Theorem tartarmap 15265

Description: The sequence tar has its values in a Tarski's class.

Assertion

Ref	Expression
tartarmap	|- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc B e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` B) C_ (tarskiMap` X))

Proof of Theorem tartarmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 3683	. . 3 |- ((Y e. On /\ suc B e. Y) -> suc B e. On)
2	1	3adant1 894	. 2 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc B e. Y) -> suc B e. On)
3		sucelon 3898	. . 3 |- (B e. On <-> suc B e. On)
4		suceq 3729	. . . . . . 7 |- (b = (/) -> suc b = suc (/))
5	4	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (b = (/) -> (suc b e. Y <-> suc (/) e. Y))
6	5	3anbi3d 1174	. . . . 5 |- (b = (/) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) <-> (X e. A /\ Y e. On /\ suc (/) e. Y)))
7		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (b = (/) -> ((tar` <.X, Y>.)` b) = ((tar` <.X, Y>.)` (/)))
8	7	sseq1d 2644	. . . . 5 |- (b = (/) -> (((tar` <.X, Y>.)` b) C_ (tarskiMap` X) <-> ((tar` <.X, Y>.)` (/)) C_ (tarskiMap` X)))
9	6, 8	imbi12d 688	. . . 4 |- (b = (/) -> (((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` b) C_ (tarskiMap` X)) <-> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc (/) e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` (/)) C_ (tarskiMap` X))))
10		suceq 3729	. . . . . . 7 |- (b = c -> suc b = suc c)
11	10	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (b = c -> (suc b e. Y <-> suc c e. Y))
12	11	3anbi3d 1174	. . . . 5 |- (b = c -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) <-> (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y)))
13		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (b = c -> ((tar` <.X, Y>.)` b) = ((tar` <.X, Y>.)` c))
14	13	sseq1d 2644	. . . . 5 |- (b = c -> (((tar` <.X, Y>.)` b) C_ (tarskiMap` X) <-> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)))
15	12, 14	imbi12d 688	. . . 4 |- (b = c -> (((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` b) C_ (tarskiMap` X)) <-> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X))))
16		suceq 3729	. . . . . . 7 |- (b = suc c -> suc b = suc suc c)
17	16	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (b = suc c -> (suc b e. Y <-> suc suc c e. Y))
18	17	3anbi3d 1174	. . . . 5 |- (b = suc c -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) <-> (X e. A /\ Y e. On /\ suc suc c e. Y)))
19		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (b = suc c -> ((tar` <.X, Y>.)` b) = ((tar` <.X, Y>.)` suc c))
20	19	sseq1d 2644	. . . . 5 |- (b = suc c -> (((tar` <.X, Y>.)` b) C_ (tarskiMap` X) <-> ((tar` <.X, Y>.)` suc c) C_ (tarskiMap` X)))
21	18, 20	imbi12d 688	. . . 4 |- (b = suc c -> (((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` b) C_ (tarskiMap` X)) <-> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` suc c) C_ (tarskiMap` X))))
22		suceq 3729	. . . . . . 7 |- (b = B -> suc b = suc B)
23	22	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (b = B -> (suc b e. Y <-> suc B e. Y))
24	23	3anbi3d 1174	. . . . 5 |- (b = B -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) <-> (X e. A /\ Y e. On /\ suc B e. Y)))
25		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (b = B -> ((tar` <.X, Y>.)` b) = ((tar` <.X, Y>.)` B))
26	25	sseq1d 2644	. . . . 5 |- (b = B -> (((tar` <.X, Y>.)` b) C_ (tarskiMap` X) <-> ((tar` <.X, Y>.)` B) C_ (tarskiMap` X)))
27	24, 26	imbi12d 688	. . . 4 |- (b = B -> (((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` b) C_ (tarskiMap` X)) <-> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc B e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` B) C_ (tarskiMap` X))))
28		vtare 15262	. . . . . 6 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ Y =/= (/)) -> ((tar` <.X, Y>.)` (/)) = {X})
29		ne0i 2881	. . . . . 6 |- (suc (/) e. Y -> Y =/= (/))
30	28, 29	syl3an3 1132	. . . . 5 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc (/) e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` (/)) = {X})
31		elttar 15253	. . . . . . 7 |- (X e. A -> X e. (tarskiMap` X))
32	31	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc (/) e. Y) -> X e. (tarskiMap` X))
33		snssg 3124	. . . . . . 7 |- (X e. A -> (X e. (tarskiMap` X) <-> {X} C_ (tarskiMap` X)))
34	33	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc (/) e. Y) -> (X e. (tarskiMap` X) <-> {X} C_ (tarskiMap` X)))
35	32, 34	mpbid 212	. . . . 5 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc (/) e. Y) -> {X} C_ (tarskiMap` X))
36	30, 35	eqsstrd 2651	. . . 4 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc (/) e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` (/)) C_ (tarskiMap` X))
37		inss2 2813	. . . . . 6 |- ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` c)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` c)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` c)) i^i (tarskiMap` X)) C_ (tarskiMap` X)
38		simp1 876	. . . . . . . . 9 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc suc c e. Y) -> X e. A)
39		simp2 877	. . . . . . . . 9 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc suc c e. Y) -> Y e. On)
40		eloni 3667	. . . . . . . . . . . 12 |- (Y e. On -> Ord Y)
41		ordtr 3672	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord Y -> Tr Y)
42	40, 41	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (Y e. On -> Tr Y)
43	42	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . 10 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc suc c e. Y) -> Tr Y)
44		simp3 878	. . . . . . . . . 10 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc suc c e. Y) -> suc suc c e. Y)
45		trsuc 3752	. . . . . . . . . 10 |- ((Tr Y /\ suc suc c e. Y) -> suc c e. Y)
46	43, 44, 45	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc suc c e. Y) -> suc c e. Y)
47	38, 39, 46	3jca 1050	. . . . . . . 8 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc suc c e. Y) -> (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y))
