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Theorem taylthlem1 23058
Description: Lemma for taylth 23060. This is the main part of Taylor's theorem, except for the induction step, which is supposed to be proven using L'Hôpital's rule. However, since our proof of L'Hôpital assumes that  S  =  RR, we can only do this part generically, and for taylth 23060 itself we must restrict to  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylthlem1.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
taylthlem1.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
taylthlem1.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
taylthlem1.d  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  A )
taylthlem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
taylthlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
taylthlem1.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
taylthlem1.r  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
taylthlem1.i  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
) ) )  -> 
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
Assertion
Ref Expression
taylthlem1  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    B, n, x, y    n, F, x, y    ph, n, x, y   
n, N, x, y    S, n, x, y    T, n, x, y
Allowed substitution hints:    R( x, y, n)

Proof of Theorem taylthlem1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylthlem1.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 elfz1end 11767 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( 1 ... N
) )
31, 2sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... N ) )
4 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  ( N  -  m )  =  ( N  - 
1 ) )
54fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) )
65fveq1d 5850 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )
74fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) )
87fveq1d 5850 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )
96, 8oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) ) )
10 oveq2 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
1 ) )
119, 10oveq12d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) )
1211mpteq2dv 4481 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) )
1312oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) )
1413eleq2d 2472 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) ) )
1514imbi2d 314 . . . 4  |-  ( m  =  1  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
16 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  n ) )
1716fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) )
1817fveq1d 5850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  n )
) `  x )
)
1916fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n ) ) )
2019fveq1d 5850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  x )
)
2118, 20oveq12d 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  x
) ) )
22 oveq2 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
n ) )
2321, 22oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) ) )
2423mpteq2dv 4481 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) ) ) )
25 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)
26 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)
2725, 26oveq12d 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) ) )
28 oveq1 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  B )  =  ( y  -  B ) )
2928oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  -  B
) ^ n )  =  ( ( y  -  B ) ^
n ) )
3027, 29oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ n
) ) )
3130cbvmptv 4486 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) ) )  =  ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) )
3224, 31syl6eq 2459 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  n ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ n
) ) ) )
3332oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( y  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) )
3433eleq2d 2472 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  <->  0  e.  ( ( y  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) ) )
3534imbi2d 314 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( y  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  n
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
36 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  ( n  +  1
) ) )
3736fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) )
3837fveq1d 5850 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )
3936fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) )
4039fveq1d 5850 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )
4138, 40oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
) ) )
42 oveq2 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
( n  +  1 ) ) )
4341, 42oveq12d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ (
n  +  1 ) ) ) )
4443mpteq2dv 4481 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ (
n  +  1 ) ) ) ) )
4544oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
4645eleq2d 2472 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) )
4746imbi2d 314 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
48 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  N  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  N ) )
4948fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  N  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N ) ) )
5049fveq1d 5850 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)
5148fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  N  ->  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N ) ) )
5251fveq1d 5850 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)
5350, 52oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) ) )
54 oveq2 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^ N ) )
5553, 54oveq12d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) )
5655mpteq2dv 4481 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) ) )
5756oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) )
5857eleq2d 2472 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  m
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) ) )
5958imbi2d 314 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  m
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ m ) ) ) lim CC  B
) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
60 taylthlem1.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
61 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  B )
)
62 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  B )
)
6361, 62oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  B )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  B
) ) )
64 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  y )
) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) )
65 ovex 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  B
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  B )
)  e.  _V
6663, 64, 65fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) ) `
 B )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  B ) ) )
6760, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 B ) ) )
68 taylthlem1.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
69 taylthlem1.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
70 taylthlem1.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
711nnnn0d 10892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
72 nn0uz 11160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
7371, 72syl6eleq 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
74 eluzfz2b 11747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
7573, 74sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
76 taylthlem1.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  A )
7760, 76eleqtrrd 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  N
) )
78 taylthlem1.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
7968, 69, 70, 75, 77, 78dvntaylp0 23057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  B )  =  ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  B
) )
8079oveq2d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  B ) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  B ) ) )
81 cnex 9602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  _V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
83 elpm2r 7473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
8482, 68, 69, 70, 83syl22anc 1231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
85 dvnf 22620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 N ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) --> CC )
8668, 84, 71, 85syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N ) : dom  ( ( S  Dn F ) `  N ) --> CC )
8786, 77ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  B )  e.  CC )
8887subidd 9954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  B ) )  =  0 )
8967, 80, 883eqtrd 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0 )
90 funmpt 5604 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) )
91 ovex 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  y )
)  e.  _V
9291, 64dmmpti 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) )  =  A
9360, 92syl6eleqr 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) ) )
94 funbrfvb 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) )  /\  B  e. 
