MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchnmfval Structured version   Unicode version

Theorem tchnmfval 21539
Description: The norm of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchnmval.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
tchnmval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchnmval.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
Assertion
Ref Expression
tchnmfval  |-  ( W  e.  Grp  ->  N  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, G   
x, V    x, W
Allowed substitution hint:    N( x)

Proof of Theorem tchnmfval
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) )
2 fvrn0 5894 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( x  .,  x
) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
32a1i 11 . . . 4  |-  ( x  e.  V  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  e.  ( ran  sqr  u.  {
(/) } ) )
41, 3fmpti 6055 . . 3  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) : V --> ( ran  sqr  u. 
{ (/) } )
5 tchval.n . . . . 5  |-  G  =  (toCHil `  W )
6 tchnmval.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 tchnmval.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
85, 6, 7tchval 21529 . . . 4  |-  G  =  ( W toNrmGrp  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) )
9 cnex 9585 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
10 sqrtf 13176 . . . . . . 7  |-  sqr : CC
--> CC
11 frn 5743 . . . . . . 7  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  ran 
sqr  C_  CC )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ran  sqr  C_  CC
139, 12ssexi 4598 . . . . 5  |-  ran  sqr  e.  _V
14 p0ex 4640 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
1513, 14unex 6593 . . . 4  |-  ( ran 
sqr  u.  { (/) } )  e.  _V
168, 6, 15tngnm 21033 . . 3  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) : V --> ( ran  sqr  u.  { (/) } ) )  ->  (
x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) )  =  ( norm `  G ) )
174, 16mpan2 671 . 2  |-  ( W  e.  Grp  ->  (
x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) )  =  ( norm `  G ) )
18 tchnmval.n . 2  |-  N  =  ( norm `  G
)
1917, 18syl6reqr 2527 1  |-  ( W  e.  Grp  ->  N  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3479    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033    |-> cmpt 4511   ran crn 5006   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   sqrcsqrt 13046   Basecbs 14507   .icip 14577   Grpcgrp 15925   normcnm 20965  toCHilctch 21482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-tset 14591  df-ds 14594  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-nm 20971  df-tng 20973  df-tch 21484
This theorem is referenced by:  tchnmval  21540  cphtchnm  21541  tchds  21542  rrxnm  21691
  Copyright terms: Public domain W3C validator