MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem3 Structured version   Unicode version

Theorem tchcphlem3 21968
Description: Lemma for tchcph 21972: real closure of an inner product of a vector with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )

Proof of Theorem tchcphlem3
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . . . 6  |-  G  =  (toCHil `  W )
2 tchcph.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 tchcph.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 tchcph.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
5 tchcph.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
61, 2, 3, 4, 5tchclm 21967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
76adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  W  e. CMod )
8 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
93, 8clmsscn 21871 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  ( Base `  F
)  C_  CC )
107, 9syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( Base `  F )  C_  CC )
11 tchcph.h . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i `  W )
123, 11, 2, 8ipcl 18966 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  ( Base `  F
) )
13123anidm23 1289 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  ( Base `  F
) )
144, 13sylan 469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  ( Base `  F
) )
1510, 14sseldd 3443 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  CC )
163clmcj 21868 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( *r `  F
) )
177, 16syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  *  =  ( *r `  F ) )
1817fveq1d 5851 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  (
* `  ( X  .,  X ) )  =  ( ( *r `  F ) `  ( X  .,  X ) ) )
194adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  PreHil )
20 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
21 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
223, 11, 2, 21ipcj 18967 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  ( X  .,  X ) )  =  ( X  .,  X ) )
2319, 20, 20, 22syl3anc 1230 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  ( X  .,  X ) )  =  ( X  .,  X ) )
2418, 23eqtrd 2443 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  (
* `  ( X  .,  X ) )  =  ( X  .,  X
) )
2515, 24cjrebd 13184 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   *ccj 13078   Basecbs 14841   ↾s cress 14842   *rcstv 14911  Scalarcsca 14912   .icip 14914  ℂfldccnfld 18740   PreHilcphl 18957  CModcclm 21854  toCHilctch 21906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-cmn 17124  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-drng 17718  df-subrg 17747  df-lmhm 17988  df-lvec 18069  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-cnfld 18741  df-phl 18959  df-clm 21855
This theorem is referenced by:  ipcau2  21969  tchcphlem1  21970  tchcphlem2  21971  tchcph  21972
  Copyright terms: Public domain W3C validator