Theorem taylthlem1 20242

Description: Lemma for taylth 20244. This is the main part of Taylor's theorem, except for the induction step, which is supposed to be proven using L'Hôpital's rule. However, since our proof of L'Hôpital assumes that S = RR, we can only do this part generically, and for taylth 20244 itself we must restrict to RR. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylthlem1.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
taylthlem1.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
taylthlem1.a	|- ( ph -> A C_ S )
taylthlem1.d	|- ( ph -> dom ( ( S D n F ) ` N ) = A )
taylthlem1.n	|- ( ph -> N e. NN )
taylthlem1.b	|- ( ph -> B e. A )
taylthlem1.t	|- T = ( N ( S Tayl F ) B )
taylthlem1.r	|- R = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( F ` x ) - ( T ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) )
taylthlem1.i	|- ( ( ph /\ ( n e. ( 1..^ N ) /\ 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) ) ) -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) )

Assertion

Ref	Expression
taylthlem1	|- ( ph -> 0 e. ( R lim CC B ) )

Distinct variable groups:   x, n, y, A   B, n, x, y   n, F, x, y   ph, n, x, y   n, N, x, y   S, n, x, y   T, n, x, y

Allowed substitution hints:   R( x, y, n)

Proof of Theorem taylthlem1

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylthlem1.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
2		elfz1end 11037	. . . 4 |- ( N e. NN <-> N e. ( 1 ... N ) )
3	1, 2	sylib 189	. . 3 |- ( ph -> N e. ( 1 ... N ) )
4		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = 1 -> ( N - m ) = ( N - 1 ) )
5	4	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = 1 -> ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) = ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) )
6	5	fveq1d 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 1 -> ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) )
7	4	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = 1 -> ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) = ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) )
8	7	fveq1d 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 1 -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) )
9	6, 8	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( m = 1 -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) = ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) )
10		oveq2 6048	. . . . . . . . 9 |- ( m = 1 -> ( ( x - B ) ^ m ) = ( ( x - B ) ^ 1 ) )
11	9, 10	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( m = 1 -> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) = ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) )
12	11	mpteq2dv 4256	. . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) )
13	12	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) = ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) lim CC B ) )
14	13	eleq2d 2471	. . . . 5 |- ( m = 1 -> ( 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) <-> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) lim CC B ) ) )
15	14	imbi2d 308	. . . 4 |- ( m = 1 -> ( ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) ) <-> ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) lim CC B ) ) ) )
16		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( N - m ) = ( N - n ) )
17	16	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) = ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) )
18	17	fveq1d 5689	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` x ) )
19	16	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) = ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) )
20	19	fveq1d 5689	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` x ) )
21	18, 20	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) = ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` x ) ) )
22		oveq2 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( x - B ) ^ m ) = ( ( x - B ) ^ n ) )
23	21, 22	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) = ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ n ) ) )
24	23	mpteq2dv 4256	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ n ) ) ) )
25		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` x ) = ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` y ) )
26		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` x ) = ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` y ) )
27	25, 26	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` x ) ) = ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) )
28		oveq1 6047	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x - B ) = ( y - B ) )
29	28	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( x - B ) ^ n ) = ( ( y - B ) ^ n ) )
30	27, 29	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ n ) ) = ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) )
31	30	cbvmptv 4260	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ n ) ) ) = ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) )
32	24, 31	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) = ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) )
33	32	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) = ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) )
34	33	eleq2d 2471	. . . . 5 |- ( m = n -> ( 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) <-> 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) ) )
35	34	imbi2d 308	. . . 4 |- ( m = n -> ( ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) ) <-> ( ph -> 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) ) ) )
36		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( N - m ) = ( N - ( n + 1 ) ) )
37	36	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) = ( ( S D n F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) )
38	37	fveq1d 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( S D n F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) )
39	36	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) = ( ( CC D n T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) )
40	39	fveq1d 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( CC D n T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) )
41	38, 40	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) = ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) )
42		oveq2 6048	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( x - B ) ^ m ) = ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) )
43	41, 42	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) = ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) )
44	43	mpteq2dv 4256	. . . . . . 7 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) )
45	44	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) = ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) )
46	45	eleq2d 2471	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) <-> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) ) )
47	46	imbi2d 308	. . . 4 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) ) <-> ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) ) ) )
48		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = N -> ( N - m ) = ( N - N ) )
49	48	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = N -> ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) = ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) )
50	49	fveq1d 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) )
