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Theorem tchcph 22211
Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a quadratically closed subfield of  CC into a complex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
Assertion
Ref Expression
tchcph  |-  ( ph  ->  G  e.  CPreHil )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, F   
x, G    x, V    ph, x    x, W
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem tchcph
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tchcph.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
2 tchval.n . . . . 5  |-  G  =  (toCHil `  W )
32tchphl 22201 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil 
<->  G  e.  PreHil )
41, 3sylib 200 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  PreHil )
5 tchcph.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 tchcph.h . . . . . . 7  |-  .,  =  ( .i `  W )
72, 5, 6tchval 22192 . . . . . 6  |-  G  =  ( W toNrmGrp  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) )
8 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
9 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
10 phllmod 19197 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
111, 10syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
12 lmodgrp 18098 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
1311, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
14 tchcph.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (Scalar `  W )
15 tchcph.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
162, 5, 14, 1, 15, 6tchcphlem3 22207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
x  .,  x )  e.  RR )
17 tchcph.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
1816, 17resqrtcld 13479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  e.  RR )
19 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) )
2018, 19fmptd 6046 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) : V --> RR )
21 oveq12 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( y 
.,  y ) )
2221anidms 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .,  x )  =  ( y  .,  y ) )
2322fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  =  ( sqr `  (
y  .,  y )
) )
24 fvex 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( x  .,  x
) )  e.  _V
2523, 19, 24fvmpt3i 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  y
)  =  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) )
2625adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  y
)  =  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) )
2726eqeq1d 2453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  y
)  =  0  <->  ( sqr `  ( y  .,  y ) )  =  0 ) )
28 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
29 phllvec 19196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
301, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3114lvecdrng 18328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  DivRing )
3328, 15, 32cphsubrglem 22155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  =  (flds  ( Base `  F ) )  /\  ( Base `  F )  =  ( K  i^i  CC )  /\  ( Base `  F )  e.  (SubRing ` fld ) ) )
3433simp2d 1021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  =  ( K  i^i  CC ) )
35 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  i^i  CC )  C_  CC
3634, 35syl6eqss 3482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  C_  CC )
3736adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  ( Base `  F )  C_  CC )
3814, 6, 5, 28ipcl 19200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  y  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
y  .,  y )  e.  ( Base `  F
) )
39383anidm23 1327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  y  e.  V )  ->  (
y  .,  y )  e.  ( Base `  F
) )
401, 39sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
y  .,  y )  e.  ( Base `  F
) )
4137, 40sseldd 3433 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
y  .,  y )  e.  CC )
4241sqrtcld 13499 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  ( sqr `  ( y  .,  y ) )  e.  CC )
43 sqeq0 12339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( y 
.,  y ) )  e.  CC  ->  (
( ( sqr `  (
y  .,  y )
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sqr `  ( y  .,  y
) )  =  0 ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( ( sqr `  (
y  .,  y )
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sqr `  ( y  .,  y
) )  =  0 ) )
4541sqsqrtd 13501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( sqr `  (
y  .,  y )
) ^ 2 )  =  ( y  .,  y ) )
462, 5, 14, 1, 15tchclm 22206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
4714clm0 22103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  F ) )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  =  ( 0g
`  F ) )
4948adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  0  =  ( 0g `  F ) )
5045, 49eqeq12d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( ( sqr `  (
y  .,  y )
) ^ 2 )  =  0  <->  ( y  .,  y )  =  ( 0g `  F ) ) )
5144, 50bitr3d 259 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( sqr `  (
y  .,  y )
)  =  0  <->  (
y  .,  y )  =  ( 0g `  F ) ) )
52 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
5314, 6, 5, 52, 9ipeq0 19205 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  y  e.  V )  ->  (
( y  .,  y
)  =  ( 0g
`  F )  <->  y  =  ( 0g `  W ) ) )
