Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply2 Structured version   Unicode version

Theorem taylply2 23188
 Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) . This version of taylply 23189 shows that the coefficients of are in a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s
taylpfval.f
taylpfval.a
taylpfval.n
taylpfval.b
taylpfval.t Tayl
taylply2.1 SubRingfld
taylply2.2
taylply2.3
Assertion
Ref Expression
taylply2 Poly deg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem taylply2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . . . . 5
2 taylpfval.f . . . . 5
3 taylpfval.a . . . . 5
4 taylpfval.n . . . . 5
5 taylpfval.b . . . . 5
6 taylpfval.t . . . . 5 Tayl
71, 2, 3, 4, 5, 6taylpfval 23185 . . . 4
8 simpr 462 . . . . . 6
9 cnex 9619 . . . . . . . . . . . . 13
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
11 elpm2r 7497 . . . . . . . . . . . 12
1210, 1, 2, 3, 11syl22anc 1265 . . . . . . . . . . 11
13 dvnbss 22759 . . . . . . . . . . 11
141, 12, 4, 13syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10
15 fdm 5750 . . . . . . . . . . 11
162, 15syl 17 . . . . . . . . . 10
1714, 16sseqtrd 3506 . . . . . . . . 9
18 recnprss 22736 . . . . . . . . . . 11
191, 18syl 17 . . . . . . . . . 10
203, 19sstrd 3480 . . . . . . . . 9
2117, 20sstrd 3480 . . . . . . . 8
2221, 5sseldd 3471 . . . . . . 7
2322adantr 466 . . . . . 6
248, 23subcld 9985 . . . . 5
25 df-idp 23011 . . . . . . . 8
26 mptresid 5179 . . . . . . . 8
2725, 26eqtr4i 2461 . . . . . . 7
2827a1i 11 . . . . . 6
29 fconstmpt 4898 . . . . . . 7
3029a1i 11 . . . . . 6
3110, 8, 23, 28, 30offval2 6562 . . . . 5
32 eqidd 2430 . . . . 5
33 oveq1 6312 . . . . . . 7
3433oveq2d 6321 . . . . . 6
3534sumeq2sdv 13748 . . . . 5
3624, 31, 32, 35fmptco 6071 . . . 4
377, 36eqtr4d 2473 . . 3
38 taylply2.1 . . . . . 6 SubRingfld
39 cnfldbas 18909 . . . . . . 7 fld
4039subrgss 17944 . . . . . 6 SubRingfld
4138, 40syl 17 . . . . 5
42 taylply2.3 . . . . 5
4341, 4, 42elplyd 23024 . . . 4 Poly
44 cnfld1 18928 . . . . . . . 8 fld
4544subrg1cl 17951 . . . . . . 7 SubRingfld
4638, 45syl 17 . . . . . 6
47 plyid 23031 . . . . . 6 Poly
4841, 46, 47syl2anc 665 . . . . 5 Poly
49 taylply2.2 . . . . . 6
50 plyconst 23028 . . . . . 6 Poly
5141, 49, 50syl2anc 665 . . . . 5 Poly
52 subrgsubg 17949 . . . . . . 7 SubRingfld SubGrpfld
5338, 52syl 17 . . . . . 6 SubGrpfld
54 cnfldadd 18910 . . . . . . . 8 fld
5554subgcl 16778 . . . . . . 7 SubGrpfld
56553expb 1206 . . . . . 6 SubGrpfld
5753, 56sylan 473 . . . . 5
58 cnfldmul 18911 . . . . . . . 8 fld
5958subrgmcl 17955 . . . . . . 7 SubRingfld
60593expb 1206 . . . . . 6 SubRingfld
6138, 60sylan 473 . . . . 5
62 ax-1cn 9596 . . . . . . 7
63 cnfldneg 18929 . . . . . . 7 fld
6462, 63ax-mp 5 . . . . . 6 fld
65 eqid 2429 . . . . . . . 8 fld fld
6665subginvcl 16777 . . . . . . 7 SubGrpfld fld
6753, 46, 66syl2anc 665 . . . . . 6 fld
6864, 67syl5eqelr 2522 . . . . 5
6948, 51, 57, 61, 68plysub 23041 . . . 4 Poly
7043, 69, 57, 61plyco 23063 . . 3 Poly
7137, 70eqeltrd 2517 . 2 Poly
7237fveq2d 5885 . . . 4 deg deg
73 eqid 2429 . . . . 5 deg deg
74 eqid 2429 . . . . 5 deg deg
7573, 74, 43, 69dgrco 23097 . . . 4 deg deg deg
76 eqid 2429 . . . . . . . . 9
7776plyremlem 23125 . . . . . . . 8 Poly deg
7822, 77syl 17 . . . . . . 7 Poly deg
7978simp2d 1018 . . . . . 6 deg
8079oveq2d 6321 . . . . 5 deg deg deg
81 dgrcl 23055 . . . . . . . 8 Poly deg
8243, 81syl 17 . . . . . . 7 deg
8382nn0cnd 10927 . . . . . 6 deg
8483mulid1d 9659 . . . . 5 deg deg
8580, 84eqtrd 2470 . . . 4 deg deg deg
8672, 75, 853eqtrd 2474 . . 3 deg deg
871adantr 466 . . . . . . 7
8812adantr 466 . . . . . . 7
89 elfznn0 11885 . . . . . . . 8
9089adantl 467 . . . . . . 7
91 dvnf 22758 . . . . . . 7
9287, 88, 90, 91syl3anc 1264 . . . . . 6
93 simpr 462 . . . . . . . 8
94 dvn2bss 22761 . . . . . . . 8
9587, 88, 93, 94syl3anc 1264 . . . . . . 7
965adantr 466 . . . . . . 7
9795, 96sseldd 3471 . . . . . 6
9892, 97ffvelrnd 6038 . . . . 5
99 faccl 12466 . . . . . . 7
10090, 99syl 17 . . . . . 6
101100nncnd 10625 . . . . 5
102100nnne0d 10654 . . . . 5
10398, 101, 102divcld 10382 . . . 4
10443, 4, 103, 32dgrle 23065 . . 3 deg
10586, 104eqbrtrd 4446 . 2 deg
10671, 105jca 534 1 Poly deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087   wss 3442  csn 4002  cpr 4004   class class class wbr 4426   cmpt 4484   cid 4764   cxp 4852  ccnv 4853   cdm 4854   cres 4856  cima 4857   ccom 4858  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cof 6543   cpm 7481  cc 9536  cr 9537  cc0 9538  c1 9539   caddc 9541   cmul 9543   cle 9675   cmin 9859  cneg 9860   cdiv 10268  cn 10609  cn0 10869  cfz 11782  cexp 12269  cfa 12456  csu 13730  cminusg 16621  SubGrpcsubg 16762  SubRingcsubrg 17939  ℂfldccnfld 18905   cdvn 22696  Polycply 23006  cidp 23007  degcdgr 23009   Tayl ctayl 23173 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-subrg 17941  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tsms 21072  df-xms 21266  df-ms 21267  df-0p 22505  df-limc 22698  df-dv 22699  df-dvn 22700  df-ply 23010  df-idp 23011  df-coe 23012  df-dgr 23013  df-tayl 23175 This theorem is referenced by:  taylply  23189  taylthlem2  23194
 Copyright terms: Public domain W3C validator