51	48	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = N -> ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) = ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) )
52	51	fveq1d 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) = ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) )
53	50, 52	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) = ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) )
54		oveq2 6048	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( ( x - B ) ^ m ) = ( ( x - B ) ^ N ) )
55	53, 54	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) = ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) )
56	55	mpteq2dv 4256	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) )
57	56	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) = ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) lim CC B ) )
58	57	eleq2d 2471	. . . . 5 |- ( m = N -> ( 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) <-> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) lim CC B ) ) )
59	58	imbi2d 308	. . . 4 |- ( m = N -> ( ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) lim CC B ) ) <-> ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) lim CC B ) ) ) )
60		taylthlem1.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. A )
61		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = B -> ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) = ( ( ( S D n F ) ` N ) ` B ) )
62		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = B -> ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) = ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` B ) )
63	61, 62	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = B -> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) = ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` B ) ) )
64		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) )
65		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` B ) ) e. _V
66	63, 64, 65	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. A -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) ` B ) = ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` B ) ) )
67	60, 66	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) ` B ) = ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` B ) ) )
68		taylthlem1.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
69		taylthlem1.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : A --> CC )
70		taylthlem1.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ S )
71	1	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. NN0 )
72		nn0uz 10476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
73	71, 72	syl6eleq 2494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
74		eluzfz2b 11022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> N e. ( 0 ... N ) )
75	73, 74	sylib 189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( 0 ... N ) )
76		taylthlem1.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( ( S D n F ) ` N ) = A )
77	60, 76	eleqtrrd 2481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. dom ( ( S D n F ) ` N ) )
78		taylthlem1.t	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = ( N ( S Tayl F ) B )
79	68, 69, 70, 75, 77, 78	dvntaylp0 20241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` B ) = ( ( ( S D n F ) ` N ) ` B ) )
80	79	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` B ) ) = ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( S D n F ) ` N ) ` B ) ) )
81		cnex 9027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC e. _V
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> CC e. _V )
83		elpm2r 6993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( F : A --> CC /\ A C_ S ) ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
84	82, 68, 69, 70, 83	syl22anc 1185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm S ) )
85		dvnf 19766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S D n F ) ` N ) : dom ( ( S D n F ) ` N ) --> CC )
86	68, 84, 71, 85	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` N ) : dom ( ( S D n F ) ` N ) --> CC )
87	86, 77	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( S D n F ) ` N ) ` B ) e. CC )
88	87	subidd 9355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` B ) - ( ( ( S D n F ) ` N ) ` B ) ) = 0 )
89	67, 80, 88	3eqtrd 2440	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) ` B ) = 0 )
90		funmpt 5448	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) )
91		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) e. _V
92	91, 64	dmmpti 5533	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) = A
93	60, 92	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. dom ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) )
94		funbrfvb 5728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) /\ B e. dom ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) ) -> ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) ` B ) = 0 <-> B ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) 0 ) )
95	90, 93, 94	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) ` B ) = 0 <-> B ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) 0 ) )
96	89, 95	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) 0 )
97		nnm1nn0 10217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
98	1, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
99		dvnf 19766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) : dom ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) --> CC )
100	68, 84, 98, 99	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) : dom ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) --> CC )
101		dvnbss 19767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> dom ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) C_ dom F )
102	68, 84, 98, 101	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) C_ dom F )
103		fdm 5554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
104	69, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom F = A )
105	102, 104	sseqtrd 3344	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) C_ A )
106		fzo0end 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. ( 0..^ N ) )
107		elfzofz 11109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N - 1 ) e. ( 0..^ N ) -> ( N - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
108	1, 106, 107	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
109		dvn2bss 19769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ ( N - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> dom ( ( S D n F ) ` N ) C_ dom ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) )
110	68, 84, 108, 109	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( ( S D n F ) ` N ) C_ dom ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) )
111	76, 110	eqsstr3d 3343	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ dom ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) )
112	105, 111	eqssd 3325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) = A )
113	112	feq2d 5540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) : dom ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) --> CC <-> ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) : A --> CC ) )
114	100, 113	mpbid 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) : A --> CC )
115	114	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) e. CC )
