MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchip Structured version   Unicode version

Theorem tchip 21645
Description: The inner product of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchip.s  |-  .x.  =  ( .i `  W )
Assertion
Ref Expression
tchip  |-  .x.  =  ( .i `  G )

Proof of Theorem tchip
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21tchex 21637 . 2  |-  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( sqr `  (
x  .x.  x )
) )  e.  _V
3 tchval.n . . . 4  |-  G  =  (toCHil `  W )
4 tchip.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .i `  W )
53, 1, 4tchval 21638 . . 3  |-  G  =  ( W toNrmGrp  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( sqr `  (
x  .x.  x )
) ) )
65, 4tngip 21138 . 2  |-  ( ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( sqr `  ( x  .x.  x
) ) )  e. 
_V  ->  .x.  =  ( .i `  G ) )
72, 6ax-mp 5 1  |-  .x.  =  ( .i `  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   sqrcsqrt 13047   Basecbs 14613   .icip 14683  toCHilctch 21591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-rp 11231  df-seq 12089  df-exp 12148  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-sets 14619  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ds 14700  df-tng 21082  df-tch 21593
This theorem is referenced by:  tchphl  21647  tchcph  21657  rrxip  21799  rrxnm  21800
  Copyright terms: Public domain W3C validator