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Theorem tchcph 20594
Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a quadratically closed subfield of  CC into a complex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
Assertion
Ref Expression
tchcph  |-  ( ph  ->  G  e.  CPreHil )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, F   
x, G    x, V    ph, x    x, W
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem tchcph
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tchcph.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
2 tchval.n . . . . 5  |-  G  =  (toCHil `  W )
32tchphl 20584 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil 
<->  G  e.  PreHil )
41, 3sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  PreHil )
5 tchcph.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 tchcph.h . . . . . . 7  |-  .,  =  ( .i `  W )
72, 5, 6tchval 20575 . . . . . 6  |-  G  =  ( W toNrmGrp  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) )
8 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
9 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
10 phllmod 17901 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
111, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
12 lmodgrp 16879 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
14 tchcph.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (Scalar `  W )
15 tchcph.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
162, 5, 14, 1, 15, 6tchcphlem3 20590 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
x  .,  x )  e.  RR )
17 tchcph.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
1816, 17resqrcld 12888 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  e.  RR )
19 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) )
2018, 19fmptd 5855 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) : V --> RR )
21 oveq12 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( y 
.,  y ) )
2221anidms 638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .,  x )  =  ( y  .,  y ) )
2322fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  =  ( sqr `  (
y  .,  y )
) )
24 fvex 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( x  .,  x
) )  e.  _V
2523, 19, 24fvmpt3i 5766 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  y
)  =  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) )
2625adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  y
)  =  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) )
2726eqeq1d 2441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  y
)  =  0  <->  ( sqr `  ( y  .,  y ) )  =  0 ) )
28 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
29 phllvec 17900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
301, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3114lvecdrng 17108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  DivRing )
3328, 15, 32cphsubrglem 20538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  =  (flds  ( Base `  F ) )  /\  ( Base `  F )  =  ( K  i^i  CC )  /\  ( Base `  F )  e.  (SubRing ` fld ) ) )
3433simp2d 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  =  ( K  i^i  CC ) )
35 inss2 3559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  i^i  CC )  C_  CC
3634, 35syl6eqss 3394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  C_  CC )
3736adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  ( Base `  F )  C_  CC )
3814, 6, 5, 28ipcl 17904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  y  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
y  .,  y )  e.  ( Base `  F
) )
39383anidm23 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  y  e.  V )  ->  (
y  .,  y )  e.  ( Base `  F
) )
401, 39sylan 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
y  .,  y )  e.  ( Base `  F
) )
4137, 40sseldd 3345 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
y  .,  y )  e.  CC )
4241sqrcld 12907 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  ( sqr `  ( y  .,  y ) )  e.  CC )
43 sqeq0 11914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( y 
.,  y ) )  e.  CC  ->  (
( ( sqr `  (
y  .,  y )
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sqr `  ( y  .,  y
) )  =  0 ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( ( sqr `  (
y  .,  y )
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sqr `  ( y  .,  y
) )  =  0 ) )
4541sqsqrd 12909 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( sqr `  (
y  .,  y )
) ^ 2 )  =  ( y  .,  y ) )
462, 5, 14, 1, 15tchclm 20589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
4714clm0 20486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  F ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  =  ( 0g
`  F ) )
4948adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  0  =  ( 0g `  F ) )
5045, 49eqeq12d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( ( sqr `  (
y  .,  y )
) ^ 2 )  =  0  <->  ( y  .,  y )  =  ( 0g `  F ) ) )
5144, 50bitr3d 255 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( sqr `  (
y  .,  y )
)  =  0  <->  (
y  .,  y )  =  ( 0g `  F ) ) )
52 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
5314, 6, 5, 52, 9ipeq0 17909 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  y  e.  V )  ->  (
( y  .,  y
)  =  ( 0g
`  F )  <->  y  =  ( 0g `  W ) ) )
541, 53sylan 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( y  .,  y
)  =  ( 0g
`  F )  <->  y  =  ( 0g `  W ) ) )
5527, 51, 543bitrd 279 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  (
( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  y
)  =  0  <->  y  =  ( 0g `  W ) ) )
561adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  W  e.  PreHil )
5733simp1d 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  ( Base `  F
) ) )
5857adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  F  =  (flds  ( Base `  F
) ) )
59 3anass 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( Base `  F )  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x )  <->  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
60 tchcph.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
61 simpr2 988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
6261recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  ->  x  e.  CC )
6362sqrcld 12907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  CC )
6460, 63jca 529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( ( sqr `  x
)  e.  K  /\  ( sqr `  x )  e.  CC ) )
6564ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x )  ->  (
( sqr `  x
)  e.  K  /\  ( sqr `  x )  e.  CC ) ) )
6634eleq2d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  F )  <->  x  e.  ( K  i^i  CC ) ) )
67 recn 9360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
68 elin 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( K  i^i  CC )  <->  ( x  e.  K  /\  x  e.  CC ) )
6968rbaib 891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  ( K  i^i  CC )  <->  x  e.  K ) )
7067, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( K  i^i  CC )  <->  x  e.  K ) )
7166, 70sylan9bb 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( Base `  F
)  <->  x  e.  K
) )
7271adantrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( x  e.  (
Base `  F )  <->  x  e.  K ) )
7372ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  ->  (
x  e.  ( Base `  F )  <->  x  e.  K ) ) )
7473pm5.32rd 633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  <->  ( x  e.  K  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) ) )
75 3anass 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x )  <->  ( x  e.  K  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
7674, 75syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  <->  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
7734eleq2d 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F )  <->  ( sqr `  x )  e.  ( K  i^i  CC ) ) )
78 elin 3527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sqr `  x )  e.  ( K  i^i  CC )  <->  ( ( sqr `  x )  e.  K  /\  ( sqr `  x
)  e.  CC ) )
7977, 78syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F )  <->  ( ( sqr `  x )  e.  K  /\  ( sqr `  x )  e.  CC ) ) )
8065, 76, 793imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) ) )
8159, 80syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
)  ->  ( sqr `  x )  e.  (
Base `  F )
) )
8281imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
) )  ->  ( sqr `  x )  e.  ( Base `  F
) )
8382adantlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
) )  ->  ( sqr `  x )  e.  ( Base `  F
) )
8417adantlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
85 simprl 748 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
y  e.  V )
86 simprr 749 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
872, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86tchcphlem1 20592 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( sqr `  (
( y ( -g `  W ) z ) 
.,  ( y (
-g `  W )
z ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( y  .,  y
) )  +  ( sqr `  ( z 
.,  z ) ) ) )
885, 8grpsubcl 15586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  ( y ( -g `  W ) z )  e.  V )
89883expb 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
y ( -g `  W
) z )  e.  V )
9013, 89sylan 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y ( -g `  W ) z )  e.  V )
91 oveq12 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( y ( -g `  W
) z )  /\  x  =  ( y
( -g `  W ) z ) )  -> 
( x  .,  x
)  =  ( ( y ( -g `  W
) z )  .,  ( y ( -g `  W ) z ) ) )
9291anidms 638 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y (
-g `  W )
z )  ->  (
x  .,  x )  =  ( ( y ( -g `  W
) z )  .,  ( y ( -g `  W ) z ) ) )
9392fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (
-g `  W )
z )  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  =  ( sqr `  (
( y ( -g `  W ) z ) 
.,  ( y (
-g `  W )
z ) ) ) )
9493, 19, 24fvmpt3i 5766 . . . . . . . 8  |-  ( ( y ( -g `  W
) z )  e.  V  ->  ( (
x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) ) `  ( y ( -g `  W
) z ) )  =  ( sqr `  (
( y ( -g `  W ) z ) 
.,  ( y (
-g `  W )
z ) ) ) )
9590, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  (
y ( -g `  W
) z ) )  =  ( sqr `  (
( y ( -g `  W ) z ) 
.,  ( y (
-g `  W )
z ) ) ) )
96 oveq12 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  z  /\  x  =  z )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( z 
.,  z ) )
9796anidms 638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
x  .,  x )  =  ( z  .,  z ) )
9897fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  =  ( sqr `  (
z  .,  z )
) )
9998, 19, 24fvmpt3i 5766 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  z
)  =  ( sqr `  ( z  .,  z
) ) )
10025, 99oveqan12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  ( ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) `  y )  +  ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  z
) )  =  ( ( sqr `  (
y  .,  y )
)  +  ( sqr `  ( z  .,  z
) ) ) )
101100adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) `  y )  +  ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  z
) )  =  ( ( sqr `  (
y  .,  y )
)  +  ( sqr `  ( z  .,  z
) ) ) )
10287, 95, 1013brtr4d 4310 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  (
y ( -g `  W
) z ) )  <_  ( ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) ) `  y )  +  ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) `  z ) ) )
1037, 5, 8, 9, 13, 20, 55, 102tngngpd 20081 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. NrmGrp )
104 phllmod 17901 . . . . . 6  |-  ( G  e.  PreHil  ->  G  e.  LMod )
1054, 104syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  LMod )
106 cnnrg 20202 . . . . . . 7  |-fld  e. NrmRing
10733simp3d 995 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  e.  (SubRing ` fld ) )
108 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  (flds  ( Base `  F
) )  =  (flds  ( Base `  F ) )
109108subrgnrg 20096 . . . . . . 7  |-  ( (fld  e. NrmRing  /\  ( Base `  F
)  e.  (SubRing ` fld ) )  ->  (flds  ( Base `  F ) )  e. NrmRing )
110106, 107, 109sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (flds  (
Base `  F )
)  e. NrmRing )
11157, 110eqeltrd 2507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. NrmRing )
112103, 105, 1113jca 1161 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  LMod  /\  F  e. NrmRing ) )
1131adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  ->  W  e.  PreHil )
11457adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  ->  F  =  (flds  ( Base `  F
) ) )
11582adantlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  F )  /\  z  e.  V ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  F )  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) )
11617adantlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  F )  /\  z  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x ) )
117 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
118 simprl 748 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
y  e.  ( Base `  F ) )
119 simprr 749 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
1202, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119tchcphlem2 20593 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( sqr `  (
( y ( .s
`  W ) z )  .,  ( y ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( sqr `  (
z  .,  z )
) ) )
12113adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  ->  W  e.  Grp )
1225, 14, 117, 28lmodvscl 16889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V )  ->  (
y ( .s `  W ) z )  e.  V )
1231223expb 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
y  e.  ( Base `  F )  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y ( .s
`  W ) z )  e.  V )
12411, 123sylan 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y ( .s
`  W ) z )  e.  V )
125 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
1262, 125, 5, 6tchnmval 20586 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( y ( .s
`  W ) z )  e.  V )  ->  ( ( norm `  G ) `  (
y ( .s `  W ) z ) )  =  ( sqr `  ( ( y ( .s `  W ) z )  .,  (
y ( .s `  W ) z ) ) ) )
127121, 124, 126syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  ( y
( .s `  W
) z ) )  =  ( sqr `  (
( y ( .s
`  W ) z )  .,  ( y ( .s `  W
) z ) ) ) )
128114fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( norm `  F )  =  ( norm `  (flds  ( Base `  F ) ) ) )
129128fveq1d 5681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  F
) `  y )  =  ( ( norm `  (flds  (
Base `  F )
) ) `  y
) )
130 subrgsubg 16795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Base `  F )  e.  (SubRing ` fld )  ->  ( Base `  F )  e.  (SubGrp ` fld ) )
131107, 130syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  e.  (SubGrp ` fld )
)
132131adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( Base `  F )  e.  (SubGrp ` fld ) )
133 cnfldnm 20200 . . . . . . . . . 10  |-  abs  =  ( norm ` fld )
134 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( norm `  (flds  (
Base `  F )
) )  =  (
norm `  (flds  ( Base `  F
) ) )
135108, 133, 134subgnm2 20062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Base `  F
)  e.  (SubGrp ` fld )  /\  y  e.  ( Base `  F ) )  ->  ( ( norm `  (flds  (
Base `  F )
) ) `  y
)  =  ( abs `  y ) )
136132, 118, 135syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  (flds  ( Base `  F ) ) ) `
 y )  =  ( abs `  y
) )
137129, 136eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  F
) `  y )  =  ( abs `  y
) )
1382, 125, 5, 6tchnmval 20586 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  z  e.  V )  ->  ( ( norm `  G
) `  z )  =  ( sqr `  (
z  .,  z )
) )
139121, 119, 138syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  z )  =  ( sqr `  (
z  .,  z )
) )
140137, 139oveq12d 6098 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( norm `  F ) `  y
)  x.  ( (
norm `  G ) `  z ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( sqr `  ( z  .,  z
) ) ) )
141120, 127, 1403eqtr4d 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  F
)  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  ( y
( .s `  W
) z ) )  =  ( ( (
norm `  F ) `  y )  x.  (
( norm `  G ) `  z ) ) )
142141ralrimivva 2798 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  (
Base `  F ) A. z  e.  V  ( ( norm `  G
) `  ( y
( .s `  W
) z ) )  =  ( ( (
norm `  F ) `  y )  x.  (
( norm `  G ) `  z ) ) )
1432, 5tchbas 20576 . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  G
)
1442, 117tchvsca 20581 . . . . 5  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  G
)
1452, 14tchsca 20580 . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  G )
146 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( norm `  F )  =  (
norm `  F )
147143, 125, 144, 145, 28, 146isnlm 20098 . . . 4  |-  ( G  e. NrmMod 
<->  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  LMod  /\  F  e. NrmRing )  /\  A. y  e.  ( Base `  F ) A. z  e.  V  ( ( norm `  G ) `  ( y ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( ( norm `  F
) `  y )  x.  ( ( norm `  G
) `  z )
) ) )
148112, 142, 147sylanbrc 657 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. NrmMod )
1494, 148, 573jca 1161 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  PreHil  /\  G  e. NrmMod  /\  F  =  (flds  (
Base `  F )
) ) )
150 elin 3527 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( Base `  F )  i^i  (
0 [,) +oo )
)  <->  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  x  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
151 elrege0 11380 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
152151anbi2i 687 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  F )  /\  x  e.  ( 0 [,) +oo ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
153150, 152bitri 249 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( Base `  F )  i^i  (
0 [,) +oo )
)  <->  ( x  e.  ( Base `  F
)  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) ) )
154153, 80syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) ) )
155154ralrimiv 2788 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) )
156 sqrf 12835 . . . . 5  |-  sqr : CC
--> CC
157 ffun 5549 . . . . 5  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  Fun 
sqr )
158156, 157ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  sqr
159 inss1 3558 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  C_  ( Base `  F )
160159, 36syl5ss 3355 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) 
C_  CC )
161156fdmi 5552 . . . . 5  |-  dom  sqr  =  CC
162160, 161syl6sseqr 3391 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) 
C_  dom  sqr )
163 funimass4 5730 . . . 4  |-  ( ( Fun  sqr  /\  (
( Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  C_  dom  sqr )  ->  ( ( sqr " ( ( Base `  F )  i^i  (
0 [,) +oo )
) )  C_  ( Base `  F )  <->  A. x  e.  ( ( Base `  F
)  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr `  x
)  e.  ( Base `  F ) ) )
164158, 162, 163sylancr 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr " (
( Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) )  C_  ( Base `  F )  <->  A. x  e.  ( (
Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr `  x )  e.  (
Base `  F )
) )
165155, 164mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr " (
( Base `  F )  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) )  C_  ( Base `  F )
)
166 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) )
16742, 166fmptd 5855 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) ) : V --> CC )
1682, 5, 6tchval 20575 . . . . 5  |-  G  =  ( W toNrmGrp  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) ) )
169 cnex 9351 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
170168, 5, 169tngnm 20079 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) ) : V --> CC )  ->  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) )  =  ( norm `  G
) )
17113, 167, 170syl2anc 654 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) )  =  (
norm `  G )
)
172171eqcomd 2438 . 2  |-  ( ph  ->  ( norm `  G
)  =  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  ( y  .,  y
) ) ) )
1732, 6tchip 20582 . . 3  |-  .,  =  ( .i `  G )
174143, 173, 125, 145, 28iscph 20531 . 2  |-  ( G  e.  CPreHil 
<->  ( ( G  e. 
PreHil  /\  G  e. NrmMod  /\  F  =  (flds  (
Base `  F )
) )  /\  ( sqr " ( ( Base `  F )  i^i  (
0 [,) +oo )
) )  C_  ( Base `  F )  /\  ( norm `  G )  =  ( y  e.  V  |->  ( sqr `  (
y  .,  y )
) ) ) )
175149, 165, 172, 174syl3anbrc 1165 1  |-  ( ph  ->  G  e.  CPreHil )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705    i^i cin 3315    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   dom cdm 4827   "cima 4830   Fun wfun 5400   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270    + caddc 9273    x. cmul 9275   +oocpnf 9403    <_ cle 9407   2c2 10359   [,)cico 11290   ^cexp 11849   sqrcsqr 12706   abscabs 12707   Basecbs 14157   ↾s cress 14158  Scalarcsca 14224   .scvsca 14225   .icip 14226   0gc0g 14361   Grpcgrp 15393   -gcsg 15396  SubGrpcsubg 15655   DivRingcdr 16756  SubRingcsubrg 16785   LModclmod 16872   LVecclvec 17105  ℂfldccnfld 17662   PreHilcphl 17895   normcnm 20011  NrmGrpcngp 20012  NrmRingcnrg 20014  NrmModcnlm 20015  CModcclm 20476   CPreHilccph 20527  toCHilctch 20528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ico 11294  df-fz 11425  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-topgen 14365  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-subg 15658  df-ghm 15725  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-cring 16581  df-ur 16582  df-oppr 16649  df-dvdsr 16667  df-unit 16668  df-invr 16698  df-dvr 16709  df-rnghom 16740  df-drng 16758  df-subrg 16787  df-abv 16826  df-staf 16854  df-srng 16855  df-lmod 16874  df-lmhm 17025  df-lvec 17106  df-sra 17175  df-rgmod 17176  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-cnfld 17663  df-phl 17897  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-xms 19737  df-ms 19738  df-nm 20017  df-ngp 20018  df-tng 20019  df-nrg 20020  df-nlm 20021  df-clm 20477  df-cph 20529  df-tch 20530
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