Theorem taylthlem1 22635

Description: Lemma for taylth 22637. This is the main part of Taylor's theorem, except for the induction step, which is supposed to be proven using L'Hôpital's rule. However, since our proof of L'Hôpital assumes that S = RR, we can only do this part generically, and for taylth 22637 itself we must restrict to RR. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylthlem1.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
taylthlem1.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
taylthlem1.a	|- ( ph -> A C_ S )
taylthlem1.d	|- ( ph -> dom ( ( S Dn F ) ` N ) = A )
taylthlem1.n	|- ( ph -> N e. NN )
taylthlem1.b	|- ( ph -> B e. A )
taylthlem1.t	|- T = ( N ( S Tayl F ) B )
taylthlem1.r	|- R = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( F ` x ) - ( T ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) )
taylthlem1.i	|- ( ( ph /\ ( n e. ( 1..^ N ) /\ 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) ) ) -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) )

Assertion

Ref	Expression
taylthlem1	|- ( ph -> 0 e. ( R lim CC B ) )

Distinct variable groups:   x, n, y, A   B, n, x, y   n, F, x, y   ph, n, x, y   n, N, x, y   S, n, x, y   T, n, x, y

Allowed substitution hints:   R( x, y, n)

Proof of Theorem taylthlem1

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylthlem1.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
2		elfz1end 11727	. . . 4 |- ( N e. NN <-> N e. ( 1 ... N ) )
3	1, 2	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> N e. ( 1 ... N ) )
4		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = 1 -> ( N - m ) = ( N - 1 ) )
5	4	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = 1 -> ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) = ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) )
6	5	fveq1d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 1 -> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) )
7	4	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = 1 -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) = ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) )
8	7	fveq1d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 1 -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) )
9	6, 8	oveq12d 6313	. . . . . . . . 9 |- ( m = 1 -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) )
10		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( m = 1 -> ( ( x - B ) ^ m ) = ( ( x - B ) ^ 1 ) )
11	9, 10	oveq12d 6313	. . . . . . . 8 |- ( m = 1 -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) = ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) )
12	11	mpteq2dv 4540	. . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) )
13	12	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) = ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) lim CC B ) )
14	13	eleq2d 2537	. . . . 5 |- ( m = 1 -> ( 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) <-> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) lim CC B ) ) )
15	14	imbi2d 316	. . . 4 |- ( m = 1 -> ( ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) ) <-> ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) lim CC B ) ) ) )
16		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( N - m ) = ( N - n ) )
17	16	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) = ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) )
18	17	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` x ) )
19	16	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) = ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) )
20	19	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` x ) )
21	18, 20	oveq12d 6313	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` x ) ) )
22		oveq2 6303	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( x - B ) ^ m ) = ( ( x - B ) ^ n ) )
23	21, 22	oveq12d 6313	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) = ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ n ) ) )
24	23	mpteq2dv 4540	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ n ) ) ) )
25		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` x ) = ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` y ) )
26		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` x ) = ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` y ) )
27	25, 26	oveq12d 6313	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` x ) ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) )
28		oveq1 6302	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x - B ) = ( y - B ) )
29	28	oveq1d 6310	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( x - B ) ^ n ) = ( ( y - B ) ^ n ) )
30	27, 29	oveq12d 6313	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ n ) ) = ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) )
31	30	cbvmptv 4544	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ n ) ) ) = ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) )
32	24, 31	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) = ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) )
33	32	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) = ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) )
34	33	eleq2d 2537	. . . . 5 |- ( m = n -> ( 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) <-> 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) ) )
35	34	imbi2d 316	. . . 4 |- ( m = n -> ( ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) ) <-> ( ph -> 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) ) ) )
36		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( N - m ) = ( N - ( n + 1 ) ) )
37	36	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) = ( ( S Dn F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) )
38	37	fveq1d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( S Dn F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) )
39	36	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) = ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) )
40	39	fveq1d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) )
41	38, 40	oveq12d 6313	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) )
42		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( x - B ) ^ m ) = ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) )
43	41, 42	oveq12d 6313	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) = ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) )
44	43	mpteq2dv 4540	. . . . . . 7 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) )
45	44	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) = ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) )
46	45	eleq2d 2537	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) <-> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) ) )
47	46	imbi2d 316	. . . 4 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) ) <-> ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) ) ) )
