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Theorem tchcphlem1 20875
Description: Lemma for tchcph 20877: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
tchcph.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
tchcphlem1.3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
tchcphlem1.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .-    x,  .,    x, F    x, G    x, V    ph, x    x, W    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem tchcphlem1
StepHypRef Expression
1 tchcph.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
2 phllmod 18177 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
3 lmodgrp 17070 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
41, 2, 33syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5 tchcphlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
6 tchcphlem1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 tchcph.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 tchcph.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  W )
97, 8grpsubcl 15717 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
104, 5, 6, 9syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
11 tchval.n . . . . . 6  |-  G  =  (toCHil `  W )
12 tchcph.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
13 tchcph.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
14 tchcph.h . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i `  W )
1511, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 20873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  Y )  e.  V
)  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  RR )
1610, 15mpdan 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  RR )
1711, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 20873 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
185, 17mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  RR )
1911, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 20873 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
206, 19mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
2118, 20readdcld 9517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
2211, 7, 12, 1, 13tchclm 20872 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
23 tchcph.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  F
)
2412, 23clmsscn 20776 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
2522, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
2612, 14, 7, 23ipcl 18180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .,  Y )  e.  K )
271, 5, 6, 26syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  K )
2825, 27sseldd 3458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  CC )
2912, 14, 7, 23ipcl 18180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( Y  .,  X )  e.  K )
301, 6, 5, 29syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  K )
3125, 30sseldd 3458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  CC )
3228, 31addcld 9509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  e.  CC )
3332abscld 13033 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  e.  RR )
3421, 33readdcld 9517 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  e.  RR )
3518recnd 9516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  CC )
36 2re 10495 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
37 tchcph.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
3837ralrimiva 2825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
39 oveq12 6202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  X  /\  x  =  X )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( X 
.,  X ) )
4039anidms 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .,  x )  =  ( X  .,  X ) )
4140breq2d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( X  .,  X ) ) )
4241rspcv 3168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( X  .,  X
) ) )
435, 38, 42sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  .,  X ) )
4418, 43resqrcld 13015 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  RR )
45 oveq12 6202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
4645anidms 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
4746breq2d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
4847rspcv 3168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
496, 38, 48sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
5020, 49resqrcld 13015 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
5144, 50remulcld 9518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
52 remulcl 9471 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  RR )
5336, 51, 52sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  RR )
5453recnd 9516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  CC )
5520recnd 9516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
5635, 54, 55add32d 9696 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
5721, 53readdcld 9517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  e.  RR )
5856, 57eqeltrd 2539 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) )  e.  RR )
59 oveq12 6202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( X 
.-  Y )  /\  x  =  ( X  .-  Y ) )  -> 
( x  .,  x
)  =  ( ( X  .-  Y ) 
.,  ( X  .-  Y ) ) )
6059anidms 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X  .-  Y )  ->  (
x  .,  x )  =  ( ( X 
.-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6160breq2d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( X  .-  Y )  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( ( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
6261rspcv 3168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  .-  Y )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
6310, 38, 62sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6416, 63absidd 13020 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  =  ( ( X 
.-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6512clmadd 20771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. CMod  ->  +  =  ( +g  `  F ) )
6622, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  +  =  ( +g  `  F ) )
6766oveqd 6210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) )
6866oveqd 6210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  =  ( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  X ) ) )
6967, 68oveq12d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) ( -g `  F ) ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F ) ( Y 
.,  X ) ) ) )
7012, 14, 7, 23ipcl 18180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  K )
711, 5, 5, 70syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  K )
7212, 14, 7, 23ipcl 18180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  K )
731, 6, 6, 72syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  K )
7412, 23clmacl 20780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  X )  e.  K  /\  ( Y 
.,  Y )  e.  K )  ->  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K )
7522, 71, 73, 74syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )
7612, 23clmacl 20780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  Y )  e.  K  /\  ( Y 
.,  X )  e.  K )  ->  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )
7722, 27, 30, 76syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  e.  K )
7812, 23clmsub 20777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K  /\  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )  -> 
( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  -  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) ( -g `  F
) ( ( X 
.,  Y )  +  ( Y  .,  X
) ) ) )
7922, 75, 77, 78syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  -  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) ( -g `  F
) ( ( X 
.,  Y )  +  ( Y  .,  X
) ) ) )
80 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
81 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
8212, 14, 7, 8, 80, 81, 1, 5, 6, 5, 6ip2subdi 18191 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F ) ( Y 
.,  X ) ) ) )
