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Theorem taylthlem1 21722
Description: Lemma for taylth 21724. This is the main part of Taylor's theorem, except for the induction step, which is supposed to be proven using L'Hôpital's rule. However, since our proof of L'Hôpital assumes that  S  =  RR, we can only do this part generically, and for taylth 21724 itself we must restrict to  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylthlem1.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
taylthlem1.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
taylthlem1.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
taylthlem1.d  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  A )
taylthlem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
taylthlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
taylthlem1.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
taylthlem1.r  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
taylthlem1.i  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
) ) )  -> 
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
Assertion
Ref Expression
taylthlem1  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    B, n, x, y    n, F, x, y    ph, n, x, y   
n, N, x, y    S, n, x, y    T, n, x, y
Allowed substitution hints:    R( x, y, n)

Proof of Theorem taylthlem1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylthlem1.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 elfz1end 11465 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( 1 ... N
) )
31, 2sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... N ) )
4 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  ( N  -  m )  =  ( N  - 
1 ) )
54fveq2d 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) )
65fveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )
74fveq2d 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) )
87fveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )
96, 8oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) ) )
10 oveq2 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
1 ) )
119, 10oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) )
1211mpteq2dv 4367 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) )
1312oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) )
1413eleq2d 2500 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) ) )
1514imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  1  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
16 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  n ) )
1716fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) )
1817fveq1d 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  n )
) `  x )
)
1916fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n ) ) )
2019fveq1d 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  x )
)
2118, 20oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  x
) ) )
22 oveq2 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
n ) )
2321, 22oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) ) )
2423mpteq2dv 4367 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) ) ) )
25 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)
26 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)
2725, 26oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) ) )
28 oveq1 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  B )  =  ( y  -  B ) )
2928oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  -  B
) ^ n )  =  ( ( y  -  B ) ^
n ) )
3027, 29oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ n
) ) )
3130cbvmptv 4371 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) ) )  =  ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) )
3224, 31syl6eq 2481 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ n
) ) ) )
3332oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( y  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) )
3433eleq2d 2500 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  <->  0  e.  ( ( y  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) ) )
3534imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( y  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
36 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  ( n  +  1
) ) )
3736fveq2d 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) )
3837fveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )
3936fveq2d 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) )
4039fveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )
4138, 40oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
) ) )
42 oveq2 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
( n  +  1 ) ) )
4341, 42oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ (
n  +  1 ) ) ) )
4443mpteq2dv 4367 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ (
n  +  1 ) ) ) ) )
4544oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
4645eleq2d 2500 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) )
4746imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
48 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  N  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  N ) )
4948fveq2d 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  N  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N ) ) )
5049fveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)
5148fveq2d 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  N  ->  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N ) ) )
5251fveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)
5350, 52oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) ) )
54 oveq2 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^ N ) )
5553, 54oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) )
5655mpteq2dv 4367 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) ) )
5756oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) )
5857eleq2d 2500 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) ) )
5958imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
60 taylthlem1.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
61 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  B )
)
62 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  B )
)
6361, 62oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  B )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  B
) ) )
64 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  y )
) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) )
65 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  B
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  B )
)  e.  _V
6663, 64, 65fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) ) `
 B )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  B ) ) )
6760, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 B ) ) )
68 taylthlem1.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
69 taylthlem1.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
70 taylthlem1.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
711nnnn0d 10623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
72 nn0uz 10882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
7371, 72syl6eleq 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
74 eluzfz2b 11446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
7573, 74sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
76 taylthlem1.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  A )
7760, 76eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  N
) )
78 taylthlem1.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
7968, 69, 70, 75, 77, 78dvntaylp0 21721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  B )  =  ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  B
) )
8079oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  B ) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  B ) ) )
81 cnex 9350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  _V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
83 elpm2r 7218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
8482, 68, 69, 70, 83syl22anc 1212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
85 dvnf 21242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 N ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) --> CC )
8668, 84, 71, 85syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N ) : dom  ( ( S  Dn F ) `  N ) --> CC )
8786, 77ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  B )  e.  CC )
8887subidd 9694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  B ) )  =  0 )
8967, 80, 883eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0 )
90 funmpt 5442 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) )
91 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  y )
)  e.  _V
9291, 64dmmpti 5528 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) )  =  A
9360, 92syl6eleqr 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) ) )
94 funbrfvb 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) )  /\  B  e. 
