MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylplem1 Structured version   Unicode version

Theorem taylplem1 21954
Description: Lemma for taylpfval 21956 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
taylpfval.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
taylpfval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
taylpfval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
taylpfval.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  N
) )
Assertion
Ref Expression
taylplem1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  Dn F ) `
 k ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, F    k, N    ph, k    S, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem taylplem1
StepHypRef Expression
1 0z 10761 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
2 taylpfval.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
32nn0zd 10849 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4 fzval2 11550 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) )
51, 3, 4sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) )
65eleq2d 2521 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... N )  <-> 
k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) ) )
76biimpar 485 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) )  ->  k  e.  ( 0 ... N
) )
8 taylpfval.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
9 cnex 9467 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
11 taylpfval.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
12 taylpfval.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
13 elpm2r 7333 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
1410, 8, 11, 12, 13syl22anc 1220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
158, 14jca 532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) ) )
16 dvn2bss 21530 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  N )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  k ) )
17163expa 1188 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  k ) )
1815, 17sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  N )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  k ) )
19 taylpfval.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  N
) )
2019adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
2118, 20sseldd 3458 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  Dn F ) `
 k ) )
227, 21syldan 470 1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  Dn F ) `
 k ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071    i^i cin 3428    C_ wss 3429   {cpr 3980   dom cdm 4941   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    ^pm cpm 7318   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   [,]cicc 11407   ...cfz 11547    Dncdvn 21465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fi 7765  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-icc 11411  df-fz 11548  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-rest 14472  df-topn 14473  df-topgen 14493  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-limc 21467  df-dv 21468  df-dvn 21469
This theorem is referenced by:  taylplem2  21955  taylpfval  21956  dvtaylp  21961  dvntaylp0  21963
  Copyright terms: Public domain W3C validator