MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchclm Structured version   Unicode version

Theorem tchclm 21545
Description: Lemma for tchcph 21550. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
Assertion
Ref Expression
tchclm  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )

Proof of Theorem tchclm
StepHypRef Expression
1 tchcph.1 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
2 phllmod 18535 . . 3  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
5 tchcph.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
6 phllvec 18534 . . . . . 6  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
8 tchcph.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
98lvecdrng 17622 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
107, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  DivRing )
114, 5, 10cphsubrglem 21494 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  =  (flds  ( Base `  F ) )  /\  ( Base `  F )  =  ( K  i^i  CC )  /\  ( Base `  F )  e.  (SubRing ` fld ) ) )
1211simp1d 1007 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  ( Base `  F
) ) )
1311simp3d 1009 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  e.  (SubRing ` fld ) )
148, 4isclm 21434 . 2  |-  ( W  e. CMod 
<->  ( W  e.  LMod  /\  F  =  (flds  ( Base `  F
) )  /\  ( Base `  F )  e.  (SubRing ` fld ) ) )
153, 12, 13, 14syl3anbrc 1179 1  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802    i^i cin 3458   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   Basecbs 14506   ↾s cress 14507  Scalarcsca 14574   DivRingcdr 17267  SubRingcsubrg 17296   LModclmod 17383   LVecclvec 17619  ℂfldccnfld 18291   PreHilcphl 18529  CModcclm 21432  toCHilctch 21484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-tpos 6954  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-fz 11679  df-seq 12084  df-exp 12143  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-0g 14713  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-grp 15928  df-subg 16069  df-cmn 16671  df-mgp 17013  df-ur 17025  df-ring 17071  df-cring 17072  df-oppr 17143  df-dvdsr 17161  df-unit 17162  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-lvec 17620  df-cnfld 18292  df-phl 18531  df-clm 21433
This theorem is referenced by:  tchcphlem3  21546  ipcau2  21547  tchcphlem1  21548  tchcphlem2  21549  tchcph  21550
  Copyright terms: Public domain W3C validator