116	76	feq2d 5540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( S D n F ) ` N ) : dom ( ( S D n F ) ` N ) --> CC <-> ( ( S D n F ) ` N ) : A --> CC ) )
117	86, 116	mpbid 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` N ) : A --> CC )
118	117	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) e. CC )
119	1	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. CC )
120		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. CC )
122	119, 121	npcand 9371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
123	122	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( S D n F ) ` N ) )
124		recnprss 19744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
125	68, 124	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S C_ CC )
126		dvnp1 19764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( S D n F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( S _D ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
127	125, 84, 98, 126	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( S _D ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
128	123, 127	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` N ) = ( S _D ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
129	117	feqmptd 5738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` N ) = ( y e. A |-> ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) ) )
130	114	feqmptd 5738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) )
131	130	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S _D ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) = ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) )
132	128, 129, 131	3eqtr3rd 2445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) ) )
133	70, 125	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ CC )
134	133	sselda 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. CC )
135		1nn0 10193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN0
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
137		elpm2r 6993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) : A --> CC /\ A C_ S ) ) -> ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) e. ( CC ^pm S ) )
138	82, 68, 114, 70, 137	syl22anc 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) e. ( CC ^pm S ) )
139		dvn1 19765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S C_ CC /\ ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S D n ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) ` 1 ) = ( S _D ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
140	125, 138, 139	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( S D n ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) ` 1 ) = ( S _D ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
141	127, 123	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( S _D ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) = ( ( S D n F ) ` N ) )
142	140, 141	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( S D n ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) ` 1 ) = ( ( S D n F ) ` N ) )
143	142	dmeqd 5031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( ( S D n ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) ` 1 ) = dom ( ( S D n F ) ` N ) )
144	77, 143	eleqtrrd 2481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. dom ( ( S D n ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) ` 1 ) )
145		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ( S Tayl ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) B ) = ( 1 ( S Tayl ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) B )
146	68, 114, 70, 136, 144, 145	taylpf 20235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ( S Tayl ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) B ) : CC --> CC )
147	121, 119	pncan3d 9370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 1 + ( N - 1 ) ) = N )
148	147	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 1 + ( N - 1 ) ) ( S Tayl F ) B ) = ( N ( S Tayl F ) B ) )
149	148, 78	syl6reqr 2455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T = ( ( 1 + ( N - 1 ) ) ( S Tayl F ) B ) )
150	149	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( CC D n T ) = ( CC D n ( ( 1 + ( N - 1 ) ) ( S Tayl F ) B ) ) )
151	150	fveq1d 5689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) = ( ( CC D n ( ( 1 + ( N - 1 ) ) ( S Tayl F ) B ) ) ` ( N - 1 ) ) )
152	147	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` ( 1 + ( N - 1 ) ) ) = ( ( S D n F ) ` N ) )
153	152	dmeqd 5031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom ( ( S D n F ) ` ( 1 + ( N - 1 ) ) ) = dom ( ( S D n F ) ` N ) )
154	77, 153	eleqtrrd 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. dom ( ( S D n F ) ` ( 1 + ( N - 1 ) ) ) )
155	68, 69, 70, 98, 136, 154	dvntaylp 20240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( CC D n ( ( 1 + ( N - 1 ) ) ( S Tayl F ) B ) ) ` ( N - 1 ) ) = ( 1 ( S Tayl ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) B ) )
156	151, 155	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) = ( 1 ( S Tayl ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) B ) )
157	156	feq1d 5539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) : CC --> CC <-> ( 1 ( S Tayl ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) B ) : CC --> CC ) )
158	146, 157	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) : CC --> CC )
159	158	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) e. CC )
160	134, 159	syldan 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) e. CC )
161		0nn0 10192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. NN0
162	161	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
163		elpm2r 6993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( ( ( S D n F ) ` N ) : A --> CC /\ A C_ S ) ) -> ( ( S D n F ) ` N ) e. ( CC ^pm S ) )
164	82, 68, 117, 70, 163	syl22anc 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` N ) e. ( CC ^pm S ) )
165		dvn0 19763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S C_ CC /\ ( ( S D n F ) ` N ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S D n ( ( S D n F ) ` N ) ) ` 0 ) = ( ( S D n F ) ` N ) )
166	125, 164, 165	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( S D n ( ( S D n F ) ` N ) ) ` 0 ) = ( ( S D n F ) ` N ) )
167	166	dmeqd 5031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( ( S D n ( ( S D n F ) ` N ) ) ` 0 ) = dom ( ( S D n F ) ` N ) )
168	77, 167	eleqtrrd 2481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. dom ( ( S D n ( ( S D n F ) ` N ) ) ` 0 ) )
169		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 ( S Tayl ( ( S D n F ) ` N ) ) B ) = ( 0 ( S Tayl ( ( S D n F ) ` N ) ) B )
170	68, 117, 70, 162, 168, 169	taylpf 20235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 ( S Tayl ( ( S D n F ) ` N ) ) B ) : CC --> CC )
171	119	addid2d 9223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 0 + N ) = N )
172	171	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 0 + N ) ( S Tayl F ) B ) = ( N ( S Tayl F ) B ) )
173	172, 78	syl6eqr 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 0 + N ) ( S Tayl F ) B ) = T )
174	173	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( CC D n ( ( 0 + N ) ( S Tayl F ) B ) ) = ( CC D n T ) )
175	174	fveq1d 5689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( CC D n ( ( 0 + N ) ( S Tayl F ) B ) ) ` N ) = ( ( CC D n T ) ` N ) )