dom  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0  <->  B (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) ) 0 ) )
9590, 93, 94sylancr 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  y )
) ) `  B
)  =  0  <->  B
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) ) 0 ) )
9689, 95mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) 0 )
97 nnm1nn0 10608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
981, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
99 dvnf 21242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) : dom  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) --> CC )
10068, 84, 98, 99syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) : dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) --> CC )
101 dvnbss 21243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) )  C_  dom  F )
10268, 84, 98, 101syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) )  C_  dom  F )
103 fdm 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
10469, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
105102, 104sseqtrd 3380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) )  C_  A )
106 fzo0end 11602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
107 elfzofz 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
1081, 106, 1073syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
109 dvn2bss 21245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  N )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )
11068, 84, 108, 109syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )
11176, 110eqsstr3d 3379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) )
112105, 111eqssd 3361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) )  =  A )
113112feq2d 5535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) --> CC  <->  ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) : A --> CC ) )
114100, 113mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) : A --> CC )
115114ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  e.  CC )
11676feq2d 5535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) --> CC  <->  ( ( S  Dn
F ) `  N
) : A --> CC ) )
11786, 116mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N ) : A --> CC )
118117ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  e.  CC )
1191nncnd 10325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
120 1cnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
121119, 120npcand 9710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
122121fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
123 recnprss 21220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
12468, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
125 dvnp1 21240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
126124, 84, 98, 125syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
127122, 126eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
128117feqmptd 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
) ) )
129114feqmptd 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )
130129oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) )
131127, 128, 1303eqtr3rd 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y ) ) )
13270, 124sstrd 3354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
133132sselda 3344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  CC )
134 1nn0 10582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
136 elpm2r 7218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  -> 
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
13782, 68, 114, 70, 136syl22anc 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
138 dvn1 21241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) )  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) `  1 )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) ) )
139124, 137, 138syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) `
 1 )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
140126, 122eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
141139, 140eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) `
 1 )  =  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
142141dmeqd 5029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) `  1 )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
14377, 142eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) ) ` 
1 ) )
144 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B )  =  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) ) B )
14568, 114, 70, 135, 143, 144taylpf 21715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) ) B ) : CC --> CC )
146120, 119pncan3d 9709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( N  -  1 ) )  =  N )
147146oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
148147, 78syl6reqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  =  ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl  F ) B ) )
149148oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  Dn
T )  =  ( CC  Dn ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl  F
) B ) ) )
150149fveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) )  =  ( ( CC  Dn
( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  ( N  -  1 ) ) )
151146fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
152151dmeqd 5029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
15377, 152eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  (
1  +  ( N  -  1 ) ) ) )
15468, 69, 70, 98, 135, 153dvntaylp 21720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( 1  +  ( N  - 
1 ) ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( N  -  1 ) )  =  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) )
155150, 154eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) )  =  ( 1 ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) )
156155feq1d 5534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) : CC --> CC  <->  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) : CC --> CC ) )
157145, 156mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) : CC --> CC )
158157ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  e.  CC )
159133, 158syldan 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  e.  CC )
160 0nn0 10581 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
162 elpm2r 7218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  -> 
( ( S  Dn F ) `  N )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
16382, 68, 117, 70, 162syl22anc 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
164 dvn0 21239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
( S  Dn
F ) `  N
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  N ) ) `  0 )  =  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
165124, 163, 164syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 N ) ) `
 0 )  =  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
166165dmeqd 5029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  N ) ) `  0 )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
16777, 166eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
( ( S  Dn F ) `  N ) ) ` 
0 ) )
