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Theorem taylthlem1 21837
Description: Lemma for taylth 21839. This is the main part of Taylor's theorem, except for the induction step, which is supposed to be proven using L'Hôpital's rule. However, since our proof of L'Hôpital assumes that  S  =  RR, we can only do this part generically, and for taylth 21839 itself we must restrict to  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylthlem1.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
taylthlem1.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
taylthlem1.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
taylthlem1.d  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  A )
taylthlem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
taylthlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
taylthlem1.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
taylthlem1.r  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
taylthlem1.i  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
) ) )  -> 
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
Assertion
Ref Expression
taylthlem1  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    B, n, x, y    n, F, x, y    ph, n, x, y   
n, N, x, y    S, n, x, y    T, n, x, y
Allowed substitution hints:    R( x, y, n)

Proof of Theorem taylthlem1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylthlem1.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 elfz1end 11478 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( 1 ... N
) )
31, 2sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... N ) )
4 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  ( N  -  m )  =  ( N  - 
1 ) )
54fveq2d 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) )
65fveq1d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )
74fveq2d 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) )
87fveq1d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )
96, 8oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) ) )
10 oveq2 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
1 ) )
119, 10oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) )
1211mpteq2dv 4378 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) )
1312oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) )
1413eleq2d 2509 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) ) )
1514imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  1  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
16 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  n ) )
1716fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) )
1817fveq1d 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  n )
) `  x )
)
1916fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n ) ) )
2019fveq1d 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  x )
)
2118, 20oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  x
) ) )
22 oveq2 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
n ) )
2321, 22oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) ) )
2423mpteq2dv 4378 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) ) ) )
25 fveq2 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)
26 fveq2 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)
2725, 26oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) ) )
28 oveq1 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  B )  =  ( y  -  B ) )
2928oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  -  B
) ^ n )  =  ( ( y  -  B ) ^
n ) )
3027, 29oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ n
) ) )
3130cbvmptv 4382 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) ) )  =  ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) )
3224, 31syl6eq 2490 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ n
) ) ) )
3332oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( y  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) )
3433eleq2d 2509 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  <->  0  e.  ( ( y  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) ) )
3534imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( y  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
36 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  ( n  +  1
) ) )
3736fveq2d 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) )
3837fveq1d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )
3936fveq2d 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) )
4039fveq1d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )
4138, 40oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
) ) )
42 oveq2 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
( n  +  1 ) ) )
4341, 42oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ (
n  +  1 ) ) ) )
4443mpteq2dv 4378 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ (
n  +  1 ) ) ) ) )
4544oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
4645eleq2d 2509 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) )
4746imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
48 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  N  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  N ) )
4948fveq2d 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  N  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N ) ) )
5049fveq1d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)
5148fveq2d 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  N  ->  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N ) ) )
5251fveq1d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)
5350, 52oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) ) )
54 oveq2 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^ N ) )
5553, 54oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) )
5655mpteq2dv 4378 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) ) )
5756oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) )
5857eleq2d 2509 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) ) )
5958imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
60 taylthlem1.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
61 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  B )
)
62 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  B )
)
6361, 62oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  B )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  B
) ) )
64 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  y )
) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) )
65 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  B
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  B )
)  e.  _V
6663, 64, 65fvmpt 5773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) ) `
 B )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  B ) ) )
6760, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 B ) ) )
68 taylthlem1.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
69 taylthlem1.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
70 taylthlem1.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
711nnnn0d 10635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
72 nn0uz 10894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
7371, 72syl6eleq 2532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
74 eluzfz2b 11459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
7573, 74sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
76 taylthlem1.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  A )
7760, 76eleqtrrd 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  N
) )
78 taylthlem1.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
7968, 69, 70, 75, 77, 78dvntaylp0 21836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  B )  =  ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  B
) )
8079oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  B ) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  B ) ) )
81 cnex 9362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  _V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
83 elpm2r 7229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
8482, 68, 69, 70, 83syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
85 dvnf 21400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 N ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) --> CC )
8668, 84, 71, 85syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N ) : dom  ( ( S  Dn F ) `  N ) --> CC )
8786, 77ffvelrnd 5843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  B )  e.  CC )
8887subidd 9706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  B ) )  =  0 )
8967, 80, 883eqtrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0 )
90 funmpt 5453 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) )
91 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  y )
)  e.  _V
9291, 64dmmpti 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) )  =  A
9360, 92syl6eleqr 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) ) )
94 funbrfvb 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) )  /\  B  e. 
