MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcph Structured version   Unicode version

Theorem tchcph 21846
Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a quadratically closed subfield of  CC into a complex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
Assertion
Ref Expression
tchcph  |-  ( ph  ->  G  e.  CPreHil )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, F   
x, G    x, V    ph, x    x, W
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem tchcph
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tchcph.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
2 tchval.n . . . . 5  |-  G  =  (toCHil `  W )
32tchphl 21836 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil 
<->  G  e.  PreHil )
41, 3sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  PreHil )
5 tchcph.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 tchcph.h . . . . . . 7  |-  .,  =  ( .i `  W )
72, 5, 6tchval 21827 . . . . . 6  |-  G  =  ( W toNrmGrp  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) )
8 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
9 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
10 phllmod 18838 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
111, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
12 lmodgrp 17714 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
14 tchcph.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (Scalar `  W )
15 tchcph.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
162, 5, 14, 1, 15, 6tchcphlem3 21842 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
x  .,  x )  e.  RR )
17 tchcph.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
1816, 17resqrtcld 13331 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  e.  RR )
19 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) )
2018, 19fmptd 6031 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) : V --> RR )
21 oveq12 6279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( y 
.,  y ) )
2221anidms 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .,  x )  =  ( y  .,  y ) )
2322fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  =  ( sqr `  (
y  .,  y )
) )
24 fvex 5858 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( x  .,  x
) )  e.  _V
2523, 19, 24fvmpt3i 5935 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  y
)  =  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) )
2625adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  y
)  =  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) )
2726eqeq1d 2456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  y
)  =  0  <->  ( sqr `  ( y  .,  y ) )  =  0 ) )
28 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
29 phllvec 18837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
301, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3114lvecdrng 17946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  DivRing )
3328, 15, 32cphsubrglem 21790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  =  (flds  ( Base `  F ) )  /\  ( Base `  F )  =  ( K  i^i  CC )  /\  ( Base `  F )  e.  (SubRing ` fld ) ) )
3433simp2d 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  =  ( K  i^i  CC ) )
35 inss2 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  i^i  CC )  C_  CC
3634, 35syl6eqss 3539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  C_  CC )
3736adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  ( Base `  F )  C_  CC )
3814, 6, 5, 28ipcl 18841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  y  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
y  .,  y )  e.  ( Base `  F
) )
39383anidm23 1285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  y  e.  V )  ->  (
y  .,  y )  e.  ( Base `  F
) )
401, 39sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
y  .,  y )  e.  ( Base `  F
) )
4137, 40sseldd 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
y  .,  y )  e.  CC )
4241sqrtcld 13350 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  ( sqr `  ( y  .,  y ) )  e.  CC )
43 sqeq0 12214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( y 
.,  y ) )  e.  CC  ->  (
( ( sqr `  (
y  .,  y )
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sqr `  ( y  .,  y
) )  =  0 ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( ( sqr `  (
y  .,  y )
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sqr `  ( y  .,  y
) )  =  0 ) )
4541sqsqrtd 13352 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( sqr `  (
y  .,  y )
) ^ 2 )  =  ( y  .,  y ) )
462, 5, 14, 1, 15tchclm 21841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
4714clm0 21738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  F ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  =  ( 0g
`  F ) )
4948adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  0  =  ( 0g `  F ) )
5045, 49eqeq12d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( ( sqr `  (
y  .,  y )
) ^ 2 )  =  0  <->  ( y  .,  y )  =  ( 0g `  F ) ) )
5144, 50bitr3d 255 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( sqr `  (
y  .,  y )
)  =  0  <->  (
y  .,  y )  =  ( 0g `  F ) ) )
52 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
5314, 6, 5, 52, 9ipeq0 18846 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  y  e.  V )  ->  (
( y  .,  y
)  =  ( 0g
`  F )  <->  y  =  ( 0g `  W ) ) )
541, 53sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( y  .,  y
)  =  ( 0g
