Theorem tchcph 21553

Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a quadratically closed subfield of CC into a complex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tchval.n	|- G = (toCHil ` W )
tchcph.v	|- V = ( Base ` W )
tchcph.f	|- F = (Scalar ` W )
tchcph.1	|- ( ph -> W e. PreHil )
tchcph.2	|- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
tchcph.h	|- ., = ( .i ` W )
tchcph.3	|- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. K )
tchcph.4	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )

Assertion

Ref	Expression
tchcph	|- ( ph -> G e. CPreHil )

Distinct variable groups:   x, .,   x, F   x, G   x, V   ph, x   x, W

Allowed substitution hint:   K( x)

Proof of Theorem tchcph

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tchcph.1	. . . 4 |- ( ph -> W e. PreHil )
2		tchval.n	. . . . 5 |- G = (toCHil ` W )
3	2	tchphl 21543	. . . 4 |- ( W e. PreHil <-> G e. PreHil )
4	1, 3	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> G e. PreHil )
5		tchcph.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
6		tchcph.h	. . . . . . 7 |- ., = ( .i ` W )
7	2, 5, 6	tchval 21534	. . . . . 6 |- G = ( W toNrmGrp ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) )
8		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
9		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
10		phllmod 18538	. . . . . . . 8 |- ( W e. PreHil -> W e. LMod )
11	1, 10	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
12		lmodgrp 17393	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
13	11, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. Grp )
14		tchcph.f	. . . . . . . . 9 |- F = (Scalar ` W )
15		tchcph.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
16	2, 5, 14, 1, 15, 6	tchcphlem3 21549	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( x ., x ) e. RR )
17		tchcph.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
18	16, 17	resqrtcld 13228	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( sqr ` ( x ., x ) ) e. RR )
19		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) = ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) )
20	18, 19	fmptd 6040	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) : V --> RR )
21		oveq12 6290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = y /\ x = y ) -> ( x ., x ) = ( y ., y ) )
22	21	anidms 645	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x ., x ) = ( y ., y ) )
23	22	fveq2d 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
24		fvex 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( sqr ` ( x ., x ) ) e. _V
25	23, 19, 24	fvmpt3i 5945	. . . . . . . . 9 |- ( y e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
26	25	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
27	26	eqeq1d 2445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
28		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
29		phllvec 18537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. PreHil -> W e. LVec )
30	1, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> W e. LVec )
31	14	lvecdrng 17625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. LVec -> F e. DivRing )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. DivRing )
33	28, 15, 32	cphsubrglem 21497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) /\ ( Base ` F ) = ( K i^i CC ) /\ ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) )
34	33	simp2d 1010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( K i^i CC ) )
35		inss2 3704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K i^i CC ) C_ CC
36	34, 35	syl6eqss 3539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` F ) C_ CC )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( Base ` F ) C_ CC )
38	14, 6, 5, 28	ipcl 18541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
39	38	3anidm23 1288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
40	1, 39	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
41	37, 40	sseldd 3490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. CC )
42	41	sqrtcld 13247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( sqr ` ( y ., y ) ) e. CC )
43		sqeq0 12211	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( y ., y ) ) e. CC -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
45	41	sqsqrtd 13249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = ( y ., y ) )
46	2, 5, 14, 1, 15	tchclm 21548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. CMod )
47	14	clm0 21445	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. CMod -> 0 = ( 0g ` F ) )
48	46, 47	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 = ( 0g ` F ) )
49	48	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> 0 = ( 0g ` F ) )
50	45, 49	eqeq12d 2465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( y ., y ) = ( 0g ` F ) ) )
51	44, 50	bitr3d 255	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 <-> ( y ., y ) = ( 0g ` F ) ) )
52		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
53	14, 6, 5, 52, 9	ipeq0 18546	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V ) -> ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) <-> y = ( 0g ` W ) ) )
54	1, 53	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) <-> y = ( 0g ` W ) ) )
55	27, 51, 54	3bitrd 279	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = 0 <-> y = ( 0g ` W ) ) )
56	1	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> W e. PreHil )
57	33	simp1d 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
58	57	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
59		3anass 978	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
60		tchcph.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. K )
61		simpr2 1004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> x e. RR )
62	61	recnd 9625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> x e. CC )
63	62	sqrtcld 13247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
64	60, 63	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) )
65	64	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) ) )
66	34	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. ( K i^i CC ) ) )
