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Theorem taylthlem1 23407
 Description: Lemma for taylth 23409. This is the main part of Taylor's theorem, except for the induction step, which is supposed to be proven using L'Hôpital's rule. However, since our proof of L'Hôpital assumes that , we can only do this part generically, and for taylth 23409 itself we must restrict to . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylthlem1.s
taylthlem1.f
taylthlem1.a
taylthlem1.d
taylthlem1.n
taylthlem1.b
taylthlem1.t Tayl
taylthlem1.r
taylthlem1.i ..^ lim lim
Assertion
Ref Expression
taylthlem1 lim
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem taylthlem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylthlem1.n . . . 4
2 elfz1end 11855 . . . 4
31, 2sylib 201 . . 3
4 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12
54fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
65fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10
74fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
87fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10
96, 8oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
10 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
119, 10oveq12d 6326 . . . . . . . 8
1211mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
1312oveq1d 6323 . . . . . 6 lim lim
1413eleq2d 2534 . . . . 5 lim lim
1514imbi2d 323 . . . 4 lim lim
16 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13
1716fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
1817fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11
1916fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
2019fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11
2118, 20oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
22 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
2321, 22oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
2423mpteq2dv 4483 . . . . . . . 8
25 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
26 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
2725, 26oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
28 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11
2928oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
3027, 29oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
3130cbvmptv 4488 . . . . . . . 8
3224, 31syl6eq 2521 . . . . . . 7
3332oveq1d 6323 . . . . . 6 lim lim
3433eleq2d 2534 . . . . 5 lim lim
3534imbi2d 323 . . . 4 lim lim
36 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12
3736fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
3837fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10
3936fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
4039fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10
4138, 40oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
42 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
4341, 42oveq12d 6326 . . . . . . . 8
4443mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
4544oveq1d 6323 . . . . . 6 lim lim
4645eleq2d 2534 . . . . 5 lim lim
4746imbi2d 323 . . . 4 lim lim
48 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12
4948fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
5049fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10
5148fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
5251fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10
5350, 52oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
54 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
5553, 54oveq12d 6326 . . . . . . . 8
5655mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
5756oveq1d 6323 . . . . . 6 lim lim
5857eleq2d 2534 . . . . 5 lim lim
5958imbi2d 323 . . . 4 lim lim
60 taylthlem1.b . . . . . . . . . . . 12
61 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
62 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
6361, 62oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13
64 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
65 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13
6663, 64, 65fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . 12
6760, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11
68 taylthlem1.s . . . . . . . . . . . . 13
69 taylthlem1.f . . . . . . . . . . . . 13
70 taylthlem1.a . . . . . . . . . . . . 13
711nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . 15
72 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15
7371, 72syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . 14
74 eluzfz2b 11834 . . . . . . . . . . . . . 14
7573, 74sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13
76 taylthlem1.d . . . . . . . . . . . . . 14
7760, 76eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . 13
78 taylthlem1.t . . . . . . . . . . . . 13 Tayl
7968, 69, 70, 75, 77, 78dvntaylp0 23406 . . . . . . . . . . . 12
8079oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
81 cnex 9638 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 elpm2r 7507 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 68, 69, 70, 83syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . 14
85 dvnf 22960 . . . . . . . . . . . . . 14
8668, 84, 71, 85syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
8786, 77ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12
8887subidd 9993 . . . . . . . . . . 11
8967, 80, 883eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10
90 funmpt 5625 . . . . . . . . . . 11
91 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13
9291, 64dmmpti 5717 . . . . . . . . . . . 12
9360, 92syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . 11
94 funbrfvb 5921 . . . . . . . . . . 11
9590, 93, 94sylancr 676 . . . . . . . . . 10
9689, 95mpbid 215 . . . . . . . . 9
97 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . . . 15
981, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
99 dvnf 22960 . . . . . . . . . . . . . 14
10068, 84, 98, 99syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
101 dvnbss 22961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10268, 84, 98, 101syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10469, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105102, 104sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15
106 fzo0end 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
107 elfzofz 11962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
1081, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109 dvn2bss 22963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11068, 84, 108, 109syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11176, 110eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . . . 15
112105, 111eqssd 3435 . . . . . . . . . . . . . 14
113112feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . 13
114100, 113mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
115114ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
11676feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . 13
11786, 116mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
118117ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
1191nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . 15
120 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . 15