dom  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0  <->  B (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) ) 0 ) )
9590, 93, 94sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  y )
) ) `  B
)  =  0  <->  B
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) ) 0 ) )
9689, 95mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) 0 )
97 nnm1nn0 10877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
981, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
99 dvnf 22620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) : dom  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) --> CC )
10068, 84, 98, 99syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) : dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) --> CC )
101 dvnbss 22621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) )  C_  dom  F )
10268, 84, 98, 101syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) )  C_  dom  F )
103 fdm 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
10469, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
105102, 104sseqtrd 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) )  C_  A )
106 fzo0end 11939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
107 elfzofz 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
1081, 106, 1073syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
109 dvn2bss 22623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  N )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )
11068, 84, 108, 109syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )
11176, 110eqsstr3d 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) )
112105, 111eqssd 3458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) )  =  A )
113112feq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) --> CC  <->  ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) : A --> CC ) )
114100, 113mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) : A --> CC )
115114ffvelrnda 6008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  e.  CC )
11676feq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) --> CC  <->  ( ( S  Dn
F ) `  N
) : A --> CC ) )
11786, 116mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N ) : A --> CC )
118117ffvelrnda 6008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
)  e.  CC )
1191nncnd 10591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
120 1cnd 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
121119, 120npcand 9970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
122121fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
123 recnprss 22598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
12468, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
125 dvnp1 22618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
126124, 84, 98, 125syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
127122, 126eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
128117feqmptd 5901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `  y
) ) )
129114feqmptd 5901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )
130129oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) )
131127, 128, 1303eqtr3rd 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  y ) ) )
13270, 124sstrd 3451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
133132sselda 3441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  CC )
134 1nn0 10851 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
136 elpm2r 7473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  -> 
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
13782, 68, 114, 70, 136syl22anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
138 dvn1 22619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) )  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) `  1 )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) ) )
139124, 137, 138syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) `
 1 )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
140126, 122eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
141139, 140eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) `
 1 )  =  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
142141dmeqd 5025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) `  1 )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
14377, 142eleqtrrd 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) ) ` 
1 ) )
144 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B )  =  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) ) B )
14568, 114, 70, 135, 143, 144taylpf 23051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) ) B ) : CC --> CC )
146120, 119pncan3d 9969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( N  -  1 ) )  =  N )
147146oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
148147, 78syl6reqr 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  =  ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl  F ) B ) )
149148oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  Dn
T )  =  ( CC  Dn ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl  F
) B ) ) )
150149fveq1d 5850 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) )  =  ( ( CC  Dn
( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  ( N  -  1 ) ) )
151146fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
152151dmeqd 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
15377, 152eleqtrrd 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  (
1  +  ( N  -  1 ) ) ) )
15468, 69, 70, 98, 135, 153dvntaylp 23056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( 1  +  ( N  - 
1 ) ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( N  -  1 ) )  =  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) )
155150, 154eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) )  =  ( 1 ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) )
156155feq1d 5699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) : CC --> CC  <->  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) : CC --> CC ) )
157145, 156mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) : CC --> CC )
158157ffvelrnda 6008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  e.  CC )
159133, 158syldan 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  e.  CC )
160 0nn0 10850 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
162 elpm2r 7473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  -> 
( ( S  Dn F ) `  N )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
16382, 68, 117, 70, 162syl22anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
164 dvn0 22617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
( S  Dn
F ) `  N
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  N ) ) `  0 )  =  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
165124, 163, 164syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 N ) ) `
 0 )  =  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
166165dmeqd 5025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  N ) ) `  0 )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
16777, 166eleqtrrd 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
( ( S  Dn F ) `  N ) ) ` 
0 ) )
168 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B )  =  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B )
