MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylpf Structured version   Unicode version

Theorem taylpf 22490
Description: The Taylor polynomial is a function on the complex numbers (even if the base set of the original function is the reals). (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
taylpfval.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
taylpfval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
taylpfval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
taylpfval.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  N
) )
taylpfval.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
Assertion
Ref Expression
taylpf  |-  ( ph  ->  T : CC --> CC )

Proof of Theorem taylpf
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12041 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0 ... N )  e. 
Fin )
2 taylpfval.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
3 taylpfval.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
4 taylpfval.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
5 taylpfval.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 taylpfval.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  N
) )
72, 3, 4, 5, 6taylplem2 22488 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) )  e.  CC )
81, 7fsumcl 13506 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `  B
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^
k ) )  e.  CC )
9 eqid 2462 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `  B
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^
k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  Dn
F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) ) )
108, 9fmptd 6038 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) : CC --> CC )
11 taylpfval.t . . . 4  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
122, 3, 4, 5, 6, 11taylpfval 22489 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `  B
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^
k ) ) ) )
1312feq1d 5710 . 2  |-  ( ph  ->  ( T : CC --> CC 
<->  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) : CC --> CC ) )
1410, 13mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  T : CC --> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3471   {cpr 4024    |-> cmpt 4500   dom cdm 4994   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483    x. cmul 9488    - cmin 9796    / cdiv 10197   NN0cn0 10786   ...cfz 11663   ^cexp 12124   !cfa 12310   sum_csu 13459    Dncdvn 21998   Tayl ctayl 22477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-tsms 20355  df-xms 20553  df-ms 20554  df-limc 22000  df-dv 22001  df-dvn 22002  df-tayl 22479
This theorem is referenced by:  dvntaylp  22495  taylthlem1  22497
  Copyright terms: Public domain W3C validator