`  F )  <->  y  =  ( 0g `  W ) ) )
5527, 51, 543bitrd 279 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  y
)  =  0  <->  y  =  ( 0g `  W ) ) )
561adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  W  e.  PreHil )
5733simp1d 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  ( Base `  F
) ) )
5857adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  F  =  (flds  ( Base `  F
) ) )
59 3anass 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( Base `  F )  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x )  <->  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
60 tchcph.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
61 simpr2 1001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
6261recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  ->  x  e.  CC )
6362sqrtcld 13350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  CC )
6460, 63jca 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( ( sqr `  x
)  e.  K  /\  ( sqr `  x )  e.  CC ) )
6564ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x )  ->  (
( sqr `  x
)  e.  K  /\  ( sqr `  x )  e.  CC ) ) )
6634eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  F )  <->  x  e.  ( K  i^i  CC ) ) )
67 recn 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
68 elin 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( K  i^i  CC )  <->  ( x  e.  K  /\  x  e.  CC ) )
6968rbaib 904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  ( K  i^i  CC )  <->  x  e.  K ) )
7067, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( K  i^i  CC )  <->  x  e.  K ) )
7166, 70sylan9bb 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( Base `  F
)  <->  x  e.  K
) )
7271adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( x  e.  (
Base `  F )  <->  x  e.  K ) )
7372ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  ->  (
x  e.  ( Base `  F )  <->  x  e.  K ) ) )
7473pm5.32rd 638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  <->  ( x  e.  K  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) ) )
75 3anass 975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x )  <->  ( x  e.  K  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
7674, 75syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  <->  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
7734eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F )  <->  ( sqr `  x )  e.  ( K  i^i  CC ) ) )
78 elin 3673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sqr `  x )  e.  ( K  i^i  CC )  <->  ( ( sqr `  x )  e.  K  /\  ( sqr `  x
)  e.  CC ) )
7977, 78syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F )  <->  ( ( sqr `  x )  e.  K  /\  ( sqr `  x )  e.  CC ) ) )
8065, 76, 793imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) ) )
8159, 80syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
)  ->  ( sqr `  x )  e.  (
Base `  F )
) )
8281imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
) )  ->  ( sqr `  x )  e.  ( Base `  F
) )
8382adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
) )  ->  ( sqr `  x )  e.  ( Base `  F
) )
8417adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
85 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
y  e.  V )
86 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
872, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86tchcphlem1 21844 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( sqr `  (
( y ( -g `  W ) z ) 
.,  ( y (
-g `  W )
z ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( y  .,  y
) )  +  ( sqr `  ( z 
.,  z ) ) ) )
885, 8grpsubcl 16317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  ( y ( -g `  W ) z )  e.  V )
89883expb 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
y ( -g `  W
) z )  e.  V )
9013, 89sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y ( -g `  W ) z )  e.  V )
91 oveq12 6279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( y ( -g `  W
) z )  /\  x  =  ( y
( -g `  W ) z ) )  -> 
( x  .,  x
)  =  ( ( y ( -g `  W
) z )  .,  ( y ( -g `  W ) z ) ) )
9291anidms 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y (
-g `  W )
z )  ->  (
x  .,  x )  =  ( ( y ( -g `  W
) z )  .,  ( y ( -g `  W ) z ) ) )
9392fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (
-g `  W )
z )  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  =  ( sqr `  (
( y ( -g `  W ) z ) 
.,  ( y (
-g `  W )
z ) ) ) )
9493, 19, 24fvmpt3i 5935 . . . . . . . 8  |-  ( ( y ( -g `  W
) z )  e.  V  ->  ( (
x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) ) `  ( y ( -g `  W
) z ) )  =  ( sqr `  (
( y ( -g `  W ) z ) 
.,  ( y (
-g `  W )
z ) ) ) )
9590, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  (
y ( -g `  W
) z ) )  =  ( sqr `  (
( y ( -g `  W ) z ) 
.,  ( y (
-g `  W )
z ) ) ) )
96 oveq12 6279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  z  /\  x  =  z )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( z 
.,  z ) )
9796anidms 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
x  .,  x )  =  ( z  .,  z ) )
9897fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  =  ( sqr `  (
z  .,  z )
) )
9998, 19, 24fvmpt3i 5935 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  z
)  =  ( sqr `  ( z  .,  z
) ) )
10025, 99oveqan12d 6289 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  ( ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) `  y )  +  ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  z