16968, 117, 70, 161, 167, 168taylpf 23051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B ) : CC --> CC )
170119addid2d 9814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 0  +  N
)  =  N )
171170oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
172171, 78syl6eqr 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B )  =  T )
173172oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  Dn
( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B ) )  =  ( CC  Dn T ) )
174173fveq1d 5850 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( 0  +  N ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  N
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  N ) )
175170fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( 0  +  N
) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
176175dmeqd 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( 0  +  N ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
17777, 176eleqtrrd 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  (
0  +  N ) ) )
17868, 69, 70, 71, 161, 177dvntaylp 23056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( 0  +  N ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  N
)  =  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B ) )
179174, 178eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  N )  =  ( 0 ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  N
) ) B ) )
180179feq1d 5699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) : CC --> CC  <->  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  N ) ) B ) : CC --> CC ) )
181169, 180mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  N ) : CC --> CC )
182181ffvelrnda 6008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  Dn
T ) `  N
) `  y )  e.  CC )
183133, 182syldan 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
)  e.  CC )
184124sselda 3441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
185184, 158syldan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  e.  CC )
186184, 182syldan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
)  e.  CC )
187 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
188187cnfldtopon 21580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
189 toponmax 19719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
190188, 189mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
191 df-ss 3427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  CC  <->  ( S  i^i  CC )  =  S )
192124, 191sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  CC )  =  S )
193 ssid 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
194193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
195 mapsspm 7489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
^m  CC )  C_  ( CC  ^pm  CC )
19668, 69, 70, 71, 77, 78taylpf 23051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T : CC --> CC )
19781, 81elmap 7484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  ( CC  ^m  CC )  <->  T : CC --> CC )
198196, 197sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  e.  ( CC 
^m  CC ) )
199195, 198sseldi 3439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  T  e.  ( CC 
^pm  CC ) )
200 dvnp1 22618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  T  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( N  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( CC  Dn T ) `
 ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( CC  _D  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
201194, 199, 98, 200syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
202121fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( CC  Dn
T ) `  N
) )
203201, 202eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( CC  Dn
T ) `  N
) )
204157feqmptd 5901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )
205204oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) )
206181feqmptd 5901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  N )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `  y
) ) )
207203, 205, 2063eqtr3d 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) )
208187, 68, 190, 192, 158, 182, 207dvmptres3 22649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  S  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) )
209 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
210 resttopon 19953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
211188, 124, 210sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
212 topontop 19717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
213211, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
214 toponuni 19718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )
215211, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
21670, 215sseqtrd 3477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
217 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  S )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S )
218217ntrss2 19848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  A  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  C_  A
)
219213, 216, 218syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  C_  A
)
220140dmeqd 5025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
221220, 76eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )  =  A )
222124, 114, 70, 209, 187dvbssntr 22594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) )  C_  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A ) )
223221, 222eqsstr3d 3476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  A
) )
224219, 223eqssd 3458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  =  A )
22568, 185, 186, 208, 70, 209, 187, 224dvmptres2 22655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) )
22668, 115, 118, 131, 159, 183, 225dvmptsub 22660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  N ) `
 y ) ) ) )
227226breqd 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) ) 0  <->  B
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 N ) `  y ) ) ) 0 ) )
22896, 227mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) ) 0 )
229 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  x
)  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) ) `  B ) )  / 
( x  -  B
) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  /  (
x  -  B ) ) )
230115, 159subcld 9966 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) )  e.  CC )
231 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) )
232230, 231fmptd 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) : A --> CC )
233209, 187, 229, 124, 232, 70eldv 22592 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) ) 0  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  A
)  /\  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  /  (
x  -  B ) ) ) lim CC  B
) ) ) )
234228, 233mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  /\  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  /  (
x  -  B ) ) ) lim CC  B
) ) )
235234simprd 461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) )
236 eldifi 3564 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  ->  x  e.  A )
237 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )
238 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )
239237, 238oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) ) )
240 ovex 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  e.  _V
