ~<_ T)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  omcom 3949   ~<_ cdom 5424   Tarski ctarski 15208

This theorem is referenced by:  cptarc 15242  tarsuc2 15245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-er 5318  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-card 5862  df-tsk 15210

Copyright terms: Public domain