176	171	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` ( 0 + N ) ) = ( ( S D n F ) ` N ) )
177	176	dmeqd 5031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom ( ( S D n F ) ` ( 0 + N ) ) = dom ( ( S D n F ) ` N ) )
178	77, 177	eleqtrrd 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. dom ( ( S D n F ) ` ( 0 + N ) ) )
179	68, 69, 70, 71, 162, 178	dvntaylp 20240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( CC D n ( ( 0 + N ) ( S Tayl F ) B ) ) ` N ) = ( 0 ( S Tayl ( ( S D n F ) ` N ) ) B ) )
180	175, 179	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( CC D n T ) ` N ) = ( 0 ( S Tayl ( ( S D n F ) ` N ) ) B ) )
181	180	feq1d 5539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( CC D n T ) ` N ) : CC --> CC <-> ( 0 ( S Tayl ( ( S D n F ) ` N ) ) B ) : CC --> CC ) )
182	170, 181	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( CC D n T ) ` N ) : CC --> CC )
183	182	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) e. CC )
184	134, 183	syldan 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) e. CC )
185	125	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> y e. CC )
186	185, 159	syldan 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) e. CC )
187	185, 183	syldan 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) e. CC )
188		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
189	188	cnfldtopon 18770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
190		toponmax 16948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
191	189, 190	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
192		df-ss 3294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ CC <-> ( S i^i CC ) = S )
193	125, 192	sylib 189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S i^i CC ) = S )
194		ssid 3327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC C_ CC
195	194	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> CC C_ CC )
196		mapsspm 7006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( CC ^m CC ) C_ ( CC ^pm CC )
197	68, 69, 70, 71, 77, 78	taylpf 20235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T : CC --> CC )
198	81, 81	elmap 7001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T e. ( CC ^m CC ) <-> T : CC --> CC )
199	197, 198	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> T e. ( CC ^m CC ) )
200	196, 199	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> T e. ( CC ^pm CC ) )
201		dvnp1 19764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( CC C_ CC /\ T e. ( CC ^pm CC ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( CC D n T ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( CC _D ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ) )
202	195, 200, 98, 201	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( CC D n T ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( CC _D ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ) )
203	122	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( CC D n T ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( CC D n T ) ` N ) )
204	202, 203	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( CC _D ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ) = ( ( CC D n T ) ` N ) )
205	158	feqmptd 5738	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) = ( y e. CC |-> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) )
206	205	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( CC _D ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ) = ( CC _D ( y e. CC |-> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) )
207	182	feqmptd 5738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( CC D n T ) ` N ) = ( y e. CC |-> ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) )
208	204, 206, 207	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) )
209	188, 68, 191, 193, 159, 183, 208	dvmptres3 19795	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S _D ( y e. S |-> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) = ( y e. S |-> ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) )
210		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
211		resttopon 17179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
212	189, 125, 211	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
213		topontop 16946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top )
214	212, 213	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top )
215		toponuni 16947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
216	212, 215	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
217	70, 216	sseqtrd 3344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
218		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
219	218	ntrss2 17076	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top /\ A C_ U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
220	214, 217, 219	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
221	141	dmeqd 5031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( S _D ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) = dom ( ( S D n F ) ` N ) )
222	221, 76	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( S _D ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) = A )
223	125, 114, 70, 210, 188	dvbssntr 19740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( S _D ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ) C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) )
224	222, 223	eqsstr3d 3343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) )
225	220, 224	eqssd 3325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) = A )
226	68, 186, 187, 209, 70, 210, 188, 225	dvmptres2 19801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) )
227	68, 115, 118, 132, 160, 184, 226	dvmptsub 19806	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) )
228	227	breqd 4183	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ) 0 <-> B ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` N ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` N ) ` y ) ) ) 0 ) )
229	96, 228	mpbird 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ) 0 )
230		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) )
231	115, 160	subcld 9367	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) e. CC )
232		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) )
233	231, 232	fmptd 5852	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) : A --> CC )
234	210, 188, 230, 125, 233, 70	eldv 19738	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ( S _D ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ) 0 <-> ( B e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) /\ 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) ) lim CC B ) ) ) )
235	229, 234	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` A ) /\ 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) ) lim CC B ) ) )
236	235	simprd 450	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) ) lim CC B ) )
237		eldifi 3429	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A \ { B } ) -> x e. A )
238		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) = ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) )
239		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) = ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) )
240	238, 239	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) = ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) )
241		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) e. _V
