Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  taupilemrplb Structured version   Unicode version

Theorem taupilemrplb 35710
Description: A set of positive reals has (in the reals) a lower bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
taupilemrplb  |-  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( RR+  i^i  A ) x  <_  y
Distinct variable groups:    x, y    x, A
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem taupilemrplb
StepHypRef Expression
1 0re 9407 . 2  |-  0  e.  RR
2 inss1 3591 . . . . 5  |-  ( RR+  i^i 
A )  C_  RR+
32sseli 3373 . . . 4  |-  ( y  e.  ( RR+  i^i  A
)  ->  y  e.  RR+ )
43rpge0d 11052 . . 3  |-  ( y  e.  ( RR+  i^i  A
)  ->  0  <_  y )
54rgen 2802 . 2  |-  A. y  e.  ( RR+  i^i  A ) 0  <_  y
6 breq1 4316 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  y  <->  0  <_  y ) )
76ralbidv 2756 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  ( RR+  i^i  A ) x  <_  y  <->  A. y  e.  ( RR+  i^i  A ) 0  <_  y )
)
87rspcev 3094 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. y  e.  ( RR+  i^i 
A ) 0  <_ 
y )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( RR+  i^i  A ) x  <_  y )
91, 5, 8mp2an 672 1  |-  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( RR+  i^i  A ) x  <_  y
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3348   class class class wbr 4313   RRcr 9302   0cc0 9303    <_ cle 9440   RR+crp 11012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-rp 11013
This theorem is referenced by:  taupilem2  35712  taupi  35713
  Copyright terms: Public domain W3C validator