Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem taylf 23395
 Description: The Taylor series defines a function on a subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s
taylfval.f
taylfval.a
taylfval.n
taylfval.b
taylfval.t Tayl
Assertion
Ref Expression
taylf
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem taylf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.s . . . . . . 7
2 taylfval.f . . . . . . 7
3 taylfval.a . . . . . . 7
4 taylfval.n . . . . . . 7
5 taylfval.b . . . . . . 7
6 taylfval.t . . . . . . 7 Tayl
71, 2, 3, 4, 5, 6taylfval 23393 . . . . . 6 fld tsums
8 simpr 468 . . . . . . . . . 10
98snssd 4108 . . . . . . . . 9
101, 2, 3, 4, 5taylfvallem 23392 . . . . . . . . 9 fld tsums
11 xpss12 4945 . . . . . . . . 9 fld tsums fld tsums
129, 10, 11syl2anc 673 . . . . . . . 8 fld tsums
1312ralrimiva 2809 . . . . . . 7 fld tsums
14 iunss 4310 . . . . . . 7 fld tsums fld tsums
1513, 14sylibr 217 . . . . . 6 fld tsums
167, 15eqsstrd 3452 . . . . 5
17 relxp 4947 . . . . 5
18 relss 4927 . . . . 5
1916, 17, 18mpisyl 21 . . . 4
201, 2, 3, 4, 5, 6eltayl 23394 . . . . . . . 8 fld tsums
2120biimpd 212 . . . . . . 7 fld tsums
2221alrimiv 1781 . . . . . 6 fld tsums
23 cnfldbas 19051 . . . . . . . . 9 fld
24 cnring 19067 . . . . . . . . . 10 fld
25 ringcmn 17889 . . . . . . . . . 10 fld fld CMnd
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . 9 fld CMnd
27 cnfldtps 21876 . . . . . . . . . 10 fld
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 fld
29 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11
3029inex1 4537 . . . . . . . . . 10
3130a1i 11 . . . . . . . . 9
321, 2, 3, 4, 5taylfvallem1 23391 . . . . . . . . . 10
33 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
3432, 33fmptd 6061 . . . . . . . . 9
35 eqid 2471 . . . . . . . . 9 fld fld
3635cnfldhaus 21883 . . . . . . . . . 10 fld
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 fld
3823, 26, 28, 31, 34, 35, 37haustsms 21228 . . . . . . . 8 fld tsums
3938ex 441 . . . . . . 7 fld tsums
40 moanimv 2380 . . . . . . 7 fld tsums fld tsums
4139, 40sylibr 217 . . . . . 6 fld tsums
42 moim 2368 . . . . . 6 fld tsums fld tsums
4322, 41, 42sylc 61 . . . . 5
4443alrimiv 1781 . . . 4
45 dffun6 5604 . . . 4
4619, 44, 45sylanbrc 677 . . 3
47 funfn 5618 . . 3
4846, 47sylib 201 . 2
49 rnss 5069 . . . 4
5016, 49syl 17 . . 3
51 rnxpss 5275 . . 3
5250, 51syl6ss 3430 . 2
53 df-f 5593 . 2
5448, 52, 53sylanbrc 677 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 375   wa 376  wal 1450   wceq 1452   wcel 1904  wmo 2320  wral 2756  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  csn 3959  cpr 3961  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   cdm 4839   crn 4840   wrel 4844   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557   cmul 9562   cpnf 9690   cmin 9880   cdiv 10291  cn0 10893  cz 10961  cicc 11663  cexp 12310  cfa 12497  ctopn 15398  CMndccmn 17508  crg 17858  ℂfldccnfld 19047  ctps 19996  cha 20401   tsums ctsu 21218   cdvn 22898   Tayl ctayl 23387 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tsms 21219  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900  df-dv 22901  df-dvn 22902  df-tayl 23389 This theorem is referenced by:  tayl0  23396
 Copyright terms: Public domain W3C validator