Theorem tchcph 22211

Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a quadratically closed subfield of CC into a complex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tchval.n	|- G = (toCHil ` W )
tchcph.v	|- V = ( Base ` W )
tchcph.f	|- F = (Scalar ` W )
tchcph.1	|- ( ph -> W e. PreHil )
tchcph.2	|- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
tchcph.h	|- ., = ( .i ` W )
tchcph.3	|- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. K )
tchcph.4	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )

Assertion

Ref	Expression
tchcph	|- ( ph -> G e. CPreHil )

Distinct variable groups:   x, .,   x, F   x, G   x, V   ph, x   x, W

Allowed substitution hint:   K( x)

Proof of Theorem tchcph

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tchcph.1	. . . 4 |- ( ph -> W e. PreHil )
2		tchval.n	. . . . 5 |- G = (toCHil ` W )
3	2	tchphl 22201	. . . 4 |- ( W e. PreHil <-> G e. PreHil )
4	1, 3	sylib 200	. . 3 |- ( ph -> G e. PreHil )
5		tchcph.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
6		tchcph.h	. . . . . . 7 |- ., = ( .i ` W )
7	2, 5, 6	tchval 22192	. . . . . 6 |- G = ( W toNrmGrp ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) )
8		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
9		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
10		phllmod 19197	. . . . . . . 8 |- ( W e. PreHil -> W e. LMod )
11	1, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
12		lmodgrp 18098	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. Grp )
14		tchcph.f	. . . . . . . . 9 |- F = (Scalar ` W )
15		tchcph.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
16	2, 5, 14, 1, 15, 6	tchcphlem3 22207	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( x ., x ) e. RR )
17		tchcph.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
18	16, 17	resqrtcld 13479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( sqr ` ( x ., x ) ) e. RR )
19		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) = ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) )
20	18, 19	fmptd 6046	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) : V --> RR )
21		oveq12 6299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = y /\ x = y ) -> ( x ., x ) = ( y ., y ) )
22	21	anidms 651	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x ., x ) = ( y ., y ) )
23	22	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
24		fvex 5875	. . . . . . . . . 10 |- ( sqr ` ( x ., x ) ) e. _V
25	23, 19, 24	fvmpt3i 5953	. . . . . . . . 9 |- ( y e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
26	25	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
27	26	eqeq1d 2453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
28		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
29		phllvec 19196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. PreHil -> W e. LVec )
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> W e. LVec )
31	14	lvecdrng 18328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. LVec -> F e. DivRing )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. DivRing )
33	28, 15, 32	cphsubrglem 22155	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) /\ ( Base ` F ) = ( K i^i CC ) /\ ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) )
34	33	simp2d 1021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( K i^i CC ) )
35		inss2 3653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K i^i CC ) C_ CC
36	34, 35	syl6eqss 3482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` F ) C_ CC )
37	36	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( Base ` F ) C_ CC )
38	14, 6, 5, 28	ipcl 19200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
39	38	3anidm23 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
40	1, 39	sylan 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
41	37, 40	sseldd 3433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. CC )
42	41	sqrtcld 13499	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( sqr ` ( y ., y ) ) e. CC )
43		sqeq0 12339	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( y ., y ) ) e. CC -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
45	41	sqsqrtd 13501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = ( y ., y ) )
46	2, 5, 14, 1, 15	tchclm 22206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. CMod )
47	14	clm0 22103	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. CMod -> 0 = ( 0g ` F ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 = ( 0g ` F ) )
49	48	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> 0 = ( 0g ` F ) )
50	45, 49	eqeq12d 2466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( y ., y ) = ( 0g ` F ) ) )
51	44, 50	bitr3d 259	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 <-> ( y ., y ) = ( 0g ` F ) ) )
52		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
53	14, 6, 5, 52, 9	ipeq0 19205	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V ) -> ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) <-> y = ( 0g ` W ) ) )
54	1, 53	sylan 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) <-> y = ( 0g ` W ) ) )
55	27, 51, 54	3bitrd 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = 0 <-> y = ( 0g ` W ) ) )
56	1	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> W e. PreHil )
57	33	simp1d 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
58	57	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
59		3anass 989	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
60		tchcph.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. K )
61		simpr2 1015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> x e. RR )
62	61	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> x e. CC )
63	62	sqrtcld 13499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
64	60, 63	jca 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) )
65	64	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) ) )
66	34	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. ( K i^i CC ) ) )