67		recn 9585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> x e. CC )
68		elin 3672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( K i^i CC ) <-> ( x e. K /\ x e. CC ) )
69	68	rbaib 906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( x e. ( K i^i CC ) <-> x e. K ) )
70	67, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> ( x e. ( K i^i CC ) <-> x e. K ) )
71	66, 70	sylan9bb 699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) )
72	71	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) )
73	72	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) ) )
74	73	pm5.32rd 640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) <-> ( x e. K /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) ) )
75		3anass 978	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) <-> ( x e. K /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
76	74, 75	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) <-> ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
77	34	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) <-> ( sqr ` x ) e. ( K i^i CC ) ) )
78		elin 3672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sqr ` x ) e. ( K i^i CC ) <-> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) )
79	77, 78	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) <-> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) ) )
80	65, 76, 79	3imtr4d 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
81	59, 80	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
82	81	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
83	82	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
84	17	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
85		simprl 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> y e. V )
86		simprr 757	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
87	2, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86	tchcphlem1 21551	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) <_ ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
88	5, 8	grpsubcl 15992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Grp /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
89	88	3expb 1198	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Grp /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
90	13, 89	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
91		oveq12 6290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( y ( -g ` W ) z ) /\ x = ( y ( -g ` W ) z ) ) -> ( x ., x ) = ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) )
92	91	anidms 645	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y ( -g ` W ) z ) -> ( x ., x ) = ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) )
93	92	fveq2d 5860	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y ( -g ` W ) z ) -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
94	93, 19, 24	fvmpt3i 5945	. . . . . . . 8 |- ( ( y ( -g ` W ) z ) e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
95	90, 94	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
96		oveq12 6290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = z /\ x = z ) -> ( x ., x ) = ( z ., z ) )
97	96	anidms 645	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x ., x ) = ( z ., z ) )
98	97	fveq2d 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
99	98, 19, 24	fvmpt3i 5945	. . . . . . . . 9 |- ( z e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
100	25, 99	oveqan12d 6300	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. V /\ z e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) = ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
101	100	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) = ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
102	87, 95, 101	3brtr4d 4467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) <_ ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) )
103	7, 5, 8, 9, 13, 20, 55, 102	tngngpd 21040	. . . . 5 |- ( ph -> G e. NrmGrp )
104		phllmod 18538	. . . . . 6 |- ( G e. PreHil -> G e. LMod )
105	4, 104	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> G e. LMod )
106		cnnrg 21161	. . . . . . 7 |- ℂfld e. NrmRing
107	33	simp3d 1011	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) )
108		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) )
109	108	subrgnrg 21055	. . . . . . 7 |- ( (ℂfld e. NrmRing /\ ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) e. NrmRing )
110	106, 107, 109	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) e. NrmRing )
111	57, 110	eqeltrd 2531	. . . . 5 |- ( ph -> F e. NrmRing )
112	103, 105, 111	3jca 1177	. . . 4 |- ( ph -> ( G e. NrmGrp /\ G e. LMod /\ F e. NrmRing ) )
113	1	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> W e. PreHil )
114	57	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
115	82	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
116	17	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
117		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
118		simprl 756	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> y e. ( Base ` F ) )
119		simprr 757	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> z e. V )
120	2, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119	tchcphlem2 21552	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
121	13	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> W e. Grp )
122	5, 14, 117, 28	lmodvscl 17403	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
123	122	3expb 1198	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
124	11, 123	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
125		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( norm ` G ) = ( norm ` G )
126	2, 125, 5, 6	tchnmval 21545	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Grp /\ ( y ( .s ` W ) z ) e. V ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) )
127	121, 124, 126	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) )
128	114	fveq2d 5860	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( norm ` F ) = ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) )
129	128	fveq1d 5858	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` F ) ` y ) = ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) )