) )  =  ( ( sqr `  (
y  .,  y )
)  +  ( sqr `  ( z  .,  z
) ) ) )
101100adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) `  y )  +  ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  z
) )  =  ( ( sqr `  (
y  .,  y )
)  +  ( sqr `  ( z  .,  z
) ) ) )
10287, 95, 1013brtr4d 4469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  (
y ( -g `  W
) z ) )  <_  ( ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) ) `  y )  +  ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) `  z ) ) )
1037, 5, 8, 9, 13, 20, 55, 102tngngpd 21333 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. NrmGrp )
104 phllmod 18838 . . . . . 6  |-  ( G  e.  PreHil  ->  G  e.  LMod )
1054, 104syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  LMod )
106 cnnrg 21454 . . . . . . 7  |-fld  e. NrmRing
10733simp3d 1008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  e.  (SubRing ` fld ) )
108 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  (flds  ( Base `  F
) )  =  (flds  ( Base `  F ) )
109108subrgnrg 21348 . . . . . . 7  |-  ( (fld  e. NrmRing  /\  ( Base `  F
)  e.  (SubRing ` fld ) )  ->  (flds  ( Base `  F ) )  e. NrmRing )
110106, 107, 109sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (flds  (
Base `  F )
)  e. NrmRing )
11157, 110eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. NrmRing )
112103, 105, 1113jca 1174 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  LMod  /\  F  e. NrmRing ) )
1131adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  ->  W  e.  PreHil )
11457adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  ->  F  =  (flds  ( Base `  F
) ) )
11582adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  F )  /\  z  e.  V ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  F )  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) )
11617adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  F )  /\  z  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x ) )
117 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
118 simprl 754 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
y  e.  ( Base `  F ) )
119 simprr 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
1202, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119tchcphlem2 21845 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( sqr `  (
( y ( .s
`  W ) z )  .,  ( y ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( sqr `  (
z  .,  z )
) ) )
12113adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  ->  W  e.  Grp )
1225, 14, 117, 28lmodvscl 17724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V )  ->  (
y ( .s `  W ) z )  e.  V )
1231223expb 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
y  e.  ( Base `  F )  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y ( .s
`  W ) z )  e.  V )
12411, 123sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y ( .s
`  W ) z )  e.  V )
125 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
1262, 125, 5, 6tchnmval 21838 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( y ( .s
`  W ) z )  e.  V )  ->  ( ( norm `  G ) `  (
y ( .s `  W ) z ) )  =  ( sqr `  ( ( y ( .s `  W ) z )  .,  (
y ( .s `  W ) z ) ) ) )
127121, 124, 126syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  ( y
( .s `  W
) z ) )  =  ( sqr `  (
( y ( .s
`  W ) z )  .,  ( y ( .s `  W
) z ) ) ) )
128114fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( norm `  F )  =  ( norm `  (flds  ( Base `  F ) ) ) )
129128fveq1d 5850 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  F
) `  y )  =  ( ( norm `  (flds  (
Base `  F )
) ) `  y
) )
130 subrgsubg 17630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Base `  F )  e.  (SubRing ` fld )  ->  ( Base `  F )  e.  (SubGrp ` fld ) )
131107, 130syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  e.  (SubGrp ` fld )
)
132131adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( Base `  F )  e.  (SubGrp ` fld ) )
133 cnfldnm 21452 . . . . . . . . . 10  |-  abs  =  ( norm ` fld )
134 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( norm `  (flds  (
Base `  F )
) )  =  (
norm `  (flds  ( Base `  F
) ) )
135108, 133, 134subgnm2 21314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Base `  F
)  e.  (SubGrp ` fld )  /\  y  e.  ( Base `  F ) )  ->  ( ( norm `  (flds  (
Base `  F )
) ) `  y
)  =  ( abs `  y ) )
136132, 118, 135syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  (flds  ( Base `  F ) ) ) `
 y )  =  ( abs `  y
) )
137129, 136eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  F
) `  y )  =  ( abs `  y
) )
1382, 125, 5, 6tchnmval 21838 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  z  e.  V )  ->  ( ( norm `  G
) `  z )  =  ( sqr `  (
z  .,  z )
) )
139121, 119, 138syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  z )  =  ( sqr `  (
z  .,  z )
) )
140137, 139oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( norm `  F ) `  y
)  x.  ( (
norm `  G ) `  z ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( sqr `  ( z  .,  z
) ) ) )
141120, 127, 1403eqtr4d 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  ( y
( .s `  W
) z ) )  =  ( ( (
norm `  F ) `  y )  x.  (
( norm `  G ) `  z ) ) )
142141ralrimivva 2875 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  (
Base `  F ) A. z  e.  V  ( ( norm `  G
) `  ( y
( .s `  W
) z ) )  =  ( ( (
norm `  F ) `  y )  x.  (
( norm `  G ) `  z ) ) )