121119, 120npcand 10009 . . . . . . . . . . . . . 14
122121fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
123 recnprss 22938 . . . . . . . . . . . . . . 15
12468, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
125 dvnp1 22958 . . . . . . . . . . . . . 14
126124, 84, 98, 125syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
127122, 126eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . 12
128117feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . 12
129114feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . 13
130129oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
131127, 128, 1303eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . . 11
13270, 124sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . 13
133132sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12
134 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . . 16
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
136 elpm2r 7507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13782, 68, 114, 70, 136syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
138 dvn1 22959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139124, 137, 138syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140126, 122eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141139, 140eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142141dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14377, 142eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . 15
144 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tayl Tayl
14568, 114, 70, 135, 143, 144taylpf 23400 . . . . . . . . . . . . . 14 Tayl
146120, 119pncan3d 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147146oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Tayl Tayl
148147, 78syl6reqr 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Tayl
149148oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Tayl
150149fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tayl
151146fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
152151dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15377, 152eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15468, 69, 70, 98, 135, 153dvntaylp 23405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tayl Tayl
155150, 154eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tayl
156155feq1d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14 Tayl
157145, 156mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13
158157ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12
159133, 158syldan 478 . . . . . . . . . . 11
160 0nn0 10908 . . . . . . . . . . . . . . . 16
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
162 elpm2r 7507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16382, 68, 117, 70, 162syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
164 dvn0 22957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
165124, 163, 164syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
166165dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16777, 166eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . 15
168 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tayl Tayl
16968, 117, 70, 161, 167, 168taylpf 23400 . . . . . . . . . . . . . 14 Tayl
170119addid2d 9852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
171170oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Tayl Tayl
172171, 78syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Tayl
173172oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Tayl
174173fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tayl
175170fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
176175dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17777, 176eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17868, 69, 70, 71, 161, 177dvntaylp 23405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tayl Tayl
179174, 178eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tayl
180179feq1d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14 Tayl
181169, 180mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13
182181ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12
183133, 182syldan 478 . . . . . . . . . . 11
184124sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13
185184, 158syldan 478 . . . . . . . . . . . 12
186184, 182syldan 478 . . . . . . . . . . . 12
187 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld
188187cnfldtopon 21881 . . . . . . . . . . . . . 14 fld TopOn
189 toponmax 20020 . . . . . . . . . . . . . 14 fld TopOn fld
190188, 189mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 fld
191 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . . . 14
192124, 191sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13
193 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
194193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
195 mapsspm 7523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19668, 69, 70, 71, 77, 78taylpf 23400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19781, 81elmap 7518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
198196, 197sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
199195, 198sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16
200 dvnp1 22958 . . . . . . . . . . . . . . . 16
201194, 199, 98, 200syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
202121fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15
203201, 202eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . 14
204157feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . 15
205204oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
206181feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . 14
207203, 205, 2063eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . 13
208187, 68, 190, 192, 158, 182, 207dvmptres3 22989 . . . . . . . . . . . 12
209 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 fldt fldt
210 resttopon 20254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fld TopOn fldt TopOn
211188, 124, 210sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt TopOn
212 topontop 20018 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt TopOn fldt
213211, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
214 toponuni 20019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fldt TopOn fldt
215211, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt
21670, 215sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
217 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt fldt
218217ntrss2 20149 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt fldt fldt
219213, 216, 218syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 fldt
220140dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . 15
221220, 76eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14
222124, 114, 70, 209, 187dvbssntr 22934 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
223221, 222eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . 13 fldt
224219, 223eqssd 3435 . . . . . . . . . . . 12 fldt
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22668, 115, 118, 131, 159, 183, 225dvmptsub 23000 . . . . . . . . . 10
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