130		subrgsubg 17309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
131	107, 130	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
132	131	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
133		cnfldnm 21159	. . . . . . . . . 10 |- abs = ( norm ` ℂfld )
134		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) = ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
135	108, 133, 134	subgnm2 21021	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ y e. ( Base ` F ) ) -> ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) = ( abs ` y ) )
136	132, 118, 135	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) = ( abs ` y ) )
137	129, 136	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` F ) ` y ) = ( abs ` y ) )
138	2, 125, 5, 6	tchnmval 21545	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Grp /\ z e. V ) -> ( ( norm ` G ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
139	121, 119, 138	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
140	137, 139	oveq12d 6299	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
141	120, 127, 140	3eqtr4d 2494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) )
142	141	ralrimivva 2864	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. ( Base ` F ) A. z e. V ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) )
143	2, 5	tchbas 21535	. . . . 5 |- V = ( Base ` G )
144	2, 117	tchvsca 21540	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` G )
145	2, 14	tchsca 21539	. . . . 5 |- F = (Scalar ` G )
146		eqid 2443	. . . . 5 |- ( norm ` F ) = ( norm ` F )
147	143, 125, 144, 145, 28, 146	isnlm 21057	. . . 4 |- ( G e. NrmMod <-> ( ( G e. NrmGrp /\ G e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ A. y e. ( Base ` F ) A. z e. V ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) ) )
148	112, 142, 147	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ph -> G e. NrmMod )
149	4, 148, 57	3jca 1177	. 2 |- ( ph -> ( G e. PreHil /\ G e. NrmMod /\ F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) )
150		elin 3672	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. ( 0 [,) +oo ) ) )
151		elrege0 11636	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
152	151	anbi2i 694	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
153	150, 152	bitri 249	. . . . 5 |- ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
154	153, 80	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
155	154	ralrimiv 2855	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
156		sqrtf 13175	. . . . 5 |- sqr : CC --> CC
157		ffun 5723	. . . . 5 |- ( sqr : CC --> CC -> Fun sqr )
158	156, 157	ax-mp 5	. . . 4 |- Fun sqr
159		inss1 3703	. . . . . 6 |- ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ ( Base ` F )
160	159, 36	syl5ss 3500	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ CC )
161	156	fdmi 5726	. . . . 5 |- dom sqr = CC
162	160, 161	syl6sseqr 3536	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ dom sqr )
163		funimass4 5909	. . . 4 |- ( ( Fun sqr /\ ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ dom sqr ) -> ( ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) <-> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
164	158, 162, 163	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) <-> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
165	155, 164	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) )
166		eqid 2443	. . . . 5 |- ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) )
167	42, 166	fmptd 6040	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) : V --> CC )
168	2, 5, 6	tchval 21534	. . . . 5 |- G = ( W toNrmGrp ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) )
169		cnex 9576	. . . . 5 |- CC e. _V
170	168, 5, 169	tngnm 21038	. . . 4 |- ( ( W e. Grp /\ ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) : V --> CC ) -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( norm ` G ) )
171	13, 167, 170	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( norm ` G ) )
172	171	eqcomd 2451	. 2 |- ( ph -> ( norm ` G ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) )
173	2, 6	tchip 21541	. . 3 |- ., = ( .i ` G )
174	143, 173, 125, 145, 28	iscph 21490	. 2 |- ( G e. CPreHil <-> ( ( G e. PreHil /\ G e. NrmMod /\ F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) /\ ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) /\ ( norm ` G ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) ) )
175	149, 165, 172, 174	syl3anbrc 1181	1 |- ( ph -> G e. CPreHil )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   i^i cin 3460   C_ wss 3461   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   "cima 4992   Fun wfun 5572   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   + caddc 9498   x. cmul 9500   +oocpnf 9628   <_ cle 9632   2c2 10591   [,)cico 11540   ^cexp 12145   sqrcsqrt 13045   abscabs 13046   Basecbs 14509   ↾_s cress 14510  Scalarcsca 14577   .scvsca 14578   .icip 14579   0gc0g 14714   Grpcgrp 15927   -gcsg 15929  SubGrpcsubg 16069   DivRingcdr 17270  SubRingcsubrg 17299   LModclmod 17386   LVecclvec 17622  ℂ_fldccnfld 18294   PreHilcphl 18532   normcnm 20970  NrmGrpcngp 20971  NrmRingcnrg 20973  NrmModcnlm 20974  CModcclm 21435   CPreHilccph 21486  toCHilctch 21487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ico 11544  df-fz 11682  df-seq 12087  df-exp 12146  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-topgen 14718  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-subg 16072  df-ghm 16139  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-cring 17075  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-dvr 17206  df-rnghom 17238  df-drng 17272  df-subrg 17301  df-abv 17340  df-staf 17368  df-srng 17369  df-lmod 17388  df-lmhm 17542  df-lvec 17623  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-cnfld 18295  df-phl 18534  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-xms 20696  df-ms 20697  df-nm 20976  df-ngp 20977  df-tng 20978  df-nrg 20979  df-nlm 20980  df-clm 21436  df-cph 21488  df-tch 21489

This theorem is referenced by:  rrxcph  21697