dom  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0  <->  B (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) ) 0 ) )
9590, 93, 94sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  y )
) ) `  B
)  =  0  <->  B
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) ) 0 ) )
9689, 95mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) 0 )
97 nnm1nn0 10620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
981, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
99 dvnf 21400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) : dom  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) --> CC )
10068, 84, 98, 99syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) : dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) --> CC )
101 dvnbss 21401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) )  C_  dom  F )
10268, 84, 98, 101syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) )  C_  dom  F )
103 fdm 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
10469, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
105102, 104sseqtrd 3391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) )  C_  A )
106 fzo0end 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
107 elfzofz 11566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
1081, 106, 1073syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
109 dvn2bss 21403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  N )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )
11068, 84, 108, 109syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )
11176, 110eqsstr3d 3390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) )
112105, 111eqssd 3372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) )  =  A )
113112feq2d 5546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) --> CC  <->  ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) : A --> CC ) )
114100, 113mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) : A --> CC )
115114ffvelrnda 5842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  e.  CC )
11676feq2d 5546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) --> CC  <->  ( ( S  Dn
F ) `  N
) : A --> CC ) )
11786, 116mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N ) : A --> CC )
118117ffvelrnda 5842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  e.  CC )
1191nncnd 10337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
120 1cnd 9401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
121119, 120npcand 9722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
122121fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
123 recnprss 21378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
12468, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
125 dvnp1 21398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
126124, 84, 98, 125syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
127122, 126eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
128117feqmptd 5743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
) ) )
129114feqmptd 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )
130129oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) )
131127, 128, 1303eqtr3rd 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y ) ) )
13270, 124sstrd 3365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
133132sselda 3355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  CC )
134 1nn0 10594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
136 elpm2r 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  -> 
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
13782, 68, 114, 70, 136syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
138 dvn1 21399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) )  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) `  1 )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) ) )
139124, 137, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) `
 1 )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
140126, 122eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
141139, 140eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) `
 1 )  =  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
142141dmeqd 5041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) `  1 )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
14377, 142eleqtrrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) ) ` 
1 ) )
144 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B )  =  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) ) B )
14568, 114, 70, 135, 143, 144taylpf 21830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) ) B ) : CC --> CC )
146120, 119pncan3d 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( N  -  1 ) )  =  N )
147146oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
148147, 78syl6reqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  =  ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl  F ) B ) )
149148oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  Dn
T )  =  ( CC  Dn ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl  F
) B ) ) )
150149fveq1d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) )  =  ( ( CC  Dn
( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  ( N  -  1 ) ) )
151146fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
152151dmeqd 5041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
15377, 152eleqtrrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  (
1  +  ( N  -  1 ) ) ) )
15468, 69, 70, 98, 135, 153dvntaylp 21835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( 1  +  ( N  - 
1 ) ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( N  -  1 ) )  =  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) )
155150, 154eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) )  =  ( 1 ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) )
156155feq1d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) : CC --> CC  <->  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) : CC --> CC ) )
157145, 156mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) : CC --> CC )
158157ffvelrnda 5842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  e.  CC )
159133, 158syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  e.  CC )
160 0nn0 10593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
162 elpm2r 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  -> 
( ( S  Dn F ) `  N )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
16382, 68, 117, 70, 162syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
164 dvn0 21397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
( S  Dn
F ) `  N
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  N ) ) `  0 )  =  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
165124, 163, 164syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 N ) ) `
 0 )  =  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
166165dmeqd 5041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  N ) ) `  0 )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
16777, 166eleqtrrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
( ( S  Dn F ) `  N ) ) ` 
0 ) )
168 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B )  =  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B )
16968, 117, 70, 161, 167, 168taylpf 21830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B ) : CC --> CC )