168 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B )  =  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B )
16968, 117, 70, 161, 167, 168taylpf 21715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B ) : CC --> CC )
170119addid2d 9557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 0  +  N
)  =  N )
171170oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
172171, 78syl6eqr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B )  =  T )
173172oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  Dn
( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B ) )  =  ( CC  Dn T ) )
174173fveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( 0  +  N ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  N
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  N ) )
175170fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( 0  +  N
) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
176175dmeqd 5029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( 0  +  N ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
17777, 176eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  (
0  +  N ) ) )
17868, 69, 70, 71, 161, 177dvntaylp 21720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( 0  +  N ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  N
)  =  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B ) )
179174, 178eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  N )  =  ( 0 ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  N
) ) B ) )
180179feq1d 5534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) : CC --> CC  <->  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B ) : CC --> CC ) )
181169, 180mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  N ) : CC --> CC )
182181ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  y )  e.  CC )
183133, 182syldan 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
)  e.  CC )
184124sselda 3344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
185184, 158syldan 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  e.  CC )
186184, 182syldan 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
)  e.  CC )
187 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
188187cnfldtopon 20203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
189 toponmax 18374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
190188, 189mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
191 df-ss 3330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  CC  <->  ( S  i^i  CC )  =  S )
192124, 191sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  CC )  =  S )
193 ssid 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
194193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
195 mapsspm 7234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
^m  CC )  C_  ( CC  ^pm  CC )
19668, 69, 70, 71, 77, 78taylpf 21715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T : CC --> CC )
19781, 81elmap 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  ( CC  ^m  CC )  <->  T : CC --> CC )
198196, 197sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  e.  ( CC 
^m  CC ) )
199195, 198sseldi 3342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  T  e.  ( CC 
^pm  CC ) )
200 dvnp1 21240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  T  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( N  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( CC  Dn T ) `
 ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( CC  _D  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
201194, 199, 98, 200syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
202121fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( CC  Dn
T ) `  N
) )
203201, 202eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( CC  Dn
T ) `  N
) )
204157feqmptd 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )
205204oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) )
206181feqmptd 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  N )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) )
207203, 205, 2063eqtr3d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) )
208187, 68, 190, 192, 158, 182, 207dvmptres3 21271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  S  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) )
209 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
210 resttopon 18606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
211188, 124, 210sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
212 topontop 18372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
213211, 212syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
214 toponuni 18373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )
215211, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
21670, 215sseqtrd 3380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
217 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  S )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S )
218217ntrss2 18502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  A  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  C_  A
)
219213, 216, 218syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  C_  A
)
220140dmeqd 5029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
221220, 76eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )  =  A )
222124, 114, 70, 209, 187dvbssntr 21216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )  C_  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A ) )
223221, 222eqsstr3d 3379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  A
) )
224219, 223eqssd 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  =  A )
22568, 185, 186, 208, 70, 209, 187, 224dvmptres2 21277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) )
22668, 115, 118, 131, 159, 183, 225dvmptsub 21282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) )
227226breqd 4291 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) ) 0  <->  B
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) ) 0 ) )
22896, 227mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) ) 0 )
229 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  x
)  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) ) `  B ) )  / 
( x  -  B
) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  /  (
x  -  B ) ) )
230115, 159subcld 9706 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) )  e.  CC )
231 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )
232230, 231fmptd 5855 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) : A --> CC )
233209, 187, 229, 124, 232, 70eldv 21214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) ) 0  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  A
)  /\  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  /  (
x  -  B ) ) ) lim CC  B
) ) ) )
234228, 233mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  /\  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  /  (
x  -  B ) ) ) lim CC  B
) ) )
235234simprd 460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) )
236 eldifi 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  ->  x  e.  A )
237 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )
