MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem2 Structured version   Unicode version

Theorem tchcphlem2 20884
Description: Lemma for tchcph 20885: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
tchcph.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
tchcphlem2.3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
tchcphlem2.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, F   
x, G    x, V    ph, x    x, W    x,  .x.    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem tchcphlem2
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . . . . 7  |-  G  =  (toCHil `  W )
2 tchcph.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 tchcph.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 tchcph.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
5 tchcph.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
61, 2, 3, 4, 5tchclm 20880 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
7 tchcph.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  F
)
83, 7clmsscn 20784 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
96, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
10 tchcphlem2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
119, 10sseldd 3466 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1211cjmulrcld 12814 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
* `  X )
)  e.  RR )
1311cjmulge0d 12816 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  x.  ( * `  X
) ) )
14 tchcphlem2.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
15 tchcph.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
161, 2, 3, 4, 5, 15tchcphlem3 20881 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
1714, 16mpdan 668 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
18 tchcph.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
1918ralrimiva 2830 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
20 oveq12 6210 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
2120anidms 645 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
2221breq2d 4413 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
2322rspcv 3175 . . . 4  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
2414, 19, 23sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
2512, 13, 17, 24sqrmuld 13030 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  x.  (
* `  X )
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) )  =  ( ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
26 phllmod 18185 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
274, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
28 tchcph.s . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
292, 3, 28, 7lmodvscl 17089 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  V )
3027, 10, 14, 29syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  V )
31 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
32 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
333, 15, 2, 7, 28, 31, 32ipassr 18201 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( X  .x.  Y
)  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  K )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y
)  .,  Y )
( .r `  F
) ( ( *r `  F ) `
 X ) ) )
344, 30, 14, 10, 33syl13anc 1221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y ) 
.,  Y ) ( .r `  F ) ( ( *r `  F ) `  X ) ) )
353clmmul 20780 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  x.  =  ( .r `  F ) )
366, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x.  =  ( .r
`  F ) )
3736oveqd 6218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  =  ( X ( .r `  F ) ( Y  .,  Y
) ) )
383, 15, 2, 7, 28, 31ipass 18200 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  Y )  =  ( X ( .r `  F ) ( Y 
.,  Y ) ) )
394, 10, 14, 14, 38syl13anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  Y
)  =  ( X ( .r `  F
) ( Y  .,  Y ) ) )
4037, 39eqtr4d 2498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X 
.x.  Y )  .,  Y ) )
413clmcj 20781 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( *r `  F
) )
426, 41syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  *  =  ( *r `  F ) )
4342fveq1d 5802 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( * `  X
)  =  ( ( *r `  F
) `  X )
)
4436, 40, 43oveq123d 6222 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  x.  ( * `
 X ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y ) 
.,  Y ) ( .r `  F ) ( ( *r `  F ) `  X ) ) )
4517recnd 9524 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
4611cjcld 12804 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( * `  X
)  e.  CC )
4711, 45, 46mul32d 9691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  x.  ( * `
 X ) )  =  ( ( X  x.  ( * `  X ) )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
4834, 44, 473eqtr2d 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( X  x.  ( * `  X ) )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
4948fveq2d 5804 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( sqr `  (
( X  x.  (
* `  X )
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
50 absval 12846 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  ( abs `  X )  =  ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) ) )
5111, 50syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  =  ( sqr `  ( X  x.  (
* `  X )
) ) )
5251oveq1d 6216 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )  =  ( ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
5325, 49, 523eqtr4d 2505 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    C_ wss 3437   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393   0cc0 9394    x. cmul 9399    <_ cle 9531   *ccj 12704   sqrcsqr 12841   abscabs 12842   Basecbs 14293   ↾s cress 14294   .rcmulr 14359   *rcstv 14360  Scalarcsca 14361   .scvsca 14362   .icip 14363   LModclmod 17072  ℂfldccnfld 17944   PreHilcphl 18179  CModcclm 20767  toCHilctch 20819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-grp 15665  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-cmn 16401  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-rnghom 16930  df-drng 16958  df-subrg 16987  df-staf 17054  df-srng 17055  df-lmod 17074  df-lmhm 17227  df-lvec 17308  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-cnfld 17945  df-phl 18181  df-clm 20768
This theorem is referenced by:  tchcph  20885
  Copyright terms: Public domain W3C validator