541, 53sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( y  .,  y
)  =  ( 0g
`  F )  <->  y  =  ( 0g `  W ) ) )
5527, 51, 543bitrd 283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  y
)  =  0  <->  y  =  ( 0g `  W ) ) )
561adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  W  e.  PreHil )
5733simp1d 1020 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  ( Base `  F
) ) )
5857adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  F  =  (flds  ( Base `  F
) ) )
59 3anass 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( Base `  F )  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x )  <->  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
60 tchcph.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
61 simpr2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
6261recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  ->  x  e.  CC )
6362sqrtcld 13499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  CC )
6460, 63jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( ( sqr `  x
)  e.  K  /\  ( sqr `  x )  e.  CC ) )
6564ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x )  ->  (
( sqr `  x
)  e.  K  /\  ( sqr `  x )  e.  CC ) ) )
6634eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  F )  <->  x  e.  ( K  i^i  CC ) ) )
67 recn 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
68 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( K  i^i  CC )  <->  ( x  e.  K  /\  x  e.  CC ) )
6968rbaib 917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  ( K  i^i  CC )  <->  x  e.  K ) )
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( K  i^i  CC )  <->  x  e.  K ) )
7166, 70sylan9bb 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( Base `  F
)  <->  x  e.  K
) )
7271adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( x  e.  (
Base `  F )  <->  x  e.  K ) )
7372ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  ->  (
x  e.  ( Base `  F )  <->  x  e.  K ) ) )
7473pm5.32rd 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  <->  ( x  e.  K  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) ) )
75 3anass 989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x )  <->  ( x  e.  K  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
7674, 75syl6bbr 267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  <->  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
7734eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F )  <->  ( sqr `  x )  e.  ( K  i^i  CC ) ) )
78 elin 3617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sqr `  x )  e.  ( K  i^i  CC )  <->  ( ( sqr `  x )  e.  K  /\  ( sqr `  x
)  e.  CC ) )
7977, 78syl6bb 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F )  <->  ( ( sqr `  x )  e.  K  /\  ( sqr `  x )  e.  CC ) ) )
8065, 76, 793imtr4d 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) ) )
8159, 80syl5bi 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
)  ->  ( sqr `  x )  e.  (
Base `  F )
) )
8281imp 431 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
) )  ->  ( sqr `  x )  e.  ( Base `  F
) )
8382adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
) )  ->  ( sqr `  x )  e.  ( Base `  F
) )
8417adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
85 simprl 764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
y  e.  V )
86 simprr 766 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
872, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86tchcphlem1 22209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( sqr `  (
( y ( -g `  W ) z ) 
.,  ( y (
-g `  W )
z ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( y  .,  y
) )  +  ( sqr `  ( z 
.,  z ) ) ) )
885, 8grpsubcl 16734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  ( y ( -g `  W ) z )  e.  V )
89883expb 1209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
y ( -g `  W
) z )  e.  V )
9013, 89sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y ( -g `  W ) z )  e.  V )
91 oveq12 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( y ( -g `  W
) z )  /\  x  =  ( y
( -g `  W ) z ) )  -> 
( x  .,  x
)  =  ( ( y ( -g `  W
) z )  .,  ( y ( -g `  W ) z ) ) )
9291anidms 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y (
-g `  W )
z )  ->  (
x  .,  x )  =  ( ( y ( -g `  W
) z )  .,  ( y ( -g `  W ) z ) ) )
9392fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (
-g `  W )
z )  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  =  ( sqr `  (
( y ( -g `  W ) z ) 
.,  ( y (
-g `  W )
z ) ) ) )
9493, 19, 24fvmpt3i 5953 . . . . . . . 8  |-  ( ( y ( -g `  W
) z )  e.  V  ->  ( (
x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) ) `  ( y ( -g `  W
) z ) )  =  ( sqr `  (
( y ( -g `  W ) z ) 
.,  ( y (
-g `  W )
z ) ) ) )
9590, 94syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  (
y ( -g `  W
) z ) )  =  ( sqr `  (
( y ( -g `  W ) z ) 
.,  ( y (
-g `  W )
z ) ) ) )
96 oveq12 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  z  /\  x  =  z )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( z 
.,  z ) )
9796anidms 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
x  .,  x )  =  ( z  .,  z ) )
9897fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  =  ( sqr `  (
z  .,  z )
) )
9998, 19, 24fvmpt3i 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  z
)  =  ( sqr `  ( z  .,  z
) ) )
