MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchtopn Structured version   Unicode version

Theorem tchtopn 21835
Description: The topology of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchtopn.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
tchtopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tchtopn  |-  ( W  e.  V  ->  J  =  ( MetOpen `  D
) )

Proof of Theorem tchtopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21tchex 21826 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( sqr `  (
x ( .i `  W ) x ) ) )  e.  _V
3 tchval.n . . . . 5  |-  G  =  (toCHil `  W )
4 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
53, 1, 4tchval 21827 . . . 4  |-  G  =  ( W toNrmGrp  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( sqr `  (
x ( .i `  W ) x ) ) ) )
6 tchtopn.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  G
)
7 eqid 2454 . . . 4  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
85, 6, 7tngtopn 21330 . . 3  |-  ( ( W  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( sqr `  ( x ( .i `  W
) x ) ) )  e.  _V )  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  G
) )
92, 8mpan2 669 . 2  |-  ( W  e.  V  ->  ( MetOpen
`  D )  =  ( TopOpen `  G )
)
10 tchtopn.j . 2  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
119, 10syl6reqr 2514 1  |-  ( W  e.  V  ->  J  =  ( MetOpen `  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   sqrcsqrt 13148   Basecbs 14716   .icip 14789   distcds 14793   TopOpenctopn 14911   MetOpencmopn 18603  toCHilctch 21780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-tset 14803  df-ds 14806  df-rest 14912  df-topn 14913  df-topgen 14933  df-sbg 16258  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-tng 21271  df-tch 21782
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator