MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchtopn Structured version   Unicode version

Theorem tchtopn 21539
Description: The topology of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchtopn.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
tchtopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tchtopn  |-  ( W  e.  V  ->  J  =  ( MetOpen `  D
) )

Proof of Theorem tchtopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21tchex 21530 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( sqr `  (
x ( .i `  W ) x ) ) )  e.  _V
3 tchval.n . . . . 5  |-  G  =  (toCHil `  W )
4 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
53, 1, 4tchval 21531 . . . 4  |-  G  =  ( W toNrmGrp  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( sqr `  (
x ( .i `  W ) x ) ) ) )
6 tchtopn.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  G
)
7 eqid 2441 . . . 4  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
85, 6, 7tngtopn 21034 . . 3  |-  ( ( W  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( sqr `  ( x ( .i `  W
) x ) ) )  e.  _V )  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  G
) )
92, 8mpan2 671 . 2  |-  ( W  e.  V  ->  ( MetOpen
`  D )  =  ( TopOpen `  G )
)
10 tchtopn.j . 2  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
119, 10syl6reqr 2501 1  |-  ( W  e.  V  ->  J  =  ( MetOpen `  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802   _Vcvv 3093    |-> cmpt 4492   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   sqrcsqrt 13042   Basecbs 14506   .icip 14576   distcds 14580   TopOpenctopn 14693   MetOpencmopn 18279  toCHilctch 21484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-sup 7900  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-q 11189  df-rp 11227  df-xneg 11324  df-xadd 11325  df-xmul 11326  df-seq 12084  df-exp 12143  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-tset 14590  df-ds 14593  df-rest 14694  df-topn 14695  df-topgen 14715  df-sbg 15930  df-psmet 18282  df-xmet 18283  df-bl 18285  df-mopn 18286  df-top 19269  df-bases 19271  df-topon 19272  df-tng 20975  df-tch 21486
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator