Theorem tchcph 19147

Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a quadratically closed subfield of CC into a complex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tchval.n	|- G = (toCHil ` W )
tchcph.v	|- V = ( Base ` W )
tchcph.f	|- F = (Scalar ` W )
tchcph.1	|- ( ph -> W e. PreHil )
tchcph.2	|- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
tchcph.h	|- ., = ( .i ` W )
tchcph.3	|- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. K )
tchcph.4	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )

Assertion

Ref	Expression
tchcph	|- ( ph -> G e. CPreHil )

Distinct variable groups:   x, .,   x, F   x, G   x, V   ph, x   x, W

Allowed substitution hint:   K( x)

Proof of Theorem tchcph

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tchcph.1	. . . 4 |- ( ph -> W e. PreHil )
2		tchval.n	. . . . 5 |- G = (toCHil ` W )
3	2	tchphl 19138	. . . 4 |- ( W e. PreHil <-> G e. PreHil )
4	1, 3	sylib 189	. . 3 |- ( ph -> G e. PreHil )
5		tchcph.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
6		tchcph.h	. . . . . . 7 |- ., = ( .i ` W )
7	2, 5, 6	tchval 19130	. . . . . 6 |- G = ( W toNrmGrp ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) )
8		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
9		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
10		phllmod 16816	. . . . . . . 8 |- ( W e. PreHil -> W e. LMod )
11	1, 10	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
12		lmodgrp 15912	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
13	11, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. Grp )
14		tchcph.f	. . . . . . . . 9 |- F = (Scalar ` W )
15		tchcph.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
16	2, 5, 14, 1, 15, 6	tchcphlem3 19143	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( x ., x ) e. RR )
17		tchcph.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
18	16, 17	resqrcld 12175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( sqr ` ( x ., x ) ) e. RR )
19		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) = ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) )
20	18, 19	fmptd 5852	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) : V --> RR )
21		oveq12 6049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = y /\ x = y ) -> ( x ., x ) = ( y ., y ) )
22	21	anidms 627	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x ., x ) = ( y ., y ) )
23	22	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
24		fvex 5701	. . . . . . . . . 10 |- ( sqr ` ( x ., x ) ) e. _V
25	23, 19, 24	fvmpt3i 5768	. . . . . . . . 9 |- ( y e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
26	25	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
27	26	eqeq1d 2412	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
28		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
29		phllvec 16815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. PreHil -> W e. LVec )
30	1, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> W e. LVec )
31	14	lvecdrng 16132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. LVec -> F e. DivRing )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. DivRing )
33	28, 15, 32	cphsubrglem 19093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) /\ ( Base ` F ) = ( K i^i CC ) /\ ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) )
34	33	simp2d 970	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( K i^i CC ) )
35		inss2 3522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K i^i CC ) C_ CC
36	34, 35	syl6eqss 3358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` F ) C_ CC )
37	36	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( Base ` F ) C_ CC )
38	14, 6, 5, 28	ipcl 16819	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
39	38	3anidm23 1243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
40	1, 39	sylan 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
41	37, 40	sseldd 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. CC )
42	41	sqrcld 12194	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( sqr ` ( y ., y ) ) e. CC )
43		sqeq0 11401	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( y ., y ) ) e. CC -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
45	41	sqsqrd 12196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = ( y ., y ) )
46	2, 5, 14, 1, 15	tchclm 19142	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. CMod )
47	14	clm0 19050	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. CMod -> 0 = ( 0g ` F ) )
48	46, 47	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 = ( 0g ` F ) )
49	48	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> 0 = ( 0g ` F ) )
50	45, 49	eqeq12d 2418	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( y ., y ) = ( 0g ` F ) ) )
51	44, 50	bitr3d 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 <-> ( y ., y ) = ( 0g ` F ) ) )
52		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
53	14, 6, 5, 52, 9	ipeq0 16824	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V ) -> ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) <-> y = ( 0g ` W ) ) )
54	1, 53	sylan 458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) <-> y = ( 0g ` W ) ) )
55	27, 51, 54	3bitrd 271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = 0 <-> y = ( 0g ` W ) ) )
56	1	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> W e. PreHil )
57	33	simp1d 969	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
58	57	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
59		3anass 940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
60		tchcph.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. K )
61		simpr2 964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> x e. RR )
62	61	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> x e. CC )
63	62	sqrcld 12194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
64	60, 63	jca 519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) )
65	64	ex 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) ) )
66	34	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. ( K i^i CC ) ) )
67		recn 9036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> x e. CC )
68		elin 3490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( K i^i CC ) <-> ( x e. K /\ x e. CC ) )
69	68	rbaib 874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( x e. ( K i^i CC ) <-> x e. K ) )
70	67, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> ( x e. ( K i^i CC ) <-> x e. K ) )
71	66, 70	sylan9bb 681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) )
72	71	adantrr 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) )
73	72	ex 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) ) )
74	73	pm5.32rd 622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) <-> ( x e. K /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) ) )
75		3anass 940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) <-> ( x e. K /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
76	74, 75	syl6bbr 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) <-> ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
77	34	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) <-> ( sqr ` x ) e. ( K i^i CC ) ) )
78		elin 3490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sqr ` x ) e. ( K i^i CC ) <-> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) )
79	77, 78	syl6bb 253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) <-> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) ) )
80	65, 76, 79	3imtr4d 260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
81	59, 80	syl5bi 209	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
82	81	imp 419	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
83	82	adantlr 696	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
84	17	adantlr 696	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
85		simprl 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> y e. V )
86		simprr 734	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
87	2, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86	tchcphlem1 19145	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) <_ ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
88	5, 8	grpsubcl 14824	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Grp /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
89	88	3expb 1154	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Grp /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
90	13, 89	sylan 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
91		oveq12 6049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( y ( -g ` W ) z ) /\ x = ( y ( -g ` W ) z ) ) -> ( x ., x ) = ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) )
92	91	anidms 627	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y ( -g ` W ) z ) -> ( x ., x ) = ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) )
93	92	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y ( -g ` W ) z ) -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
94	93, 19, 24	fvmpt3i 5768	. . . . . . . 8 |- ( ( y ( -g ` W ) z ) e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
95	90, 94	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
96		oveq12 6049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = z /\ x = z ) -> ( x ., x ) = ( z ., z ) )
97	96	anidms 627	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x ., x ) = ( z ., z ) )
98	97	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
99	98, 19, 24	fvmpt3i 5768	. . . . . . . . 9 |- ( z e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
100	25, 99	oveqan12d 6059	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. V /\ z e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) = ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
101	100	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) = ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
102	87, 95, 101	3brtr4d 4202	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) <_ ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) )
103	7, 5, 8, 9, 13, 20, 55, 102	tngngpd 18647	. . . . 5 |- ( ph -> G e. NrmGrp )
104		phllmod 16816	. . . . . 6 |- ( G e. PreHil -> G e. LMod )
105	4, 104	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> G e. LMod )
106		cnnrg 18768	. . . . . . 7 |- ℂfld e. NrmRing
107	33	simp3d 971	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) )
108		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) )
109	108	subrgnrg 18662	. . . . . . 7 |- ( (ℂfld e. NrmRing /\ ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) e. NrmRing )
110	106, 107, 109	sylancr 645	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) e. NrmRing )
111	57, 110	eqeltrd 2478	. . . . 5 |- ( ph -> F e. NrmRing )
112	103, 105, 111	3jca 1134	. . . 4 |- ( ph -> ( G e. NrmGrp /\ G e. LMod /\ F e. NrmRing ) )
113	1	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> W e. PreHil )
114	57	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
115	82	adantlr 696	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
116	17	adantlr 696	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
117		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
118		simprl 733	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> y e. ( Base ` F ) )
119		simprr 734	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> z e. V )
120	2, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119	tchcphlem2 19146	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
121	13	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> W e. Grp )
122	5, 14, 117, 28	lmodvscl 15922	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
123	122	3expb 1154	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
124	11, 123	sylan 458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
125		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( norm ` G ) = ( norm ` G )
126	2, 125, 5, 6	tchnmval 19140	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Grp /\ ( y ( .s ` W ) z ) e. V ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) )
127	121, 124, 126	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) )
128	114	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( norm ` F ) = ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) )
129	128	fveq1d 5689	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` F ) ` y ) = ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) )
130		subrgsubg 15829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
131	107, 130	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
132	131	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
133		cnfldnm 18766	. . . . . . . . . 10 |- abs = ( norm ` ℂfld )
134		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) = ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
135	108, 133, 134	subgnm2 18628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ y e. ( Base ` F ) ) -> ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) = ( abs ` y ) )
136	132, 118, 135	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) = ( abs ` y ) )
137	129, 136	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` F ) ` y ) = ( abs ` y ) )
138	2, 125, 5, 6	tchnmval 19140	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Grp /\ z e. V ) -> ( ( norm ` G ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
139	121, 119, 138	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
140	137, 139	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
141	120, 127, 140	3eqtr4d 2446	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) )
142	141	ralrimivva 2758	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. ( Base ` F ) A. z e. V ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) )
143	2, 5	tchbas 19131	. . . . 5 |- V = ( Base ` G )
144	2, 117	tchvsca 19135	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` G )
145	2, 14	tchsca 19134	. . . . 5 |- F = (Scalar ` G )
146		eqid 2404	. . . . 5 |- ( norm ` F ) = ( norm ` F )
147	143, 125, 144, 145, 28, 146	isnlm 18664	. . . 4 |- ( G e. NrmMod <-> ( ( G e. NrmGrp /\ G e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ A. y e. ( Base ` F ) A. z e. V ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) ) )
148	112, 142, 147	sylanbrc 646	. . 3 |- ( ph -> G e. NrmMod )
149	4, 148, 57	3jca 1134	. 2 |- ( ph -> ( G e. PreHil /\ G e. NrmMod /\ F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) )
150		elin 3490	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. ( 0 [,) +oo ) ) )
151		elrege0 10963	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
152	151	anbi2i 676	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
153	150, 152	bitri 241	. . . . 5 |- ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
154	153, 80	syl5bi 209	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
155	154	ralrimiv 2748	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
156		sqrf 12122	. . . . 5 |- sqr : CC --> CC
157		ffun 5552	. . . . 5 |- ( sqr : CC --> CC -> Fun sqr )
158	156, 157	ax-mp 8	. . . 4 |- Fun sqr
159		inss1 3521	. . . . . 6 |- ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ ( Base ` F )
160	159, 36	syl5ss 3319	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ CC )
161	156	fdmi 5555	. . . . 5 |- dom sqr = CC
162	160, 161	syl6sseqr 3355	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ dom sqr )
163		funimass4 5736	. . . 4 |- ( ( Fun sqr /\ ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ dom sqr ) -> ( ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) <-> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
164	158, 162, 163	sylancr 645	. . 3 |- ( ph -> ( ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) <-> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
165	155, 164	mpbird 224	. 2 |- ( ph -> ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) )
166		eqid 2404	. . . . 5 |- ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) )
167	42, 166	fmptd 5852	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) : V --> CC )
168	2, 5, 6	tchval 19130	. . . . 5 |- G = ( W toNrmGrp ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) )
169		cnex 9027	. . . . 5 |- CC e. _V
170	168, 5, 169	tngnm 18645	. . . 4 |- ( ( W e. Grp /\ ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) : V --> CC ) -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( norm ` G ) )
171	13, 167, 170	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( norm ` G ) )
172	171	eqcomd 2409	. 2 |- ( ph -> ( norm ` G ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) )
173	2, 6	tchip 19136	. . 3 |- ., = ( .i ` G )
174	143, 173, 125, 145, 28	iscph 19086	. 2 |- ( G e. CPreHil <-> ( ( G e. PreHil /\ G e. NrmMod /\ F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) /\ ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) /\ ( norm ` G ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) ) )
175	149, 165, 172, 174	syl3anbrc 1138	1 |- ( ph -> G e. CPreHil )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   i^i cin 3279   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   "cima 4840   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   + caddc 8949   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   <_ cle 9077   2c2 10005   [,)cico 10874   ^cexp 11337   sqrcsqr 11993   abscabs 11994   Basecbs 13424   ↾_s cress 13425  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   .icip 13489   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   -gcsg 14643  SubGrpcsubg 14893   DivRingcdr 15790  SubRingcsubrg 15819   LModclmod 15905   LVecclvec 16129  ℂ_fldccnfld 16658   PreHilcphl 16810   normcnm 18577  NrmGrpcngp 18578  NrmRingcnrg 18580  NrmModcnlm 18581  CModcclm 19040   CPreHilccph 19082  toCHilctch 19083

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-ip 13502  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-abv 15860  df-staf 15888  df-srng 15889  df-lmod 15907  df-lmhm 16053  df-lvec 16130  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-phl 16812  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-xms 18303  df-ms 18304  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-tng 18585  df-nrg 18586  df-nlm 18587  df-clm 19041  df-cph 19084  df-tch 19085