242	240, 232, 241	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) )
243		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = B -> ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) = ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) )
244		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = B -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) = ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) )
245	243, 244	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = B -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) = ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) )
246		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) e. _V
247	245, 232, 246	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. A -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) = ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) )
248	60, 247	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) = ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) )
249	68, 69, 70, 108, 77, 78	dvntaylp0 20241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) = ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) )
250	249	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) = ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) )
251	114, 60	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) e. CC )
252	251	subidd 9355	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) - ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` B ) ) = 0 )
253	248, 250, 252	3eqtrd 2440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) = 0 )
254	242, 253	oveqan12rd 6060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) = ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) - 0 ) )
255	114	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) e. CC )
256	133	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. CC )
257	158	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) e. CC )
258	256, 257	syldan 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) e. CC )
259	255, 258	subcld 9367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) e. CC )
260	259	subid1d 9356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) - 0 ) = ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) )
261	254, 260	eqtr2d 2437	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) = ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) )
262	237, 261	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) = ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) )
263	133	ssdifssd 3445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A \ { B } ) C_ CC )
264	263	sselda 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> x e. CC )
265	133, 60	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. CC )
266	265	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> B e. CC )
267	264, 266	subcld 9367	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( x - B ) e. CC )
268	267	exp1d 11473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( x - B ) ^ 1 ) = ( x - B ) )
269	262, 268	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) = ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) )
270	269	mpteq2dva 4255	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) ) )
271	270	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) lim CC B ) = ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` x ) - ( ( y e. A |-> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` y ) ) ) ` B ) ) / ( x - B ) ) ) lim CC B ) )
272	236, 271	eleqtrrd 2481	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) lim CC B ) )
273	272	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - 1 ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ 1 ) ) ) lim CC B ) ) )
274		taylthlem1.i	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1..^ N ) /\ 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) ) ) -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) )
275	274	expr 599	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1..^ N ) ) -> ( 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) ) )
276	275	expcom 425	. . . . 5 |- ( n e. ( 1..^ N ) -> ( ph -> ( 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) ) ) )
277	276	a2d 24	. . . 4 |- ( n e. ( 1..^ N ) -> ( ( ph -> 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - n ) ) ` y ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - n ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ n ) ) ) lim CC B ) ) -> ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - ( n + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( n + 1 ) ) ) ) lim CC B ) ) ) )
278	15, 35, 47, 59, 273, 277	fzind2 11153	. . 3 |- ( N e. ( 1 ... N ) -> ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) lim CC B ) ) )
279	3, 278	mpcom 34	. 2 |- ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) lim CC B ) )
280	119	subidd 9355	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - N ) = 0 )
281	280	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) = ( ( S D n F ) ` 0 ) )
282		dvn0 19763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S D n F ) ` 0 ) = F )
283	125, 84, 282	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` 0 ) = F )
284	281, 283	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) = F )
285	284	fveq1d 5689	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
286	280	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) = ( ( CC D n T ) ` 0 ) )
287		dvn0 19763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( CC C_ CC /\ T e. ( CC ^pm CC ) ) -> ( ( CC D n T ) ` 0 ) = T )
288	194, 200, 287	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( CC D n T ) ` 0 ) = T )
289	286, 288	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) = T )
290	289	fveq1d 5689	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) = ( T ` x ) )
291	285, 290	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) = ( ( F ` x ) - ( T ` x ) ) )
292	291	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) = ( ( ( F ` x ) - ( T ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) )
293	292	mpteq2dv 4256	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( F ` x ) - ( T ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) )
294		taylthlem1.r	. . . 4 |- R = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( F ` x ) - ( T ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) )
295	293, 294	syl6eqr 2454	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) = R )
296	295	oveq1d 6055	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( S D n F ) ` ( N - N ) ) ` x ) - ( ( ( CC D n T ) ` ( N - N ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) lim CC B ) = ( R lim CC B ) )
297	279, 296	eleqtrd 2480	1 |- ( ph -> 0 e. ( R lim CC B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   i^i cin 3279   C_ wss 3280   {csn 3774   {cpr 3775   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ^m cmap 6977   ^pm cpm 6978   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   ^cexp 11337   ↾_t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂ_fldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   intcnt 17036   lim CC climc 19702   _D cdv 19703   D ncdvn 19704   Tayl ctayl 20222

This theorem is referenced by:  taylth  20244

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-tsms 18109  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-dvn 19708  df-tayl 20224