48		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = N -> ( N - m ) = ( N - N ) )
49	48	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = N -> ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) = ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) )
50	49	fveq1d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) )
51	48	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = N -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) = ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) )
52	51	fveq1d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) )
53	50, 52	oveq12d 6313	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) )
54		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( ( x - B ) ^ m ) = ( ( x - B ) ^ N ) )
55	53, 54	oveq12d 6313	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) = ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) )
56	55	mpteq2dv 4540	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) )
57	56	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) = ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) lim CC B ) )
58	57	eleq2d 2537	. . . . 5 |- ( m = N -> ( 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) <-> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) lim CC B ) ) )
59	58	imbi2d 316	. . . 4 |- ( m = N -> ( ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) ) <-> ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) lim CC B ) ) ) )
60		taylthlem1.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. A )
61		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = B -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) = ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` B ) )
62		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = B -> ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) = ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` B ) )
63	61, 62	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = B -> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` B ) ) )
64		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) )
65		ovex 6320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` B ) ) e. _V
66	63, 64, 65	fvmpt 5957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. A -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) ` B ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` B ) ) )
67	60, 66	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) ` B ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` B ) ) )
68		taylthlem1.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
69		taylthlem1.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : A --> CC )
70		taylthlem1.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ S )
71	1	nnnn0d 10864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. NN0 )
72		nn0uz 11128	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
73	71, 72	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
74		eluzfz2b 11707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> N e. ( 0 ... N ) )
75	73, 74	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( 0 ... N ) )
76		taylthlem1.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( ( S Dn F ) ` N ) = A )
77	60, 76	eleqtrrd 2558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. dom ( ( S Dn F ) ` N ) )
78		taylthlem1.t	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = ( N ( S Tayl F ) B )
79	68, 69, 70, 75, 77, 78	dvntaylp0 22634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` B ) = ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` B ) )
80	79	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` B ) ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` B ) ) )
81		cnex 9585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC e. _V
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> CC e. _V )
83		elpm2r 7448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( F : A --> CC /\ A C_ S ) ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
84	82, 68, 69, 70, 83	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm S ) )
85		dvnf 22198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC )
86	68, 84, 71, 85	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC )
87	86, 77	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` B ) e. CC )
88	87	subidd 9930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` B ) ) = 0 )
89	67, 80, 88	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) ` B ) = 0 )
90		funmpt 5630	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) )
91		ovex 6320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) e. _V
92	91, 64	dmmpti 5716	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) = A
93	60, 92	syl6eleqr 2566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. dom ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) )
94		funbrfvb 5916	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) /\ B e. dom ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) ) -> ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) ` B ) = 0 <-> B ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) 0 ) )
95	90, 93, 94	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) ` B ) = 0 <-> B ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) 0 ) )
96	89, 95	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) 0 )
97		nnm1nn0 10849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
98	1, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
99		dvnf 22198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) : dom ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) --> CC )
100	68, 84, 98, 99	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) : dom ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) --> CC )
101		dvnbss 22199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> dom ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) C_ dom F )
102	68, 84, 98, 101	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) C_ dom F )
103		fdm 5741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
104	69, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom F = A )
105	102, 104	sseqtrd 3545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) C_ A )
106		fzo0end 11884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. ( 0..^ N ) )
107		elfzofz 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N - 1 ) e. ( 0..^ N ) -> ( N - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
108	1, 106, 107	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
109		dvn2bss 22201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ ( N - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) )
110	68, 84, 108, 109	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) )
111	76, 110	eqsstr3d 3544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ dom ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) )
112	105, 111	eqssd 3526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) = A )
