MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchnmfval Structured version   Unicode version

Theorem tchnmfval 20742
Description: The norm of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchnmval.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
tchnmval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchnmval.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
Assertion
Ref Expression
tchnmfval  |-  ( W  e.  Grp  ->  N  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, G   
x, V    x, W
Allowed substitution hint:    N( x)

Proof of Theorem tchnmfval
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . . 4  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) )
2 fvrn0 5711 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( x  .,  x
) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
32a1i 11 . . . 4  |-  ( x  e.  V  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  e.  ( ran  sqr  u.  {
(/) } ) )
41, 3fmpti 5865 . . 3  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) : V --> ( ran  sqr  u. 
{ (/) } )
5 tchval.n . . . . 5  |-  G  =  (toCHil `  W )
6 tchnmval.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 tchnmval.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
85, 6, 7tchval 20732 . . . 4  |-  G  =  ( W toNrmGrp  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) )
9 cnex 9362 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
10 sqrf 12850 . . . . . . 7  |-  sqr : CC
--> CC
11 frn 5564 . . . . . . 7  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  ran 
sqr  C_  CC )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ran  sqr  C_  CC
139, 12ssexi 4436 . . . . 5  |-  ran  sqr  e.  _V
14 p0ex 4478 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
1513, 14unex 6377 . . . 4  |-  ( ran 
sqr  u.  { (/) } )  e.  _V
168, 6, 15tngnm 20236 . . 3  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) : V --> ( ran  sqr  u.  { (/) } ) )  ->  (
x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) )  =  ( norm `  G ) )
174, 16mpan2 671 . 2  |-  ( W  e.  Grp  ->  (
x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) )  =  ( norm `  G ) )
18 tchnmval.n . 2  |-  N  =  ( norm `  G
)
1917, 18syl6reqr 2493 1  |-  ( W  e.  Grp  ->  N  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3325    C_ wss 3327   (/)c0 3636   {csn 3876    e. cmpt 4349   ran crn 4840   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   sqrcsqr 12721   Basecbs 14173   .icip 14242   Grpcgrp 15409   normcnm 20168  toCHilctch 20685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-rp 10991  df-seq 11806  df-exp 11865  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-plusg 14250  df-tset 14256  df-ds 14259  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-nm 20174  df-tng 20176  df-tch 20687
This theorem is referenced by:  tchnmval  20743  cphtchnm  20744  tchds  20745  rrxnm  20894
  Copyright terms: Public domain W3C validator