Theorem tchcph 20774

Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a quadratically closed subfield of CC into a complex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tchval.n	|- G = (toCHil ` W )
tchcph.v	|- V = ( Base ` W )
tchcph.f	|- F = (Scalar ` W )
tchcph.1	|- ( ph -> W e. PreHil )
tchcph.2	|- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
tchcph.h	|- ., = ( .i ` W )
tchcph.3	|- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. K )
tchcph.4	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )

Assertion

Ref	Expression
tchcph	|- ( ph -> G e. CPreHil )

Distinct variable groups:   x, .,   x, F   x, G   x, V   ph, x   x, W

Allowed substitution hint:   K( x)

Proof of Theorem tchcph

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tchcph.1	. . . 4 |- ( ph -> W e. PreHil )
2		tchval.n	. . . . 5 |- G = (toCHil ` W )
3	2	tchphl 20764	. . . 4 |- ( W e. PreHil <-> G e. PreHil )
4	1, 3	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> G e. PreHil )
5		tchcph.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
6		tchcph.h	. . . . . . 7 |- ., = ( .i ` W )
7	2, 5, 6	tchval 20755	. . . . . 6 |- G = ( W toNrmGrp ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) )
8		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
9		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
10		phllmod 18081	. . . . . . . 8 |- ( W e. PreHil -> W e. LMod )
11	1, 10	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
12		lmodgrp 16977	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
13	11, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. Grp )
14		tchcph.f	. . . . . . . . 9 |- F = (Scalar ` W )
15		tchcph.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
16	2, 5, 14, 1, 15, 6	tchcphlem3 20770	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( x ., x ) e. RR )
17		tchcph.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
18	16, 17	resqrcld 12925	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( sqr ` ( x ., x ) ) e. RR )
19		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) = ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) )
20	18, 19	fmptd 5888	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) : V --> RR )
21		oveq12 6121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = y /\ x = y ) -> ( x ., x ) = ( y ., y ) )
22	21	anidms 645	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x ., x ) = ( y ., y ) )
23	22	fveq2d 5716	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
24		fvex 5722	. . . . . . . . . 10 |- ( sqr ` ( x ., x ) ) e. _V
25	23, 19, 24	fvmpt3i 5799	. . . . . . . . 9 |- ( y e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
26	25	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
27	26	eqeq1d 2451	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
28		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
29		phllvec 18080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. PreHil -> W e. LVec )
30	1, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> W e. LVec )
31	14	lvecdrng 17208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. LVec -> F e. DivRing )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. DivRing )
33	28, 15, 32	cphsubrglem 20718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) /\ ( Base ` F ) = ( K i^i CC ) /\ ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) )
34	33	simp2d 1001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( K i^i CC ) )
35		inss2 3592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K i^i CC ) C_ CC
36	34, 35	syl6eqss 3427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` F ) C_ CC )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( Base ` F ) C_ CC )
38	14, 6, 5, 28	ipcl 18084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
39	38	3anidm23 1277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
40	1, 39	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
41	37, 40	sseldd 3378	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. CC )
42	41	sqrcld 12944	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( sqr ` ( y ., y ) ) e. CC )
43		sqeq0 11951	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( y ., y ) ) e. CC -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
45	41	sqsqrd 12946	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = ( y ., y ) )
46	2, 5, 14, 1, 15	tchclm 20769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. CMod )
47	14	clm0 20666	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. CMod -> 0 = ( 0g ` F ) )
48	46, 47	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 = ( 0g ` F ) )
49	48	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> 0 = ( 0g ` F ) )
50	45, 49	eqeq12d 2457	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( y ., y ) = ( 0g ` F ) ) )
51	44, 50	bitr3d 255	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 <-> ( y ., y ) = ( 0g ` F ) ) )
52		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
53	14, 6, 5, 52, 9	ipeq0 18089	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V ) -> ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) <-> y = ( 0g ` W ) ) )
54	1, 53	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) <-> y = ( 0g ` W ) ) )
55	27, 51, 54	3bitrd 279	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = 0 <-> y = ( 0g ` W ) ) )
56	1	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> W e. PreHil )
57	33	simp1d 1000	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
58	57	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
59		3anass 969	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
60		tchcph.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. K )
61		simpr2 995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> x e. RR )
62	61	recnd 9433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> x e. CC )
63	62	sqrcld 12944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
64	60, 63	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) )
65	64	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) ) )
66	34	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. ( K i^i CC ) ) )
67		recn 9393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> x e. CC )
