Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  taupilemrplb Structured version   Unicode version

Theorem taupilemrplb 37796
Description: A set of positive reals has (in the reals) a lower bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
taupilemrplb  |-  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( RR+  i^i  A ) x  <_  y
Distinct variable groups:    x, y    x, A
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem taupilemrplb
StepHypRef Expression
1 0re 9613 . 2  |-  0  e.  RR
2 inss1 3714 . . . . 5  |-  ( RR+  i^i 
A )  C_  RR+
32sseli 3495 . . . 4  |-  ( y  e.  ( RR+  i^i  A
)  ->  y  e.  RR+ )
43rpge0d 11285 . . 3  |-  ( y  e.  ( RR+  i^i  A
)  ->  0  <_  y )
54rgen 2817 . 2  |-  A. y  e.  ( RR+  i^i  A ) 0  <_  y
6 breq1 4459 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  y  <->  0  <_  y ) )
76ralbidv 2896 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  ( RR+  i^i  A ) x  <_  y  <->  A. y  e.  ( RR+  i^i  A ) 0  <_  y )
)
87rspcev 3210 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. y  e.  ( RR+  i^i 
A ) 0  <_ 
y )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( RR+  i^i  A ) x  <_  y )
91, 5, 8mp2an 672 1  |-  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( RR+  i^i  A ) x  <_  y
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470   class class class wbr 4456   RRcr 9508   0cc0 9509    <_ cle 9646   RR+crp 11245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-rp 11246
This theorem is referenced by:  taupilem2  37798  taupi  37799
  Copyright terms: Public domain W3C validator