Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylfval Structured version   Unicode version

Theorem taylfval 23312
 Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally or ), is the function we are approximating, at point , to order . The result is a polynomial function of . This "extended" version of taylpfval 23318 additionally handles the case , in which case this is not a polynomial but an infinite series, the Taylor series of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s
taylfval.f
taylfval.a
taylfval.n
taylfval.b
taylfval.t Tayl
Assertion
Ref Expression
taylfval fld tsums
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem taylfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.t . 2 Tayl
2 df-tayl 23308 . . . . 5 Tayl fld tsums
32a1i 11 . . . 4 Tayl fld tsums
4 eqidd 2423 . . . . 5
5 oveq12 6314 . . . . . . . . 9
65ad2antlr 731 . . . . . . . 8
76fveq1d 5883 . . . . . . 7
87dmeqd 5056 . . . . . 6
98iineq2dv 4322 . . . . 5
107fveq1d 5883 . . . . . . . . . . 11
1110oveq1d 6320 . . . . . . . . . 10
1211oveq1d 6320 . . . . . . . . 9
1312mpteq2dva 4510 . . . . . . . 8
1413oveq2d 6321 . . . . . . 7 fld tsums fld tsums
1514xpeq2d 4877 . . . . . 6 fld tsums fld tsums
1615iuneq2d 4326 . . . . 5 fld tsums fld tsums
174, 9, 16mpt2eq123dv 6367 . . . 4 fld tsums fld tsums
18 simpr 462 . . . . 5
1918oveq2d 6321 . . . 4
20 taylfval.s . . . 4
21 cnex 9627 . . . . . 6
2221a1i 11 . . . . 5
23 taylfval.f . . . . 5
24 taylfval.a . . . . 5
25 elpm2r 7500 . . . . 5
2622, 20, 23, 24, 25syl22anc 1265 . . . 4
27 nn0ex 10882 . . . . . . 7
28 snex 4662 . . . . . . 7
2927, 28unex 6603 . . . . . 6
30 0xr 9694 . . . . . . . . . . 11
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10
32 nn0ssre 10880 . . . . . . . . . . . . 13
33 ressxr 9691 . . . . . . . . . . . . 13
3432, 33sstri 3473 . . . . . . . . . . . 12
35 pnfxr 11419 . . . . . . . . . . . . 13
36 snssi 4144 . . . . . . . . . . . . 13
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
3834, 37unssi 3641 . . . . . . . . . . 11
3938sseli 3460 . . . . . . . . . 10
40 elun 3606 . . . . . . . . . . 11
41 nn0ge0 10902 . . . . . . . . . . . 12
42 0lepnf 11440 . . . . . . . . . . . . 13
43 elsni 4023 . . . . . . . . . . . . 13
4442, 43syl5breqr 4460 . . . . . . . . . . . 12
4541, 44jaoi 380 . . . . . . . . . . 11
4640, 45sylbi 198 . . . . . . . . . 10
47 lbicc2 11755 . . . . . . . . . 10
4831, 39, 46, 47syl3anc 1264 . . . . . . . . 9
49 0z 10955 . . . . . . . . 9
50 inelcm 3849 . . . . . . . . 9
5148, 49, 50sylancl 666 . . . . . . . 8
52 fvex 5891 . . . . . . . . . 10
5352dmex 6740 . . . . . . . . 9
5453rgenw 2783 . . . . . . . 8
55 iinexg 4584 . . . . . . . 8
5651, 54, 55sylancl 666 . . . . . . 7
5756rgen 2781 . . . . . 6
58 eqid 2422 . . . . . . 7 fld tsums fld tsums
5958mpt2exxg 6881 . . . . . 6 fld tsums
6029, 57, 59mp2an 676 . . . . 5 fld tsums
6160a1i 11 . . . 4 fld tsums
623, 17, 19, 20, 26, 61ovmpt2dx 6437 . . 3 Tayl fld tsums
63 simprl 762 . . . . . . . . 9
6463oveq2d 6321 . . . . . . . 8
6564ineq1d 3663 . . . . . . 7
66 simprr 764 . . . . . . . . . 10
6766fveq2d 5885 . . . . . . . . 9
6867oveq1d 6320 . . . . . . . 8
6966oveq2d 6321 . . . . . . . . 9
7069oveq1d 6320 . . . . . . . 8
7168, 70oveq12d 6323 . . . . . . 7
7265, 71mpteq12dv 4502 . . . . . 6
7372oveq2d 6321 . . . . 5 fld tsums fld tsums
7473xpeq2d 4877 . . . 4 fld tsums fld tsums
7574iuneq2d 4326 . . 3 fld tsums fld tsums
76 simpr 462 . . . . . 6
7776oveq2d 6321 . . . . 5
7877ineq1d 3663 . . . 4
79 iineq1 4314 . . . 4
8078, 79syl 17 . . 3
81 taylfval.n . . . . 5
82 pnfex 11420 . . . . . . 7
8382elsnc2 4029 . . . . . 6
8483orbi2i 521 . . . . 5
8581, 84sylibr 215 . . . 4
86 elun 3606 . . . 4
8785, 86sylibr 215 . . 3
88 taylfval.b . . . . 5
8988ralrimiva 2836 . . . 4
90 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10
9190ineq1d 3663 . . . . . . . . 9
9291neeq1d 2697 . . . . . . . 8
9392, 51vtoclga 3145 . . . . . . 7
9487, 93syl 17 . . . . . 6
95 r19.2z 3888 . . . . . 6
9694, 89, 95syl2anc 665 . . . . 5
97 elex 3089 . . . . . 6
9897rexlimivw 2911 . . . . 5
99 eliin 4305 . . . . 5
10096, 98, 993syl 18 . . . 4
10189, 100mpbird 235 . . 3
102 snssi 4144 . . . . . . . 8
103102adantl 467 . . . . . . 7
10420, 23, 24, 81, 88taylfvallem 23311 . . . . . . 7 fld tsums
105 xpss12 4959 . . . . . . 7 fld tsums fld tsums
106103, 104, 105syl2anc 665 . . . . . 6 fld tsums
107106ralrimiva 2836 . . . . 5 fld tsums
108 iunss 4340 . . . . 5 fld tsums fld tsums
109107, 108sylibr 215 . . . 4 fld tsums
11021, 21xpex 6609 . . . . 5
111110ssex 4568 . . . 4 fld tsums fld tsums
112109, 111syl 17 . . 3 fld tsums
11362, 75, 80, 87, 101, 112ovmpt2dx 6437 . 2 Tayl fld tsums
1141, 113syl5eq 2475 1 fld tsums
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  wrex 2772  cvv 3080   cun 3434   cin 3435   wss 3436  c0 3761  csn 3998  cpr 4000  ciun 4299  ciin 4300   class class class wbr 4423   cmpt 4482   cxp 4851   cdm 4853  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307   cpm 7484  cc 9544  cr 9545  cc0 9546   cmul 9551   cpnf 9679  cxr 9681   cle 9683   cmin 9867   cdiv 10276  cn0 10876  cz 10944  cicc 11645  cexp 12278  cfa 12465  ℂfldccnfld 18969   tsums ctsu 21138   cdvn 22817   Tayl ctayl 23306 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-tsms 21139  df-xms 21333  df-ms 21334  df-limc 22819  df-dv 22820  df-dvn 22821  df-tayl 23308 This theorem is referenced by:  eltayl  23313  taylf  23314  taylpfval  23318
 Copyright terms: Public domain W3C validator