MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem3 Structured version   Unicode version

Theorem tchcphlem3 21411
Description: Lemma for tchcph 21415: real closure of an inner product of a vector with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )

Proof of Theorem tchcphlem3
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . . . 6  |-  G  =  (toCHil `  W )
2 tchcph.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 tchcph.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 tchcph.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
5 tchcph.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
61, 2, 3, 4, 5tchclm 21410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  W  e. CMod )
8 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
93, 8clmsscn 21314 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  ( Base `  F
)  C_  CC )
107, 9syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( Base `  F )  C_  CC )
11 tchcph.h . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i `  W )
123, 11, 2, 8ipcl 18435 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  ( Base `  F
) )
13123anidm23 1287 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  ( Base `  F
) )
144, 13sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  ( Base `  F
) )
1510, 14sseldd 3505 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  CC )
163clmcj 21311 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( *r `  F
) )
177, 16syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  *  =  ( *r `  F ) )
1817fveq1d 5866 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  (
* `  ( X  .,  X ) )  =  ( ( *r `  F ) `  ( X  .,  X ) ) )
194adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  PreHil )
20 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
21 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
223, 11, 2, 21ipcj 18436 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  ( X  .,  X ) )  =  ( X  .,  X ) )
2319, 20, 20, 22syl3anc 1228 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  ( X  .,  X ) )  =  ( X  .,  X ) )
2418, 23eqtrd 2508 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  (
* `  ( X  .,  X ) )  =  ( X  .,  X
) )
2515, 24cjrebd 12994 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   *ccj 12888   Basecbs 14486   ↾s cress 14487   *rcstv 14553  Scalarcsca 14554   .icip 14556  ℂfldccnfld 18191   PreHilcphl 18426  CModcclm 21297  toCHilctch 21349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-cmn 16596  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-drng 17181  df-subrg 17210  df-lmhm 17451  df-lvec 17532  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-cnfld 18192  df-phl 18428  df-clm 21298
This theorem is referenced by:  ipcau2  21412  tchcphlem1  21413  tchcphlem2  21414  tchcph  21415
  Copyright terms: Public domain W3C validator