241239, 231, 240fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) ) )
242 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B ) )
243 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  =  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  B ) )
244242, 243oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  B
) ) )
245 ovex 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  B
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  B ) )  e.  _V
246244, 231, 245fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 B )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) ) )
24760, 246syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B )  =  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B ) ) )
24868, 69, 70, 108, 77, 78dvntaylp0 23057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B )  =  ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  B
) )
249248oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) ) )
250114, 60ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B )  e.  CC )
251250subidd 9954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) )  =  0 )
252247, 249, 2513eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0 )
253241, 252oveqan12rd 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  - 
0 ) )
254114ffvelrnda 6008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  e.  CC )
255132sselda 3441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
256157ffvelrnda 6008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  e.  CC )
257255, 256syldan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  e.  CC )
258254, 257subcld 9966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) )  e.  CC )
259258subid1d 9955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  - 
0 )  =  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) ) )
260253, 259eqtr2d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) )  =  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) ) )
261236, 260sylan2 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  =  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  y
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  x
)  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) ) `  B ) ) )
262132ssdifssd 3580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
263262sselda 3441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  CC )
264132, 60sseldd 3442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
265264adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
266263, 265subcld 9966 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( x  -  B
)  e.  CC )
267266exp1d 12347 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( x  -  B ) ^ 1 )  =  ( x  -  B ) )
268261, 267oveq12d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
1 ) )  =  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  y
) ) ) `  x )  -  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 B ) )  /  ( x  -  B ) ) )
269268mpteq2dva 4480 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) )
270269oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ 1 ) ) ) lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) )
271235, 270eleqtrrd 2493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) )
272271a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  1
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) ) )
273 taylthlem1.i . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
) ) )  -> 
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
274273expr 613 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( 0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
)  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ ( n  +  1 ) ) ) ) lim CC  B
) ) )
275274expcom 433 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ph  ->  ( 0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
)  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ ( n  +  1 ) ) ) ) lim CC  B
) ) ) )
276275a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( ph  ->  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  n
) ) `  y
) )  /  (
( y  -  B
) ^ n ) ) ) lim CC  B
) )  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  (
n  +  1 ) ) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ ( n  +  1 ) ) ) ) lim CC  B
) ) ) )
27715, 35, 47, 59, 272, 276fzind2 11959 . . 3  |-  ( N  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ N ) ) ) lim CC  B
) ) )
2783, 277mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) ) `  x
)  -  ( ( ( CC  Dn
T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) )
279119subidd 9954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
280279fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  0
) )
281 dvn0 22617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  0
)  =  F )
282124, 84, 281syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) ` 
0 )  =  F )
283280, 282eqtrd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N
) )  =  F )
284283fveq1d 5850 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
285279fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) )  =  ( ( CC  Dn
T ) `  0
) )
286 dvn0 22617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  T  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  (
( CC  Dn
T ) `  0
)  =  T )
287193, 199, 286sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) ` 
0 )  =  T )
288285, 287eqtrd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) )  =  T )
289288fveq1d 5850 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  =  ( T `  x ) )
290284, 289oveq12d 6295 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  Dn F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  =  ( ( F `  x )  -  ( T `  x )
) )
291290oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( S  Dn
F ) `  ( N  -  N )
) `  x )  -  ( ( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) )  =  ( ( ( F `
 x )  -  ( T `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
292291mpteq2dv 4481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( T `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) ) )
293 taylthlem1.r . . . 4  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
294292, 293syl6eqr 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ N ) ) )  =  R )
295294oveq1d 6292 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  Dn T ) `  ( N  -  N
) ) `  x
) )  /  (
( x  -  B
) ^ N ) ) ) lim CC  B
)  =  ( R lim
CC  B ) )
296278, 295eleqtrd 2492 1  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    i^i cin 3412    C_ wss 3413   {csn 3971   {cpr 3973   U.cuni 4190   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   dom cdm 4822   Fun wfun 5562   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456    ^pm cpm 7457   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    - cmin 9840    / cdiv 10246   NNcn 10575   NN0cn0 10835   ZZ>=cuz 11126   ...cfz 11724  ..^cfzo 11852   ^cexp 12208   ↾t crest 15033   TopOpenctopn 15034  ℂfldccnfld 18738   Topctop 19684  TopOnctopon 19685   intcnt 19808   lim CC climc 22556    _D cdv 22557    Dncdvn 22558   Tayl ctayl 23038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-tsms 20915  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561  df-dvn 22562  df-tayl 23040
This theorem is referenced by:  taylth  23060
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