67		recn 9629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> x e. CC )
68		elin 3617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( K i^i CC ) <-> ( x e. K /\ x e. CC ) )
69	68	rbaib 917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( x e. ( K i^i CC ) <-> x e. K ) )
70	67, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> ( x e. ( K i^i CC ) <-> x e. K ) )
71	66, 70	sylan9bb 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) )
72	71	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) )
73	72	ex 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) ) )
74	73	pm5.32rd 646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) <-> ( x e. K /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) ) )
75		3anass 989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) <-> ( x e. K /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
76	74, 75	syl6bbr 267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) <-> ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
77	34	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) <-> ( sqr ` x ) e. ( K i^i CC ) ) )
78		elin 3617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sqr ` x ) e. ( K i^i CC ) <-> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) )
79	77, 78	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) <-> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) ) )
80	65, 76, 79	3imtr4d 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
81	59, 80	syl5bi 221	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
82	81	imp 431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
83	82	adantlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
84	17	adantlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
85		simprl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> y e. V )
86		simprr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
87	2, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86	tchcphlem1 22209	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) <_ ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
88	5, 8	grpsubcl 16734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Grp /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
89	88	3expb 1209	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Grp /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
90	13, 89	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
91		oveq12 6299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( y ( -g ` W ) z ) /\ x = ( y ( -g ` W ) z ) ) -> ( x ., x ) = ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) )
92	91	anidms 651	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y ( -g ` W ) z ) -> ( x ., x ) = ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) )
93	92	fveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y ( -g ` W ) z ) -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
94	93, 19, 24	fvmpt3i 5953	. . . . . . . 8 |- ( ( y ( -g ` W ) z ) e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
95	90, 94	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
96		oveq12 6299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = z /\ x = z ) -> ( x ., x ) = ( z ., z ) )
97	96	anidms 651	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x ., x ) = ( z ., z ) )
98	97	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
99	98, 19, 24	fvmpt3i 5953	. . . . . . . . 9 |- ( z e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
100	25, 99	oveqan12d 6309	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. V /\ z e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) = ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
101	100	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) = ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
102	87, 95, 101	3brtr4d 4433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) <_ ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) )
103	7, 5, 8, 9, 13, 20, 55, 102	tngngpd 21661	. . . . 5 |- ( ph -> G e. NrmGrp )
104		phllmod 19197	. . . . . 6 |- ( G e. PreHil -> G e. LMod )
105	4, 104	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> G e. LMod )
106		cnnrg 21801	. . . . . . 7 |- ℂfld e. NrmRing
107	33	simp3d 1022	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) )
108		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) )
109	108	subrgnrg 21676	. . . . . . 7 |- ( (ℂfld e. NrmRing /\ ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) e. NrmRing )
110	106, 107, 109	sylancr 669	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) e. NrmRing )
111	57, 110	eqeltrd 2529	. . . . 5 |- ( ph -> F e. NrmRing )
112	103, 105, 111	3jca 1188	. . . 4 |- ( ph -> ( G e. NrmGrp /\ G e. LMod /\ F e. NrmRing ) )
113	1	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> W e. PreHil )
114	57	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
115	82	adantlr 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
116	17	adantlr 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
117		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
118		simprl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> y e. ( Base ` F ) )
119		simprr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> z e. V )
120	2, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119	tchcphlem2 22210	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
121	13	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> W e. Grp )
122	5, 14, 117, 28	lmodvscl 18108	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
123	122	3expb 1209	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
124	11, 123	sylan 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
125		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( norm ` G ) = ( norm ` G )
126	2, 125, 5, 6	tchnmval 22203	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Grp /\ ( y ( .s ` W ) z ) e. V ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) )
127	121, 124, 126	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) )
