MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcid Structured version   Unicode version

Theorem tcid 8201
Description: Defining property of the transitive closure function: it contains its argument as a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tcid  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( TC `  A
) )

Proof of Theorem tcid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssmin 4245 . 2  |-  A  C_  |^|
{ x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }
2 tcvalg 8200 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( TC `  A )  = 
|^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) } )
31, 2syl5sseqr 3490 1  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( TC `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842   {cab 2387    C_ wss 3413   |^|cint 4226   Tr wtr 4488   ` cfv 5568   TCctc 8198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-tc 8199
This theorem is referenced by:  tc2  8204  tcidm  8208  tc00  8210  tcrank  8333  itunitc1  8831  hsmexlem4  8840
  Copyright terms: Public domain W3C validator