238 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )
239237, 238oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) ) )
240 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  e.  _V
241239, 231, 240fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) ) )
242 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B ) )
243 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  B ) )
244242, 243oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  B
) ) )
245 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  B
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  B ) )  e.  _V
246244, 231, 245fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 B )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) ) )
24760, 246syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B )  =  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B ) ) )
24868, 69, 70, 108, 77, 78dvntaylp0 21721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B )  =  ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  B
) )
249248oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) ) )
250114, 60ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B )  e.  CC )
251250subidd 9694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) )  =  0 )
252247, 249, 2513eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0 )
253241, 252oveqan12rd 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  - 
0 ) )
254114ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  e.  CC )
255132sselda 3344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
256157ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  e.  CC )
257255, 256syldan 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  e.  CC )
258254, 257subcld 9706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) )  e.  CC )
259258subid1d 9695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  - 
0 )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) ) )
260253, 259eqtr2d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) )  =  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) ) )
261236, 260sylan2 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  =  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  x
)  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) ) `  B ) ) )
262132ssdifssd 3482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
263262sselda 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  CC )
264132, 60sseldd 3345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
265264adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
266263, 265subcld 9706 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( x  -  B
)  e.  CC )
267266exp1d 11986 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( x  -  B ) ^ 1 )  =  ( x  -  B ) )
268261, 267oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
1 ) )  =  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) ) `  x )  -  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 B ) )  /  ( x  -  B ) ) )
269268mpteq2dva 4366 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) )
270269oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ 1 ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) )
271235, 270eleqtrrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) )
272271a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) ) )
273 taylthlem1.i . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
) ) )  -> 
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
274273expr 610 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( 0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
)  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ ( n  +  1 ) ) ) ) lim CC  B
) ) )
275274expcom 435 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ph  ->  ( 0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
)  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ ( n  +  1 ) ) ) ) lim CC  B
) ) ) )
276275a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( ph  ->  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
) )  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ ( n  +  1 ) ) ) ) lim CC  B
) ) ) )
27715, 35, 47, 59, 272, 276fzind2 11620 . . 3  |-  ( N  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ N ) ) ) lim CC  B
) ) )
2783, 277mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) )
279119subidd 9694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
280279fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  0
) )
281 dvn0 21239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  0
)  =  F )
282124, 84, 281syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) ` 
0 )  =  F )
283280, 282eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) )  =  F )
284283fveq1d 5681 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
285279fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) )  =  ( ( CC  Dn
T ) `  0
) )
286 dvn0 21239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  T  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  (
( CC  Dn
T ) `  0
)  =  T )
287193, 199, 286sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) ` 
0 )  =  T )
288285, 287eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) )  =  T )
289288fveq1d 5681 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  =  ( T `  x ) )
290284, 289oveq12d 6098 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  =  ( ( F `  x )  -  ( T `  x )
) )
291290oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  N )
) `  x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) )  =  ( ( ( F `
 x )  -  ( T `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
292291mpteq2dv 4367 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( T `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) ) )
293 taylthlem1.r . . . 4  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
294292, 293syl6eqr 2483 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ N ) ) )  =  R )
295294oveq1d 6095 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ N ) ) ) lim CC  B
)  =  ( R lim
CC  B ) )
296278, 295eleqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    i^i cin 3315    C_ wss 3316   {csn 3865   {cpr 3867   U.cuni 4079   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   dom cdm 4827   Fun wfun 5400   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    ^m cmap 7202    ^pm cpm 7203   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    - cmin 9582    / cdiv 9980   NNcn 10309   NN0cn0 10566   ZZ>=cuz 10848   ...cfz 11423  ..^cfzo 11531   ^cexp 11848   ↾t crest 14341   TopOpenctopn 14342  ℂfldccnfld 17661   Topctop 18339  TopOnctopon 18340   intcnt 18462   lim CC climc 21178    _D cdv 21179    Dncdvn 21180   Tayl ctayl 21702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-clim 12949  df-sum 13147  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-grp 15524  df-minusg 15525  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-abl 16259  df-mgp 16565  df-rng 16579  df-cring 16580  df-ur 16581  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-tsms 19538  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-dvn 21184  df-tayl 21704
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