128	114	fveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( norm ` F ) = ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) )
129	128	fveq1d 5867	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` F ) ` y ) = ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) )
130		subrgsubg 18014	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
131	107, 130	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
132	131	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
133		cnfldnm 21799	. . . . . . . . . 10 |- abs = ( norm ` ℂfld )
134		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) = ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
135	108, 133, 134	subgnm2 21642	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ y e. ( Base ` F ) ) -> ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) = ( abs ` y ) )
136	132, 118, 135	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) = ( abs ` y ) )
137	129, 136	eqtrd 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` F ) ` y ) = ( abs ` y ) )
138	2, 125, 5, 6	tchnmval 22203	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Grp /\ z e. V ) -> ( ( norm ` G ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
139	121, 119, 138	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
140	137, 139	oveq12d 6308	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
141	120, 127, 140	3eqtr4d 2495	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) )
142	141	ralrimivva 2809	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. ( Base ` F ) A. z e. V ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) )
143	2, 5	tchbas 22193	. . . . 5 |- V = ( Base ` G )
144	2, 117	tchvsca 22198	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` G )
145	2, 14	tchsca 22197	. . . . 5 |- F = (Scalar ` G )
146		eqid 2451	. . . . 5 |- ( norm ` F ) = ( norm ` F )
147	143, 125, 144, 145, 28, 146	isnlm 21678	. . . 4 |- ( G e. NrmMod <-> ( ( G e. NrmGrp /\ G e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ A. y e. ( Base ` F ) A. z e. V ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) ) )
148	112, 142, 147	sylanbrc 670	. . 3 |- ( ph -> G e. NrmMod )
149	4, 148, 57	3jca 1188	. 2 |- ( ph -> ( G e. PreHil /\ G e. NrmMod /\ F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) )
150		elin 3617	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. ( 0 [,) +oo ) ) )
151		elrege0 11738	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
152	151	anbi2i 700	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
153	150, 152	bitri 253	. . . . 5 |- ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
154	153, 80	syl5bi 221	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
155	154	ralrimiv 2800	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
156		sqrtf 13426	. . . . 5 |- sqr : CC --> CC
157		ffun 5731	. . . . 5 |- ( sqr : CC --> CC -> Fun sqr )
158	156, 157	ax-mp 5	. . . 4 |- Fun sqr
159		inss1 3652	. . . . . 6 |- ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ ( Base ` F )
160	159, 36	syl5ss 3443	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ CC )
161	156	fdmi 5734	. . . . 5 |- dom sqr = CC
162	160, 161	syl6sseqr 3479	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ dom sqr )
163		funimass4 5916	. . . 4 |- ( ( Fun sqr /\ ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ dom sqr ) -> ( ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) <-> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
164	158, 162, 163	sylancr 669	. . 3 |- ( ph -> ( ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) <-> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
165	155, 164	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) )
166		eqid 2451	. . . . 5 |- ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) )
167	42, 166	fmptd 6046	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) : V --> CC )
168	2, 5, 6	tchval 22192	. . . . 5 |- G = ( W toNrmGrp ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) )
169		cnex 9620	. . . . 5 |- CC e. _V
170	168, 5, 169	tngnm 21659	. . . 4 |- ( ( W e. Grp /\ ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) : V --> CC ) -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( norm ` G ) )
171	13, 167, 170	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( norm ` G ) )
172	171	eqcomd 2457	. 2 |- ( ph -> ( norm ` G ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) )
173	2, 6	tchip 22199	. . 3 |- ., = ( .i ` G )
174	143, 173, 125, 145, 28	iscph 22148	. 2 |- ( G e. CPreHil <-> ( ( G e. PreHil /\ G e. NrmMod /\ F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) /\ ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) /\ ( norm ` G ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) ) )
175	149, 165, 172, 174	syl3anbrc 1192	1 |- ( ph -> G e. CPreHil )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   i^i cin 3403   C_ wss 3404   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   x. cmul 9544   +oocpnf 9672   <_ cle 9676   2c2 10659   [,)cico 11637   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13296   abscabs 13297   Basecbs 15121   ↾_s cress 15122  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   .icip 15195   0gc0g 15338   Grpcgrp 16669   -gcsg 16671  SubGrpcsubg 16811   DivRingcdr 17975  SubRingcsubrg 18004   LModclmod 18091   LVecclvec 18325  ℂ_fldccnfld 18970   PreHilcphl 19191   normcnm 21591  NrmGrpcngp 21592  NrmRingcnrg 21594  NrmModcnlm 21595  CModcclm 22093   CPreHilccph 22144  toCHilctch 22145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-rnghom 17943  df-drng 17977  df-subrg 18006  df-abv 18045  df-staf 18073  df-srng 18074  df-lmod 18093  df-lmhm 18245  df-lvec 18326  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-phl 19193  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-xms 21335  df-ms 21336  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-tng 21599  df-nrg 21600  df-nlm 21601  df-clm 22094  df-cph 22146  df-tch 22147

This theorem is referenced by:  rrxcph  22351