1432, 5tchbas 21828 . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  G
)
1442, 117tchvsca 21833 . . . . 5  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  G
)
1452, 14tchsca 21832 . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  G )
146 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( norm `  F )  =  (
norm `  F )
147143, 125, 144, 145, 28, 146isnlm 21350 . . . 4  |-  ( G  e. NrmMod 
<->  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  LMod  /\  F  e. NrmRing )  /\  A. y  e.  ( Base `  F ) A. z  e.  V  ( ( norm `  G ) `  ( y ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( ( norm `  F
) `  y )  x.  ( ( norm `  G
) `  z )
) ) )
148112, 142, 147sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. NrmMod )
1494, 148, 573jca 1174 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  PreHil  /\  G  e. NrmMod  /\  F  =  (flds  (
Base `  F )
) ) )
150 elin 3673 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( Base `  F )  i^i  (
0 [,) +oo )
)  <->  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  x  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
151 elrege0 11630 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
152151anbi2i 692 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  F )  /\  x  e.  ( 0 [,) +oo ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
153150, 152bitri 249 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( Base `  F )  i^i  (
0 [,) +oo )
)  <->  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
154153, 80syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) ) )
155154ralrimiv 2866 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) )
156 sqrtf 13278 . . . . 5  |-  sqr : CC
--> CC
157 ffun 5715 . . . . 5  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  Fun 
sqr )
158156, 157ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  sqr
159 inss1 3704 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  C_  ( Base `  F )
160159, 36syl5ss 3500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) 
C_  CC )
161156fdmi 5718 . . . . 5  |-  dom  sqr  =  CC
162160, 161syl6sseqr 3536 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) 
C_  dom  sqr )
163 funimass4 5899 . . . 4  |-  ( ( Fun  sqr  /\  (
( Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  C_  dom  sqr )  ->  ( ( sqr " ( ( Base `  F )  i^i  (
0 [,) +oo )
) )  C_  ( Base `  F )  <->  A. x  e.  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) ) )
164158, 162, 163sylancr 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr " (
( Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) )  C_  ( Base `  F )  <->  A. x  e.  ( (
Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr `  x )  e.  (
Base `  F )
) )
165155, 164mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr " (
( Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) )  C_  ( Base `  F )
)
166 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) )
16742, 166fmptd 6031 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) ) : V --> CC )
1682, 5, 6tchval 21827 . . . . 5  |-  G  =  ( W toNrmGrp  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) ) )
169 cnex 9562 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
170168, 5, 169tngnm 21331 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) ) : V --> CC )  ->  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) )  =  ( norm `  G
) )
17113, 167, 170syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) )  =  (
norm `  G )
)
172171eqcomd 2462 . 2  |-  ( ph  ->  ( norm `  G
)  =  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) ) )
1732, 6tchip 21834 . . 3  |-  .,  =  ( .i `  G )
174143, 173, 125, 145, 28iscph 21783 . 2  |-  ( G  e.  CPreHil 
<->  ( ( G  e. 
PreHil  /\  G  e. NrmMod  /\  F  =  (flds  (
Base `  F )
) )  /\  ( sqr " ( ( Base `  F )  i^i  (
0 [,) +oo )
) )  C_  ( Base `  F )  /\  ( norm `  G )  =  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) ) ) )
175149, 165, 172, 174syl3anbrc 1178 1  |-  ( ph  ->  G  e.  CPreHil )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    i^i cin 3460    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   "cima 4991   Fun wfun 5564   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    x. cmul 9486   +oocpnf 9614    <_ cle 9618   2c2 10581   [,)cico 11534   ^cexp 12148   sqrcsqrt 13148   abscabs 13149   Basecbs 14716   ↾s cress 14717  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   .icip 14789   0gc0g 14929   Grpcgrp 16252   -gcsg 16254  SubGrpcsubg 16394   DivRingcdr 17591  SubRingcsubrg 17620   LModclmod 17707   LVecclvec 17943  ℂfldccnfld 18615   PreHilcphl 18832   normcnm 21263  NrmGrpcngp 21264  NrmRingcnrg 21266  NrmModcnlm 21267  CModcclm 21728   CPreHilccph 21779  toCHilctch 21780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ico 11538  df-fz 11676  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-topgen 14933  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-rnghom 17559  df-drng 17593  df-subrg 17622  df-abv 17661  df-staf 17689  df-srng 17690  df-lmod 17709  df-lmhm 17863  df-lvec 17944  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-phl 18834  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-xms 20989  df-ms 20990  df-nm 21269  df-ngp 21270  df-tng 21271  df-nrg 21272  df-nlm 21273  df-clm 21729  df-cph 21781  df-tch 21782
This theorem is referenced by:  rrxcph  21990
  Copyright terms: Public domain W3C validator