MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchnmval Structured version   Unicode version

Theorem tchnmval 21964
Description: The norm of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchnmval.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
tchnmval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchnmval.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
Assertion
Ref Expression
tchnmval  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )

Proof of Theorem tchnmval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . 4  |-  G  =  (toCHil `  W )
2 tchnmval.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  G
)
3 tchnmval.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 tchnmval.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
51, 2, 3, 4tchnmfval 21963 . . 3  |-  ( W  e.  Grp  ->  N  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) )
65fveq1d 5851 . 2  |-  ( W  e.  Grp  ->  ( N `  X )  =  ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) `  X ) )
7 oveq12 6287 . . . . 5  |-  ( ( x  =  X  /\  x  =  X )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( X 
.,  X ) )
87anidms 643 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .,  x )  =  ( X  .,  X ) )
98fveq2d 5853 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  =  ( sqr `  ( X  .,  X ) ) )
10 eqid 2402 . . 3  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) )
11 fvex 5859 . . 3  |-  ( sqr `  ( X  .,  X
) )  e.  _V
129, 10, 11fvmpt 5932 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
136, 12sylan9eq 2463 1  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   sqrcsqrt 13215   Basecbs 14841   .icip 14914   Grpcgrp 16377   normcnm 21389  toCHilctch 21906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-tset 14928  df-ds 14931  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-nm 21395  df-tng 21397  df-tch 21908
This theorem is referenced by:  ipcau2  21969  tchcphlem1  21970  tchcph  21972
  Copyright terms: Public domain W3C validator