MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem2 Structured version   Unicode version

Theorem tchcphlem2 21407
Description: Lemma for tchcph 21408: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
tchcph.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
tchcphlem2.3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
tchcphlem2.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, F   
x, G    x, V    ph, x    x, W    x,  .x.    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem tchcphlem2
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . . . . 7  |-  G  =  (toCHil `  W )
2 tchcph.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 tchcph.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 tchcph.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
5 tchcph.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
61, 2, 3, 4, 5tchclm 21403 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
7 tchcph.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  F
)
83, 7clmsscn 21307 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
96, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
10 tchcphlem2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
119, 10sseldd 3498 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1211cjmulrcld 12989 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
* `  X )
)  e.  RR )
1311cjmulge0d 12991 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  x.  ( * `  X
) ) )
14 tchcphlem2.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
15 tchcph.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
161, 2, 3, 4, 5, 15tchcphlem3 21404 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
1714, 16mpdan 668 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
18 tchcph.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
1918ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
20 oveq12 6284 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
2120anidms 645 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
2221breq2d 4452 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
2322rspcv 3203 . . . 4  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
2414, 19, 23sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
2512, 13, 17, 24sqrmuld 13205 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  x.  (
* `  X )
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) )  =  ( ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
26 phllmod 18425 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
274, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
28 tchcph.s . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
292, 3, 28, 7lmodvscl 17305 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  V )
3027, 10, 14, 29syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  V )
31 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
32 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
333, 15, 2, 7, 28, 31, 32ipassr 18441 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( X  .x.  Y
)  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  K )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y
)  .,  Y )
( .r `  F
) ( ( *r `  F ) `
 X ) ) )
344, 30, 14, 10, 33syl13anc 1225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y ) 
.,  Y ) ( .r `  F ) ( ( *r `  F ) `  X ) ) )
353clmmul 21303 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  x.  =  ( .r `  F ) )
366, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x.  =  ( .r
`  F ) )
3736oveqd 6292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  =  ( X ( .r `  F ) ( Y  .,  Y
) ) )
383, 15, 2, 7, 28, 31ipass 18440 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  Y )  =  ( X ( .r `  F ) ( Y 
.,  Y ) ) )
394, 10, 14, 14, 38syl13anc 1225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  Y
)  =  ( X ( .r `  F
) ( Y  .,  Y ) ) )
4037, 39eqtr4d 2504 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X 
.x.  Y )  .,  Y ) )
413clmcj 21304 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( *r `  F
) )
426, 41syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  *  =  ( *r `  F ) )
4342fveq1d 5859 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( * `  X
)  =  ( ( *r `  F
) `  X )
)
4436, 40, 43oveq123d 6296 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  x.  ( * `
 X ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y ) 
.,  Y ) ( .r `  F ) ( ( *r `  F ) `  X ) ) )
4517recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
4611cjcld 12979 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( * `  X
)  e.  CC )
4711, 45, 46mul32d 9778 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  x.  ( * `
 X ) )  =  ( ( X  x.  ( * `  X ) )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
4834, 44, 473eqtr2d 2507 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( X  x.  ( * `  X ) )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
4948fveq2d 5861 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( sqr `  (
( X  x.  (
* `  X )
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
50 absval 13021 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  ( abs `  X )  =  ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) ) )
5111, 50syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  =  ( sqr `  ( X  x.  (
* `  X )
) ) )
5251oveq1d 6290 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )  =  ( ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
5325, 49, 523eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486    <_ cle 9618   *ccj 12879   sqrcsqr 13016   abscabs 13017   Basecbs 14479   ↾s cress 14480   .rcmulr 14545   *rcstv 14546  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   .icip 14549   LModclmod 17288  ℂfldccnfld 18184   PreHilcphl 18419  CModcclm 21290  toCHilctch 21342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-grp 15851  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-cmn 16589  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-rnghom 17141  df-drng 17174  df-subrg 17203  df-staf 17270  df-srng 17271  df-lmod 17290  df-lmhm 17444  df-lvec 17525  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-cnfld 18185  df-phl 18421  df-clm 21291
This theorem is referenced by:  tchcph  21408
  Copyright terms: Public domain W3C validator