48	47	3ad2ant3 899	. . . . . . 7 |- ((c e. On /\ ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc suc c e. Y)) -> (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y))
49		vtarsu 15263	. . . . . . . 8 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` suc c) = ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` c)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` c)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` c)) i^i (tarskiMap` X)))
50	49	sseq1d 2644	. . . . . . 7 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> (((tar` <.X, Y>.)` suc c) C_ (tarskiMap` X) <-> ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` c)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` c)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` c)) i^i (tarskiMap` X)) C_ (tarskiMap` X)))
51	48, 50	syl 12	. . . . . 6 |- ((c e. On /\ ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc suc c e. Y)) -> (((tar` <.X, Y>.)` suc c) C_ (tarskiMap` X) <-> ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` c)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` c)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` c)) i^i (tarskiMap` X)) C_ (tarskiMap` X)))
52	37, 51	mpbiri 211	. . . . 5 |- ((c e. On /\ ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc suc c e. Y)) -> ((tar` <.X, Y>.)` suc c) C_ (tarskiMap` X))
53	52	3exp 1066	. . . 4 |- (c e. On -> (((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` suc c) C_ (tarskiMap` X))))
54		simp31 912	. . . . . . 7 |- ((Lim b /\ A.c e. b ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> X e. A)
55		simp32 913	. . . . . . 7 |- ((Lim b /\ A.c e. b ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> Y e. On)
56		ordsuccl2 14431	. . . . . . . . . . 11 |- ((Y e. On /\ suc b e. Y) -> b e. Y)
57	56	3adant1 894	. . . . . . . . . 10 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> b e. Y)
58	57	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((Lim b /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> b e. Y)
59		simpl 346	. . . . . . . . 9 |- ((Lim b /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> Lim b)
60	58, 59	jca 310	. . . . . . . 8 |- ((Lim b /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> (b e. Y /\ Lim b))
61	60	3adant2 895	. . . . . . 7 |- ((Lim b /\ A.c e. b ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> (b e. Y /\ Lim b))
62		vtarl 15264	. . . . . . 7 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ (b e. Y /\ Lim b)) -> ((tar` <.X, Y>.)` b) = U.((tar` <.X, Y>.)"b))
63	54, 55, 61, 62	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((Lim b /\ A.c e. b ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> ((tar` <.X, Y>.)` b) = U.((tar` <.X, Y>.)"b))
64		r19.27av 2224	. . . . . . . . . . 11 |- ((A.c e. b ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> A.c e. b (((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)))
65		ordon 3863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- Ord On
66		ordtr1 3707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (Ord On -> ((suc b e. Y /\ Y e. On) -> suc b e. On))
67	65, 66	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((suc b e. Y /\ Y e. On) -> suc b e. On)
68		sucelon 3898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (b e. On <-> suc b e. On)
69		eloni 3667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (b e. On -> Ord b)
70	68, 69	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (suc b e. On -> Ord b)
71	67, 70	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((suc b e. Y /\ Y e. On) -> Ord b)
72	71	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((Y e. On /\ suc b e. Y) -> Ord b)
73	72	3adant1 894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> Ord b)
74		ordsucelsuc 3902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (Ord b -> (c e. b <-> suc c e. suc b))
75		simpl1 879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) /\ suc c e. suc b) -> X e. A)
76		simpl2 880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) /\ suc c e. suc b) -> Y e. On)
77	40	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (X e. A -> (Y e. On -> Ord Y))
78		ordtr1 3707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (Ord Y -> ((suc c e. suc b /\ suc b e. Y) -> suc c e. Y))
79	78	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((suc c e. suc b /\ suc b e. Y) -> (Ord Y -> suc c e. Y))
80	79	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (suc c e. suc b -> (suc b e. Y -> (Ord Y -> suc c e. Y)))
81	80	com13 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (Ord Y -> (suc b e. Y -> (suc c e. suc b -> suc c e. Y)))
82	77, 81	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (X e. A -> (Y e. On -> (suc b e. Y -> (suc c e. suc b -> suc c e. Y))))
83	82	3imp1 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) /\ suc c e. suc b) -> suc c e. Y)
84	75, 76, 83	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) /\ suc c e. suc b) -> (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y))
85	84	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (suc c e. suc b -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y)))
86	74, 85	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (Ord b -> (c e. b -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y))))
87	73, 86	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> (c e. b -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y))))
88	87	pm2.43a 80	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> (c e. b -> (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y)))
89		pm5.31 387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) /\ ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X))) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> (((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y))))