10025, 99oveqan12d 6309 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  ( ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) `  y )  +  ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  z
) )  =  ( ( sqr `  (
y  .,  y )
)  +  ( sqr `  ( z  .,  z
) ) ) )
101100adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) `  y )  +  ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  z
) )  =  ( ( sqr `  (
y  .,  y )
)  +  ( sqr `  ( z  .,  z
) ) ) )
10287, 95, 1013brtr4d 4433 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  (
y ( -g `  W
) z ) )  <_  ( ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) ) `  y )  +  ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) `  z ) ) )
1037, 5, 8, 9, 13, 20, 55, 102tngngpd 21661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. NrmGrp )
104 phllmod 19197 . . . . . 6  |-  ( G  e.  PreHil  ->  G  e.  LMod )
1054, 104syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  LMod )
106 cnnrg 21801 . . . . . . 7  |-fld  e. NrmRing
10733simp3d 1022 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  e.  (SubRing ` fld ) )
108 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  (flds  ( Base `  F
) )  =  (flds  ( Base `  F ) )
109108subrgnrg 21676 . . . . . . 7  |-  ( (fld  e. NrmRing  /\  ( Base `  F
)  e.  (SubRing ` fld ) )  ->  (flds  ( Base `  F ) )  e. NrmRing )
110106, 107, 109sylancr 669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (flds  (
Base `  F )
)  e. NrmRing )
11157, 110eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. NrmRing )
112103, 105, 1113jca 1188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  LMod  /\  F  e. NrmRing ) )
1131adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  ->  W  e.  PreHil )
11457adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  ->  F  =  (flds  ( Base `  F
) ) )
11582adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  F )  /\  z  e.  V ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  F )  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) )
11617adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  F )  /\  z  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x ) )
117 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
118 simprl 764 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
y  e.  ( Base `  F ) )
119 simprr 766 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
1202, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119tchcphlem2 22210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( sqr `  (
( y ( .s
`  W ) z )  .,  ( y ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( sqr `  (
z  .,  z )
) ) )
12113adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  ->  W  e.  Grp )
1225, 14, 117, 28lmodvscl 18108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V )  ->  (
y ( .s `  W ) z )  e.  V )
1231223expb 1209 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
y  e.  ( Base `  F )  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y ( .s
`  W ) z )  e.  V )
12411, 123sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y ( .s
`  W ) z )  e.  V )
125 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
1262, 125, 5, 6tchnmval 22203 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( y ( .s
`  W ) z )  e.  V )  ->  ( ( norm `  G ) `  (
y ( .s `  W ) z ) )  =  ( sqr `  ( ( y ( .s `  W ) z )  .,  (
y ( .s `  W ) z ) ) ) )
127121, 124, 126syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  ( y
( .s `  W
) z ) )  =  ( sqr `  (
( y ( .s
`  W ) z )  .,  ( y ( .s `  W
) z ) ) ) )
128114fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( norm `  F )  =  ( norm `  (flds  ( Base `  F ) ) ) )
129128fveq1d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  F
) `  y )  =  ( ( norm `  (flds  (
Base `  F )
) ) `  y
) )
130 subrgsubg 18014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Base `  F )  e.  (SubRing ` fld )  ->  ( Base `  F )  e.  (SubGrp ` fld ) )
131107, 130syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  e.  (SubGrp ` fld )
)
132131adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( Base `  F )  e.  (SubGrp ` fld ) )
133 cnfldnm 21799 . . . . . . . . . 10  |-  abs  =  ( norm ` fld )
134 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( norm `  (flds  (
Base `  F )
) )  =  (
norm `  (flds  ( Base `  F
) ) )
135108, 133, 134subgnm2 21642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Base `  F
)  e.  (SubGrp ` fld )  /\  y  e.  ( Base `  F ) )  ->  ( ( norm `  (flds  (
Base `  F )
) ) `  y
)  =  ( abs `  y ) )
136132, 118, 135syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  (flds  ( Base `  F ) ) ) `
 y )  =  ( abs `  y
) )
137129, 136eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  F
) `  y )  =  ( abs `  y
) )
1382, 125, 5, 6tchnmval 22203 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  z  e.  V )  ->  ( ( norm `  G
) `  z )  =  ( sqr `  (
z  .,  z )
) )
139121, 119, 138syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  z )  =  ( sqr `  (
z  .,  z )
) )
140137, 139oveq12d 6308 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( norm `  F ) `  y
)  x.  ( (
norm `  G ) `  z ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( sqr `  ( z  .,  z
) ) ) )
141120, 127, 1403eqtr4d 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  ( y
( .s `  W
) z ) )  =  ( ( (
norm `  F ) `  y )  x.  (
( norm `  G ) `  z ) ) )
142141ralrimivva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  (