113	112	feq2d 5724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) : dom ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) --> CC <-> ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) : A --> CC ) )
114	100, 113	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) : A --> CC )
115	114	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) e. CC )
116	76	feq2d 5724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC <-> ( ( S Dn F ) ` N ) : A --> CC ) )
117	86, 116	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) : A --> CC )
118	117	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) e. CC )
119	1	nncnd 10564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. CC )
120		1cnd 9624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. CC )
121	119, 120	npcand 9946	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
122	121	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( S Dn F ) ` N ) )
123		recnprss 22176	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
124	68, 123	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S C_ CC )
125		dvnp1 22196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
126	124, 84, 98, 125	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
127	122, 126	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) = ( S _D ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
128	117	feqmptd 5927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) = ( y e. A |-> ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) ) )
129	114	feqmptd 5927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) )
130	129	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S _D ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) = ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) )
131	127, 128, 130	3eqtr3rd 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) ) )
132	70, 124	sstrd 3519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ CC )
133	132	sselda 3509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. CC )
134		1nn0 10823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN0
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
136		elpm2r 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) : A --> CC /\ A C_ S ) ) -> ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) e. ( CC ^pm S ) )
137	82, 68, 114, 70, 136	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) e. ( CC ^pm S ) )
138		dvn1 22197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S C_ CC /\ ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) ` 1 ) = ( S _D ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
139	124, 137, 138	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) ` 1 ) = ( S _D ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
140	126, 122	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( S _D ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) = ( ( S Dn F ) ` N ) )
141	139, 140	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) ` 1 ) = ( ( S Dn F ) ` N ) )
142	141	dmeqd 5211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) ` 1 ) = dom ( ( S Dn F ) ` N ) )
143	77, 142	eleqtrrd 2558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. dom ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) ` 1 ) )
144		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) B ) = ( 1 ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) B )
145	68, 114, 70, 135, 143, 144	taylpf 22628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) B ) : CC --> CC )
146	120, 119	pncan3d 9945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 1 + ( N - 1 ) ) = N )
147	146	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 1 + ( N - 1 ) ) ( S Tayl F ) B ) = ( N ( S Tayl F ) B ) )
148	147, 78	syl6reqr 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T = ( ( 1 + ( N - 1 ) ) ( S Tayl F ) B ) )
149	148	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( CC Dn T ) = ( CC Dn ( ( 1 + ( N - 1 ) ) ( S Tayl F ) B ) ) )
150	149	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) = ( ( CC Dn ( ( 1 + ( N - 1 ) ) ( S Tayl F ) B ) ) ` ( N - 1 ) ) )
151	146	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` ( 1 + ( N - 1 ) ) ) = ( ( S Dn F ) ` N ) )
152	151	dmeqd 5211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom ( ( S Dn F ) ` ( 1 + ( N - 1 ) ) ) = dom ( ( S Dn F ) ` N ) )
153	77, 152	eleqtrrd 2558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. dom ( ( S Dn F ) ` ( 1 + ( N - 1 ) ) ) )
154	68, 69, 70, 98, 135, 153	dvntaylp 22633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( CC Dn ( ( 1 + ( N - 1 ) ) ( S Tayl F ) B ) ) ` ( N - 1 ) ) = ( 1 ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) B ) )
155	150, 154	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) = ( 1 ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) B ) )
156	155	feq1d 5723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) : CC --> CC <-> ( 1 ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) B ) : CC --> CC ) )
157	145, 156	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) : CC --> CC )
158	157	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) e. CC )
159	133, 158	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) e. CC )
160		0nn0 10822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. NN0
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
162		elpm2r 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( ( ( S Dn F ) ` N ) : A --> CC /\ A C_ S ) ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm S ) )
163	82, 68, 117, 70, 162	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm S ) )
164		dvn0 22195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S C_ CC /\ ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` N ) ) ` 0 ) = ( ( S Dn F ) ` N ) )
165	124, 163, 164	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` N ) ) ` 0 ) = ( ( S Dn F ) ` N ) )
166	165	dmeqd 5211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` N ) ) ` 0 ) = dom ( ( S Dn F ) ` N ) )
167	77, 166	eleqtrrd 2558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. dom ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` N ) ) ` 0 ) )
168		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` N ) ) B ) = ( 0 ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` N ) ) B )
169	68, 117, 70, 161, 167, 168	taylpf 22628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` N ) ) B ) : CC --> CC )
170	119	addid2d 9792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 0 + N ) = N )
171	170	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 0 + N ) ( S Tayl F ) B ) = ( N ( S Tayl F ) B ) )
172	171, 78	syl6eqr 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 0 + N ) ( S Tayl F ) B ) = T )
173	172	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( CC Dn ( ( 0 + N ) ( S Tayl F ) B ) ) = ( CC Dn T ) )
174	173	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( CC Dn ( ( 0 + N ) ( S Tayl F ) B ) ) ` N ) = ( ( CC Dn T ) ` N ) )
