MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchphl Structured version   Unicode version

Theorem tchphl 21647
Description: Augmentation of a pre-Hilbert space with a norm does not affect whether it is still a pre-Hilbert space because all the original components are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
Assertion
Ref Expression
tchphl  |-  ( W  e.  PreHil 
<->  G  e.  PreHil )

Proof of Theorem tchphl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2444 . . 3  |-  ( T. 
->  ( Base `  W
)  =  ( Base `  W ) )
2 tchval.n . . . . 5  |-  G  =  (toCHil `  W )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
42, 3tchbas 21639 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  G )
54a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( Base `  W
)  =  ( Base `  G ) )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
72, 6tchplusg 21640 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  G )
87a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( +g  `  W
)  =  ( +g  `  G ) )
98oveqdr 6305 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x ( +g  `  W
) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
10 eqidd 2444 . . 3  |-  ( T. 
->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
)
11 eqid 2443 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
122, 11tchsca 21643 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  G )
1312a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  G )
)
14 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
15 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
162, 15tchvsca 21644 . . . . 5  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  G
)
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( .s `  W
)  =  ( .s
`  G ) )
1817oveqdr 6305 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x ( .s `  W ) y )  =  ( x ( .s `  G ) y ) )
19 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
202, 19tchip 21645 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  G
)
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( .i `  W
)  =  ( .i
`  G ) )
2221oveqdr 6305 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( x ( .i `  G ) y ) )
231, 5, 9, 10, 13, 14, 18, 22phlpropd 18667 . 2  |-  ( T. 
->  ( W  e.  PreHil  <->  G  e.  PreHil ) )
2423trud 1392 1  |-  ( W  e.  PreHil 
<->  G  e.  PreHil )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383   T. wtru 1384    e. wcel 1804   ` cfv 5578   Basecbs 14613   +g cplusg 14678  Scalarcsca 14681   .scvsca 14682   .icip 14683   PreHilcphl 18636  toCHilctch 21591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-rp 11231  df-seq 12089  df-exp 12148  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ds 14700  df-0g 14820  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-mhm 15944  df-grp 16035  df-ghm 16243  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-lmod 17492  df-lmhm 17646  df-lvec 17727  df-sra 17796  df-rgmod 17797  df-phl 18638  df-tng 21082  df-tch 21593
This theorem is referenced by:  tchcph  21657
  Copyright terms: Public domain W3C validator