170119addid2d 9569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 0  +  N
)  =  N )
171170oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
172171, 78syl6eqr 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B )  =  T )
173172oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  Dn
( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B ) )  =  ( CC  Dn T ) )
174173fveq1d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( 0  +  N ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  N
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  N ) )
175170fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( 0  +  N
) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
176175dmeqd 5041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( 0  +  N ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
17777, 176eleqtrrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  (
0  +  N ) ) )
17868, 69, 70, 71, 161, 177dvntaylp 21835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( 0  +  N ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  N
)  =  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B ) )
179174, 178eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  N )  =  ( 0 ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  N
) ) B ) )
180179feq1d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) : CC --> CC  <->  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B ) : CC --> CC ) )
181169, 180mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  N ) : CC --> CC )
182181ffvelrnda 5842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  y )  e.  CC )
183133, 182syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
)  e.  CC )
184124sselda 3355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
185184, 158syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  e.  CC )
186184, 182syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
)  e.  CC )
187 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
188187cnfldtopon 20361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
189 toponmax 18532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
190188, 189mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
191 df-ss 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  CC  <->  ( S  i^i  CC )  =  S )
192124, 191sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  CC )  =  S )
193 ssid 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
194193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
195 mapsspm 7245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
^m  CC )  C_  ( CC  ^pm  CC )
19668, 69, 70, 71, 77, 78taylpf 21830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T : CC --> CC )
19781, 81elmap 7240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  ( CC  ^m  CC )  <->  T : CC --> CC )
198196, 197sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  e.  ( CC 
^m  CC ) )
199195, 198sseldi 3353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  T  e.  ( CC 
^pm  CC ) )
200 dvnp1 21398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  T  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( N  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( CC  Dn T ) `
 ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( CC  _D  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
201194, 199, 98, 200syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
202121fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( CC  Dn
T ) `  N
) )
203201, 202eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( CC  Dn
T ) `  N
) )
204157feqmptd 5743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )
205204oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) )
206181feqmptd 5743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  N )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) )
207203, 205, 2063eqtr3d 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) )
208187, 68, 190, 192, 158, 182, 207dvmptres3 21429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  S  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) )
209 eqid 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
210 resttopon 18764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
211188, 124, 210sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
212 topontop 18530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
213211, 212syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
214 toponuni 18531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )
215211, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
21670, 215sseqtrd 3391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
217 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  S )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S )
218217ntrss2 18660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  A  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  C_  A
)
219213, 216, 218syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  C_  A
)
220140dmeqd 5041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
221220, 76eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )  =  A )
222124, 114, 70, 209, 187dvbssntr 21374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )  C_  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A ) )
223221, 222eqsstr3d 3390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  A
) )
224219, 223eqssd 3372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  =  A )
22568, 185, 186, 208, 70, 209, 187, 224dvmptres2 21435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) )
22668, 115, 118, 131, 159, 183, 225dvmptsub 21440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) )
227226breqd 4302 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) ) 0  <->  B
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) ) 0 ) )
22896, 227mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) ) 0 )
229 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  x
)  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) ) `  B ) )  / 
( x  -  B
) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  /  (
x  -  B ) ) )
230115, 159subcld 9718 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) )  e.  CC )
231 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )
232230, 231fmptd 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) : A --> CC )
233209, 187, 229, 124, 232, 70eldv 21372 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) ) 0  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  A
)  /\  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  /  (
x  -  B ) ) ) lim CC  B
) ) ) )
234228, 233mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  /\  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  /  (
x  -  B ) ) ) lim CC  B
) ) )
235234simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) )
236 eldifi 3477 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  ->  x  e.  A )
237 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )
238 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )
239237, 238oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) ) )
240 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  e.  _V
241239, 231, 240fvmpt 5773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) ) )
242 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B ) )
243 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  B ) )