68		elin 3560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( K i^i CC ) <-> ( x e. K /\ x e. CC ) )
69	68	rbaib 898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( x e. ( K i^i CC ) <-> x e. K ) )
70	67, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> ( x e. ( K i^i CC ) <-> x e. K ) )
71	66, 70	sylan9bb 699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) )
72	71	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) )
73	72	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) ) )
74	73	pm5.32rd 640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) <-> ( x e. K /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) ) )
75		3anass 969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) <-> ( x e. K /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
76	74, 75	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) <-> ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
77	34	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) <-> ( sqr ` x ) e. ( K i^i CC ) ) )
78		elin 3560	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sqr ` x ) e. ( K i^i CC ) <-> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) )
79	77, 78	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) <-> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) ) )
80	65, 76, 79	3imtr4d 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
81	59, 80	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
82	81	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
83	82	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
84	17	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
85		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> y e. V )
86		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
87	2, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86	tchcphlem1 20772	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) <_ ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
88	5, 8	grpsubcl 15627	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Grp /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
89	88	3expb 1188	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Grp /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
90	13, 89	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
91		oveq12 6121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( y ( -g ` W ) z ) /\ x = ( y ( -g ` W ) z ) ) -> ( x ., x ) = ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) )
92	91	anidms 645	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y ( -g ` W ) z ) -> ( x ., x ) = ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) )
93	92	fveq2d 5716	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y ( -g ` W ) z ) -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
94	93, 19, 24	fvmpt3i 5799	. . . . . . . 8 |- ( ( y ( -g ` W ) z ) e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
95	90, 94	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
96		oveq12 6121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = z /\ x = z ) -> ( x ., x ) = ( z ., z ) )
97	96	anidms 645	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x ., x ) = ( z ., z ) )
98	97	fveq2d 5716	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
99	98, 19, 24	fvmpt3i 5799	. . . . . . . . 9 |- ( z e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
100	25, 99	oveqan12d 6131	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. V /\ z e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) = ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
101	100	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) = ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
102	87, 95, 101	3brtr4d 4343	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) <_ ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) )
103	7, 5, 8, 9, 13, 20, 55, 102	tngngpd 20261	. . . . 5 |- ( ph -> G e. NrmGrp )
104		phllmod 18081	. . . . . 6 |- ( G e. PreHil -> G e. LMod )
105	4, 104	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> G e. LMod )
106		cnnrg 20382	. . . . . . 7 |- ℂfld e. NrmRing
107	33	simp3d 1002	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) )
108		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) )
109	108	subrgnrg 20276	. . . . . . 7 |- ( (ℂfld e. NrmRing /\ ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) e. NrmRing )
110	106, 107, 109	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) e. NrmRing )
111	57, 110	eqeltrd 2517	. . . . 5 |- ( ph -> F e. NrmRing )
112	103, 105, 111	3jca 1168	. . . 4 |- ( ph -> ( G e. NrmGrp /\ G e. LMod /\ F e. NrmRing ) )
113	1	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> W e. PreHil )
114	57	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
115	82	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
116	17	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
117		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
118		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> y e. ( Base ` F ) )
119		simprr 756	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> z e. V )
120	2, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119	tchcphlem2 20773	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
121	13	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> W e. Grp )
122	5, 14, 117, 28	lmodvscl 16987	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
123	122	3expb 1188	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
124	11, 123	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
125		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( norm ` G ) = ( norm ` G )
126	2, 125, 5, 6	tchnmval 20766	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Grp /\ ( y ( .s ` W ) z ) e. V ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) )
127	121, 124, 126	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) )
128	114	fveq2d 5716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( norm ` F ) = ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) )
129	128	fveq1d 5714	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` F ) ` y ) = ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) )