175	170	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` ( 0 + N ) ) = ( ( S Dn F ) ` N ) )
176	175	dmeqd 5211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom ( ( S Dn F ) ` ( 0 + N ) ) = dom ( ( S Dn F ) ` N ) )
177	77, 176	eleqtrrd 2558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. dom ( ( S Dn F ) ` ( 0 + N ) ) )
178	68, 69, 70, 71, 161, 177	dvntaylp 22633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( CC Dn ( ( 0 + N ) ( S Tayl F ) B ) ) ` N ) = ( 0 ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` N ) ) B ) )
179	174, 178	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` N ) = ( 0 ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` N ) ) B ) )
180	179	feq1d 5723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( CC Dn T ) ` N ) : CC --> CC <-> ( 0 ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` N ) ) B ) : CC --> CC ) )
181	169, 180	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` N ) : CC --> CC )
182	181	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) e. CC )
183	133, 182	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) e. CC )
184	124	sselda 3509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> y e. CC )
185	184, 158	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) e. CC )
186	184, 182	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) e. CC )
187		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
188	187	cnfldtopon 21158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
189		toponmax 19298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
190	188, 189	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
191		df-ss 3495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ CC <-> ( S i^i CC ) = S )
192	124, 191	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S i^i CC ) = S )
193		ssid 3528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC C_ CC
194	193	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> CC C_ CC )
195		mapsspm 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( CC ^m CC ) C_ ( CC ^pm CC )
196	68, 69, 70, 71, 77, 78	taylpf 22628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T : CC --> CC )
197	81, 81	elmap 7459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T e. ( CC ^m CC ) <-> T : CC --> CC )
198	196, 197	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> T e. ( CC ^m CC ) )
199	195, 198	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> T e. ( CC ^pm CC ) )
200		dvnp1 22196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( CC C_ CC /\ T e. ( CC ^pm CC ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( CC Dn T ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( CC _D ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ) )
201	194, 199, 98, 200	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( CC _D ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ) )
202	121	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( CC Dn T ) ` N ) )
203	201, 202	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( CC _D ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ) = ( ( CC Dn T ) ` N ) )
204	157	feqmptd 5927	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) = ( y e. CC |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) )
205	204	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( CC _D ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ) = ( CC _D ( y e. CC |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) )
206	181	feqmptd 5927	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` N ) = ( y e. CC |-> ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) )
207	203, 205, 206	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) )
208	187, 68, 190, 192, 158, 182, 207	dvmptres3 22227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S _D ( y e. S |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) = ( y e. S |-> ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) )
209		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
210		resttopon 19530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
211	188, 124, 210	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
212		topontop 19296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top )
213	211, 212	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top )
214		toponuni 19297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
215	211, 214	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
216	70, 215	sseqtrd 3545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
217		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
218	217	ntrss2 19426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top /\ A C_ U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
219	213, 216, 218	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
220	140	dmeqd 5211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( S _D ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) = dom ( ( S Dn F ) ` N ) )
221	220, 76	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( S _D ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) = A )
222	124, 114, 70, 209, 187	dvbssntr 22172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( S _D ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ) C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) )
223	221, 222	eqsstr3d 3544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) )
224	219, 223	eqssd 3526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) = A )
225	68, 185, 186, 208, 70, 209, 187, 224	dvmptres2 22233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) )
226	68, 115, 118, 131, 159, 183, 225	dvmptsub 22238	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) )
227	226	breqd 4464	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ) 0 <-> B ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` N ) ` y ) ) ) 0 ) )
228	96, 227	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ) 0 )
229		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) )
230	115, 159	subcld 9942	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) e. CC )
231		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) )
232	230, 231	fmptd 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) : A --> CC )
233	209, 187, 229, 124, 232, 70	eldv 22170	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ) 0 <-> ( B e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) /\ 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) ) lim CC B ) ) ) )
234	228, 233	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) /\ 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) ) lim CC B ) ) )
235	234	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) ) lim CC B ) )
236		eldifi 3631	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A \ { B } ) -> x e. A )
237		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) = ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) )
