Theorem tarval2 15249

Description: Value of our tarski map.

Hypothesis

Ref	Expression
tarval2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
tarval2	|- (tarskiMap` A) = |^|{y | (A e. y /\ y e. Tarski )}

Distinct variable group:   y,A

Proof of Theorem tarval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tskmp 15248	. . 3 |- tarskiMap = {<.a, b>. | b = |^|{y | (a e. y /\ y e. Tarski )}}
2	1	fveq1i 4682	. 2 |- (tarskiMap` A) = ({<.a, b>. | b = |^|{y | (a e. y /\ y e. Tarski )}}` A)
3		tarval2.1	. . 3 |- A e. _V
4		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (E.y(A e. y /\ y e. Tarski ) -> A.xE.y(A e. y /\ y e. Tarski ))
5		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (x e. y <-> A e. y))
6	5	anbi1d 679	. . . . . . 7 |- (x = A -> ((x e. y /\ y e. Tarski ) <-> (A e. y /\ y e. Tarski )))
7	6	exbidv 1657	. . . . . 6 |- (x = A -> (E.y(x e. y /\ y e. Tarski ) <-> E.y(A e. y /\ y e. Tarski )))
8		axgroth5 10132	. . . . . . . 8 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y))
9		3anass 862	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. y /\ A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y)) <-> (x e. y /\ (A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y))))
10	9	bicomi 189	. . . . . . . . 9 |- ((x e. y /\ (A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y))) <-> (x e. y /\ A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y)))
11	10	exbii 1398	. . . . . . . 8 |- (E.y(x e. y /\ (A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y))) <-> E.y(x e. y /\ A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y)))
12	8, 11	mpbir 207	. . . . . . 7 |- E.y(x e. y /\ (A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y)))
13		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
14	13	tarval 15212	. . . . . . . . 9 |- (y e. Tarski <-> (A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y)))
15	14	anbi2i 538	. . . . . . . 8 |- ((x e. y /\ y e. Tarski ) <-> (x e. y /\ (A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y))))
16	15	exbii 1398	. . . . . . 7 |- (E.y(x e. y /\ y e. Tarski ) <-> E.y(x e. y /\ (A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y))))
17	12, 16	mpbir 207	. . . . . 6 |- E.y(x e. y /\ y e. Tarski )
18	4, 3, 7, 17	vtoclf 2338	. . . . 5 |- E.y(A e. y /\ y e. Tarski )
19		abn0 2892	. . . . 5 |- ({y | (A e. y /\ y e. Tarski )} =/= (/) <-> E.y(A e. y /\ y e. Tarski ))
20	18, 19	mpbir 207	. . . 4 |- {y | (A e. y /\ y e. Tarski )} =/= (/)
21		intex 3465	. . . 4 |- ({y | (A e. y /\ y e. Tarski )} =/= (/) <-> |^|{y | (A e. y /\ y e. Tarski )} e. _V)
22	20, 21	mpbi 206	. . 3 |- |^|{y | (A e. y /\ y e. Tarski )} e. _V
23		ax-17 1317	. . . . 5 |- (a = A -> A.y a = A)
24		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (a = A -> (a e. y <-> A e. y))
25	24	anbi1d 679	. . . . 5 |- (a = A -> ((a e. y /\ y e. Tarski ) <-> (A e. y /\ y e. Tarski )))
26	23, 25	abbid 2007	. . . 4 |- (a = A -> {y | (a e. y /\ y e. Tarski )} = {y | (A e. y /\ y e. Tarski )})
27	26	inteqd 3219	. . 3 |- (a = A -> |^|{y | (a e. y /\ y e. Tarski )} = |^|{y | (A e. y /\ y e. Tarski )})
28	3, 22, 27	fvopab 4753	. 2 |- ({<.a, b>. | b = |^|{y | (a e. y /\ y e. Tarski )}}` A) = |^|{y | (A e. y /\ y e. Tarski )}
29	2, 28	eqtri 1908	1 |- (tarskiMap` A) = |^|{y | (A e. y /\ y e. Tarski )}

Syntax hints:   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032  |^|cint 3214   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998   ~~ cen 5423   Tarski ctarski 15208  tarskiMapctarskim 15209

This theorem is referenced by:  tarval2g 15250

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-groth 10131

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-tsk 15210  df-tskmp 15248

Copyright terms: Public domain