8369, 79, 823eqtr4rd 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )
8483fveq2d 5796 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  =  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8564, 84eqtr3d 2494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8625, 75sseldd 3458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
8786, 32abs2dif2d 13055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) )  +  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
8885, 87eqbrtrd 4413 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( abs `  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) ) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8918, 20, 43, 49addge0d 10019 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
9021, 89absidd 13020 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) )  =  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) ) )
9190oveq1d 6208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
9288, 91breqtrd 4417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  +  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
9328abscld 13033 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR )
94 remulcl 9471 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( abs `  ( X 
.,  Y ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  e.  RR )
9536, 93, 94sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  e.  RR )
9628, 31abstrid 13053 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  +  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) ) )
9793recnd 9516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  CC )
98972timesd 10671 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( X 
.,  Y ) ) ) )
9928abscjd 13047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )
10012clmcj 20773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( *r `  F
) )
10122, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  *  =  ( *r `  F ) )
102101fveq1d 5794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( ( *r `  F ) `
 ( X  .,  Y ) ) )
103 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
10412, 14, 7, 103ipcj 18181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
1051, 5, 6, 104syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( *r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y 
.,  X ) )
106102, 105eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
107106fveq2d 5796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) )
10899, 107eqtr3d 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  =  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) )
109108oveq2d 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  +  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X 
.,  Y ) )  +  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) ) )
11098, 109eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( Y 
.,  X ) ) ) )
11196, 110breqtrrd 4419 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ) )
112 tchcph.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
113 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
114 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
11511, 7, 12, 1, 13, 14, 112, 37, 23, 113, 114, 5, 6ipcau2 20874 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( (
norm `  G ) `  X )  x.  (
( norm `  G ) `  Y ) ) )
11611, 113, 7, 14tchnmval 20869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( ( norm `  G
) `  X )  =  ( sqr `  ( X  .,  X ) ) )
1174, 5, 116syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( norm `  G
) `  X )  =  ( sqr `  ( X  .,  X ) ) )
11811, 113, 7, 14tchnmval 20869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( norm `  G
) `  Y )  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )
1194, 6, 118syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( norm `  G
) `  Y )  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )
120117, 119oveq12d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( norm `  G ) `  X
)  x.  ( (
norm `  G ) `  Y ) )  =  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
121115, 120breqtrd 4417 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
12236a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
123 2pos 10517 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
124123a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
125 lemul2 10286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR  /\  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
12693, 51, 122, 124, 125syl112anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <-> 
( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
127121, 126mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )
12833, 95, 53, 111, 127letrd 9632 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )
12933, 53, 21, 128leadd2dd 10058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
130129, 56breqtrrd 4419 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( (
( X  .,  X
)  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y ) ) )
13116, 34, 58, 92, 130letrd 9632 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
13216recnd 9516 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  CC )
133132sqsqrd 13036 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
13435sqrcld 13034 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC )
13550recnd 9516 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
136 binom2 12091 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )  ->  (
( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
137134, 135, 136syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
13835sqsqrd 13036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  =  ( X  .,  X
) )
139138oveq1d 6208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
14055sqsqrd 13036 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( Y  .,  Y
) )
141139, 140oveq12d 6211 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
142137, 141eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
143131, 133, 1423brtr4d 4423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 ) )
14416, 63resqrcld 13015 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  e.  RR )
14544, 50readdcld 9517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
14616, 63sqrge0d 13018 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
14718, 43sqrge0d 13018 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
14820, 49sqrge0d 13018 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
14944, 50, 147, 148addge0d 10019 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
150144, 145, 146, 149le2sqd 12153 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) )  <->  ( ( sqr `  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 ) ) )
151143, 150mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    C_ wss 3429   class class class wbr 4393   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386    + caddc 9389    x. cmul 9391    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699    / cdiv 10097   2c2 10475   ^cexp 11975   *ccj 12696   sqrcsqr 12833   abscabs 12834   Basecbs 14285   ↾s cress 14286   +g cplusg 14349   *rcstv 14351  Scalarcsca 14352   .icip 14354   Grpcgrp 15521   -gcsg 15524   LModclmod 17063  ℂfldccnfld 17936   PreHilcphl 18171   normcnm 20294  CModcclm 20759  toCHilctch 20811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-tpos 6848  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-mhm 15575  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-subg 15789  df-ghm 15856  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-cring 16763  df-oppr 16830  df-dvdsr 16848  df-unit 16849  df-invr 16879  df-dvr 16890  df-rnghom 16921  df-drng 16949  df-subrg 16978  df-staf 17045  df-srng 17046  df-lmod 17065  df-lmhm 17218  df-lvec 17299  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-cnfld 17937  df-phl 18173  df-nm 20300  df-tng 20302  df-clm 20760  df-tch 20813
This theorem is referenced by:  tchcph  20877
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