244242, 243oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  B
) ) )
245 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  B
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  B ) )  e.  _V
246244, 231, 245fvmpt 5773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 B )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) ) )
24760, 246syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B )  =  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B ) ) )
24868, 69, 70, 108, 77, 78dvntaylp0 21836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B )  =  ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  B
) )
249248oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) ) )
250114, 60ffvelrnd 5843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B )  e.  CC )
251250subidd 9706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) )  =  0 )
252247, 249, 2513eqtrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0 )
253241, 252oveqan12rd 6110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  - 
0 ) )
254114ffvelrnda 5842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  e.  CC )
255132sselda 3355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
256157ffvelrnda 5842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  e.  CC )
257255, 256syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  e.  CC )
258254, 257subcld 9718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) )  e.  CC )
259258subid1d 9707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  - 
0 )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) ) )
260253, 259eqtr2d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) )  =  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) ) )
261236, 260sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  =  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  x
)  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) ) `  B ) ) )
262132ssdifssd 3493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
263262sselda 3355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  CC )
264132, 60sseldd 3356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
265264adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
266263, 265subcld 9718 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( x  -  B
)  e.  CC )
267266exp1d 12002 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( x  -  B ) ^ 1 )  =  ( x  -  B ) )
268261, 267oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
1 ) )  =  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) ) `  x )  -  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 B ) )  /  ( x  -  B ) ) )
269268mpteq2dva 4377 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) )
270269oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ 1 ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) )
271235, 270eleqtrrd 2519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) )
272271a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) ) )
273 taylthlem1.i . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
) ) )  -> 
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
274273expr 615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( 0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
)  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ ( n  +  1 ) ) ) ) lim CC  B
) ) )
275274expcom 435 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ph  ->  ( 0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
)  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ ( n  +  1 ) ) ) ) lim CC  B
) ) ) )
276275a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( ph  ->  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
) )  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ ( n  +  1 ) ) ) ) lim CC  B
) ) ) )
27715, 35, 47, 59, 272, 276fzind2 11636 . . 3  |-  ( N  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ N ) ) ) lim CC  B
) ) )
2783, 277mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) )
279119subidd 9706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
280279fveq2d 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  0
) )
281 dvn0 21397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  0
)  =  F )
282124, 84, 281syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) ` 
0 )  =  F )
283280, 282eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) )  =  F )
284283fveq1d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
285279fveq2d 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) )  =  ( ( CC  Dn
T ) `  0
) )
286 dvn0 21397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  T  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  (
( CC  Dn
T ) `  0
)  =  T )
287193, 199, 286sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) ` 
0 )  =  T )
288285, 287eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) )  =  T )
289288fveq1d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  =  ( T `  x ) )
290284, 289oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  =  ( ( F `  x )  -  ( T `  x )
) )
291290oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  N )
) `  x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) )  =  ( ( ( F `
 x )  -  ( T `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
292291mpteq2dv 4378 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( T `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) ) )
293 taylthlem1.r . . . 4  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
294292, 293syl6eqr 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ N ) ) )  =  R )
295294oveq1d 6105 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ N ) ) ) lim CC  B
)  =  ( R lim
CC  B ) )
296278, 295eleqtrd 2518 1  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2971    \ cdif 3324    i^i cin 3326    C_ wss 3327   {csn 3876   {cpr 3878   U.cuni 4090   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349   dom cdm 4839   Fun wfun 5411   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    ^m cmap 7213    ^pm cpm 7214   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284    - cmin 9594    / cdiv 9992   NNcn 10321   NN0cn0 10578   ZZ>=cuz 10860   ...cfz 11436  ..^cfzo 11547   ^cexp 11864   ↾t crest 14358   TopOpenctopn 14359  ℂfldccnfld 17817   Topctop 18497  TopOnctopon 18498   intcnt 18620   lim CC climc 21336    _D cdv 21337    Dncdvn 21338   Tayl ctayl 21817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-exp 11865  df-fac 12051  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965  df-sum 13163  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-hom 14261  df-cco 14262  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-pt 14382  df-prds 14385  df-xrs 14439  df-qtop 14444  df-imas 14445  df-xps 14447  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-mulg 15547  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-cring 16647  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-cnfld 17818  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-cld 18622  df-ntr 18623  df-cls 18624  df-nei 18701  df-lp 18739  df-perf 18740  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-haus 18918  df-tx 19134  df-hmeo 19327  df-fil 19418  df-fm 19510  df-flim 19511  df-flf 19512  df-tsms 19696  df-xms 19894  df-ms 19895  df-tms 19896  df-cncf 20453  df-limc 21340  df-dv 21341  df-dvn 21342  df-tayl 21819
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