Base `  F ) A. z  e.  V  ( ( norm `  G
) `  ( y
( .s `  W
) z ) )  =  ( ( (
norm `  F ) `  y )  x.  (
( norm `  G ) `  z ) ) )
1432, 5tchbas 22193 . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  G
)
1442, 117tchvsca 22198 . . . . 5  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  G
)
1452, 14tchsca 22197 . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  G )
146 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( norm `  F )  =  (
norm `  F )
147143, 125, 144, 145, 28, 146isnlm 21678 . . . 4  |-  ( G  e. NrmMod 
<->  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  LMod  /\  F  e. NrmRing )  /\  A. y  e.  ( Base `  F ) A. z  e.  V  ( ( norm `  G ) `  ( y ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( ( norm `  F
) `  y )  x.  ( ( norm `  G
) `  z )
) ) )
148112, 142, 147sylanbrc 670 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. NrmMod )
1494, 148, 573jca 1188 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  PreHil  /\  G  e. NrmMod  /\  F  =  (flds  (
Base `  F )
) ) )
150 elin 3617 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( Base `  F )  i^i  (
0 [,) +oo )
)  <->  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  x  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
151 elrege0 11738 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
152151anbi2i 700 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  F )  /\  x  e.  ( 0 [,) +oo ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
153150, 152bitri 253 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( Base `  F )  i^i  (
0 [,) +oo )
)  <->  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
154153, 80syl5bi 221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) ) )
155154ralrimiv 2800 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) )
156 sqrtf 13426 . . . . 5  |-  sqr : CC
--> CC
157 ffun 5731 . . . . 5  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  Fun 
sqr )
158156, 157ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  sqr
159 inss1 3652 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  C_  ( Base `  F )
160159, 36syl5ss 3443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) 
C_  CC )
161156fdmi 5734 . . . . 5  |-  dom  sqr  =  CC
162160, 161syl6sseqr 3479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) 
C_  dom  sqr )
163 funimass4 5916 . . . 4  |-  ( ( Fun  sqr  /\  (
( Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  C_  dom  sqr )  ->  ( ( sqr " ( ( Base `  F )  i^i  (
0 [,) +oo )
) )  C_  ( Base `  F )  <->  A. x  e.  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) ) )
164158, 162, 163sylancr 669 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr " (
( Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) )  C_  ( Base `  F )  <->  A. x  e.  ( (
Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr `  x )  e.  (
Base `  F )
) )
165155, 164mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr " (
( Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) )  C_  ( Base `  F )
)
166 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) )
16742, 166fmptd 6046 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) ) : V --> CC )
1682, 5, 6tchval 22192 . . . . 5  |-  G  =  ( W toNrmGrp  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) ) )
169 cnex 9620 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
170168, 5, 169tngnm 21659 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) ) : V --> CC )  ->  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) )  =  ( norm `  G
) )
17113, 167, 170syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) )  =  (
norm `  G )
)
172171eqcomd 2457 . 2  |-  ( ph  ->  ( norm `  G
)  =  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) ) )
1732, 6tchip 22199 . . 3  |-  .,  =  ( .i `  G )
174143, 173, 125, 145, 28iscph 22148 . 2  |-  ( G  e.  CPreHil 
<->  ( ( G  e. 
PreHil  /\  G  e. NrmMod  /\  F  =  (flds  (
Base `  F )
) )  /\  ( sqr " ( ( Base `  F )  i^i  (
0 [,) +oo )
) )  C_  ( Base `  F )  /\  ( norm `  G )  =  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) ) ) )
175149, 165, 172, 174syl3anbrc 1192 1  |-  ( ph  ->  G  e.  CPreHil )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737    i^i cin 3403    C_ wss 3404   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672    <_ cle 9676   2c2 10659   [,)cico 11637   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13296   abscabs 13297   Basecbs 15121   ↾s cress 15122  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   .icip 15195   0gc0g 15338   Grpcgrp 16669   -gcsg 16671  SubGrpcsubg 16811   DivRingcdr 17975  SubRingcsubrg 18004   LModclmod 18091   LVecclvec 18325  ℂfldccnfld 18970   PreHilcphl 19191   normcnm 21591  NrmGrpcngp 21592  NrmRingcnrg 21594  NrmModcnlm 21595  CModcclm 22093   CPreHilccph 22144  toCHilctch 22145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-rnghom 17943  df-drng 17977  df-subrg 18006  df-abv 18045  df-staf 18073  df-srng 18074  df-lmod 18093  df-lmhm 18245  df-lvec 18326  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-phl 19193  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-xms 21335  df-ms 21336  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-tng 21599  df-nrg 21600  df-nlm 21601  df-clm 22094  df-cph 22146  df-tch 22147
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