130		subrgsubg 16893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
131	107, 130	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
132	131	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
133		cnfldnm 20380	. . . . . . . . . 10 |- abs = ( norm ` ℂfld )
134		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) = ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
135	108, 133, 134	subgnm2 20242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ y e. ( Base ` F ) ) -> ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) = ( abs ` y ) )
136	132, 118, 135	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) = ( abs ` y ) )
137	129, 136	eqtrd 2475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` F ) ` y ) = ( abs ` y ) )
138	2, 125, 5, 6	tchnmval 20766	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Grp /\ z e. V ) -> ( ( norm ` G ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
139	121, 119, 138	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
140	137, 139	oveq12d 6130	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
141	120, 127, 140	3eqtr4d 2485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) )
142	141	ralrimivva 2829	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. ( Base ` F ) A. z e. V ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) )
143	2, 5	tchbas 20756	. . . . 5 |- V = ( Base ` G )
144	2, 117	tchvsca 20761	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` G )
145	2, 14	tchsca 20760	. . . . 5 |- F = (Scalar ` G )
146		eqid 2443	. . . . 5 |- ( norm ` F ) = ( norm ` F )
147	143, 125, 144, 145, 28, 146	isnlm 20278	. . . 4 |- ( G e. NrmMod <-> ( ( G e. NrmGrp /\ G e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ A. y e. ( Base ` F ) A. z e. V ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) ) )
148	112, 142, 147	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ph -> G e. NrmMod )
149	4, 148, 57	3jca 1168	. 2 |- ( ph -> ( G e. PreHil /\ G e. NrmMod /\ F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) )
150		elin 3560	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. ( 0 [,) +oo ) ) )
151		elrege0 11413	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
152	151	anbi2i 694	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
153	150, 152	bitri 249	. . . . 5 |- ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
154	153, 80	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
155	154	ralrimiv 2819	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
156		sqrf 12872	. . . . 5 |- sqr : CC --> CC
157		ffun 5582	. . . . 5 |- ( sqr : CC --> CC -> Fun sqr )
158	156, 157	ax-mp 5	. . . 4 |- Fun sqr
159		inss1 3591	. . . . . 6 |- ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ ( Base ` F )
160	159, 36	syl5ss 3388	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ CC )
161	156	fdmi 5585	. . . . 5 |- dom sqr = CC
162	160, 161	syl6sseqr 3424	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ dom sqr )
163		funimass4 5763	. . . 4 |- ( ( Fun sqr /\ ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ dom sqr ) -> ( ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) <-> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
164	158, 162, 163	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) <-> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
165	155, 164	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) )
166		eqid 2443	. . . . 5 |- ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) )
167	42, 166	fmptd 5888	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) : V --> CC )
168	2, 5, 6	tchval 20755	. . . . 5 |- G = ( W toNrmGrp ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) )
169		cnex 9384	. . . . 5 |- CC e. _V
170	168, 5, 169	tngnm 20259	. . . 4 |- ( ( W e. Grp /\ ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) : V --> CC ) -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( norm ` G ) )
171	13, 167, 170	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( norm ` G ) )
172	171	eqcomd 2448	. 2 |- ( ph -> ( norm ` G ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) )
173	2, 6	tchip 20762	. . 3 |- ., = ( .i ` G )
174	143, 173, 125, 145, 28	iscph 20711	. 2 |- ( G e. CPreHil <-> ( ( G e. PreHil /\ G e. NrmMod /\ F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) /\ ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) /\ ( norm ` G ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) ) )
175	149, 165, 172, 174	syl3anbrc 1172	1 |- ( ph -> G e. CPreHil )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2736   i^i cin 3348   C_ wss 3349   class class class wbr 4313   e. cmpt 4371   dom cdm 4861   "cima 4864   Fun wfun 5433   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   + caddc 9306   x. cmul 9308   +oocpnf 9436   <_ cle 9440   2c2 10392   [,)cico 11323   ^cexp 11886   sqrcsqr 12743   abscabs 12744   Basecbs 14195   ↾_s cress 14196  Scalarcsca 14262   .scvsca 14263   .icip 14264   0gc0g 14399   Grpcgrp 15431   -gcsg 15434  SubGrpcsubg 15696   DivRingcdr 16854  SubRingcsubrg 16883   LModclmod 16970   LVecclvec 17205  ℂ_fldccnfld 17840   PreHilcphl 18075   normcnm 20191  NrmGrpcngp 20192  NrmRingcnrg 20194  NrmModcnlm 20195  CModcclm 20656   CPreHilccph 20707  toCHilctch 20708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ico 11327  df-fz 11459  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-topgen 14403  df-mnd 15436  df-mhm 15485  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-subg 15699  df-ghm 15766  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-cring 16670  df-oppr 16737  df-dvdsr 16755  df-unit 16756  df-invr 16786  df-dvr 16797  df-rnghom 16828  df-drng 16856  df-subrg 16885  df-abv 16924  df-staf 16952  df-srng 16953  df-lmod 16972  df-lmhm 17125  df-lvec 17206  df-sra 17275  df-rgmod 17276  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-cnfld 17841  df-phl 18077  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-xms 19917  df-ms 19918  df-nm 20197  df-ngp 20198  df-tng 20199  df-nrg 20200  df-nlm 20201  df-clm 20657  df-cph 20709  df-tch 20710

This theorem is referenced by:  rrxcph  20918