238		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) = ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) )
239	237, 238	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) )
240		ovex 6320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) e. _V
241	239, 231, 240	fvmpt 5957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) )
242		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = B -> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) = ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) )
243		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = B -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) = ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) )
244	242, 243	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = B -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) )
245		ovex 6320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) e. _V
246	244, 231, 245	fvmpt 5957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. A -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) )
247	60, 246	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) )
248	68, 69, 70, 108, 77, 78	dvntaylp0 22634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) = ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) )
249	248	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) )
250	114, 60	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) e. CC )
251	250	subidd 9930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) = 0 )
252	247, 249, 251	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) = 0 )
253	241, 252	oveqan12rd 6315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) = ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) - 0 ) )
254	114	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) e. CC )
255	132	sselda 3509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. CC )
256	157	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) e. CC )
257	255, 256	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) e. CC )
258	254, 257	subcld 9942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) e. CC )
259	258	subid1d 9931	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) - 0 ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) )
260	253, 259	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) = ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) )
261	236, 260	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) = ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) )
262	132	ssdifssd 3647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A \ { B } ) C_ CC )
263	262	sselda 3509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> x e. CC )
264	132, 60	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. CC )
265	264	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> B e. CC )
266	263, 265	subcld 9942	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( x - B ) e. CC )
267	266	exp1d 12285	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( x - B ) ^ 1 ) = ( x - B ) )
268	261, 267	oveq12d 6313	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) = ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) )
269	268	mpteq2dva 4539	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) ) )
270	269	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) lim CC B ) = ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) ) lim CC B ) )
271	235, 270	eleqtrrd 2558	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) lim CC B ) )
272	271	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) lim CC B ) ) )
273		taylthlem1.i	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1..^ N ) /\ 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) ) ) -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) )
274	273	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1..^ N ) ) -> ( 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) ) )
275	274	expcom 435	. . . . 5 |- ( n e. ( 1..^ N ) -> ( ph -> ( 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) ) ) )
276	275	a2d 26	. . . 4 |- ( n e. ( 1..^ N ) -> ( ( ph -> 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) ) -> ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) ) ) )
277	15, 35, 47, 59, 272, 276	fzind2 11904	. . 3 |- ( N e. ( 1 ... N ) -> ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) lim CC B ) ) )
278	3, 277	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) lim CC B ) )
279	119	subidd 9930	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - N ) = 0 )
280	279	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) = ( ( S Dn F ) ` 0 ) )
281		dvn0 22195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S Dn F ) ` 0 ) = F )
282	124, 84, 281	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` 0 ) = F )
283	280, 282	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) = F )
284	283	fveq1d 5874	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
285	279	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) = ( ( CC Dn T ) ` 0 ) )
286		dvn0 22195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( CC C_ CC /\ T e. ( CC ^pm CC ) ) -> ( ( CC Dn T ) ` 0 ) = T )
287	193, 199, 286	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` 0 ) = T )
288	285, 287	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) = T )
289	288	fveq1d 5874	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) = ( T ` x ) )
290	284, 289	oveq12d 6313	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) = ( ( F ` x ) - ( T ` x ) ) )
291	290	oveq1d 6310	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) = ( ( ( F ` x ) - ( T ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) )
292	291	mpteq2dv 4540	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( F ` x ) - ( T ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) )
293		taylthlem1.r	. . . 4 |- R = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( F ` x ) - ( T ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) )
294	292, 293	syl6eqr 2526	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) = R )
295	294	oveq1d 6310	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) lim CC B ) = ( R lim CC B ) )
296	278, 295	eleqtrd 2557	1 |- ( ph -> 0 e. ( R lim CC B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3118   \ cdif 3478   i^i cin 3480   C_ wss 3481   {csn 4033   {cpr 4035   U.cuni 4251   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ^m cmap 7432   ^pm cpm 7433   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   + caddc 9507   - cmin 9817   / cdiv 10218   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   ^cexp 12146   ↾_t crest 14693   TopOpenctopn 14694  ℂ_fldccnfld 18290   Topctop 19263  TopOnctopon 19264   intcnt 19386   lim CC climc 22134   _D cdv 22135   Dncdvn 22136   Tayl ctayl 22615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-tsms 20493  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-dvn 22140  df-tayl 22617

This theorem is referenced by:  taylth  22637