90	89	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> (((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> (((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y)))))
91	90	pm2.43a 80	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> (((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) -> (((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y))))
92	88, 91	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> (c e. b -> (((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) -> (((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y)))))
93	92	com3r 39	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> (c e. b -> (((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y)))))
94	93	imp 377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> (c e. b -> (((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y))))
95	94	impcom 378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((c e. b /\ (((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y))) -> (((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y)))
96	95	ralimiaa 2167	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.c e. b (((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> A.c e. b (((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y)))
97		r19.26 2219	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.c e. b (((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y)) <-> (A.c e. b ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) /\ A.c e. b (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y)))
98		3simpa 872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> (X e. A /\ Y e. On))
99	98	ralimi 2168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.c e. b (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> A.c e. b (X e. A /\ Y e. On))
100		valtar 15260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((X e. A /\ Y e. On) -> (tar` <.X, Y>.) = (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y))
101		rdgfnon 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) Fn On
102		fnfun 4510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) Fn On -> Fun rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}))
103	101, 102	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- Fun rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})
104		funres 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (Fun rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) -> Fun (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y))
105	103, 104	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- Fun (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)
106		funeq 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((tar` <.X, Y>.) = (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) -> (Fun (tar` <.X, Y>.) <-> Fun (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)))
107	105, 106	mpbiri 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((tar` <.X, Y>.) = (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) -> Fun (tar` <.X, Y>.))
108	100, 107	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((X e. A /\ Y e. On) -> Fun (tar` <.X, Y>.))
109	108	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> Fun (tar` <.X, Y>.))
110	109	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((A.c e. b (X e. A /\ Y e. On) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> Fun (tar` <.X, Y>.))
111		ordsuccl3 14432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((Y e. On /\ suc b e. Y) -> b C_ Y)
112	111	3adant1 894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> b C_ Y)
113		valdom 15261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((X e. A /\ Y e. On) -> dom (tar` <.X, Y>.) = Y)
114	113	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> dom (tar` <.X, Y>.) = Y)
115	112, 114	sseqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> b C_ dom (tar` <.X, Y>.))
116	115	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((A.c e. b (X e. A /\ Y e. On) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> b C_ dom (tar` <.X, Y>.))
117	110, 116	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A.c e. b (X e. A /\ Y e. On) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> (Fun (tar` <.X, Y>.) /\ b C_ dom (tar` <.X, Y>.)))
118	117	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.c e. b (X e. A /\ Y e. On) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> (Fun (tar` <.X, Y>.) /\ b C_ dom (tar` <.X, Y>.))))
119		funimass4 4722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((Fun (tar` <.X, Y>.) /\ b C_ dom (tar` <.X, Y>.)) -> (((tar` <.X, Y>.)"b) C_ ~P(tarskiMap` X) <-> A.c e. b ((tar` <.X, Y>.)` c) e. ~P(tarskiMap` X)))
120		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((tar` <.X, Y>.)` c) e. _V
121	120	elpw 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((tar` <.X, Y>.)` c) e. ~P(tarskiMap` X) <-> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X))
122	121	ralbii 2127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.c e. b ((tar` <.X, Y>.)` c) e. ~P(tarskiMap` X) <-> A.c e. b ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X))
123	119, 122	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((Fun (tar` <.X, Y>.) /\ b C_ dom (tar` <.X, Y>.)) -> (((tar` <.X, Y>.)"b) C_ ~P(tarskiMap` X) <-> A.c e. b ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)))
124		uniss 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((tar` <.X, Y>.)"b) C_ ~P(tarskiMap` X) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ U.~P(tarskiMap` X))
125		unipw 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U.~P(tarskiMap` X) = (tarskiMap` X)
126	124, 125	syl6ss 2663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((tar` <.X, Y>.)"b) C_ ~P(tarskiMap` X) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ (tarskiMap` X))
127	123, 126	syl6bir 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((Fun (tar` <.X, Y>.) /\ b C_ dom (tar` <.X, Y>.)) -> (A.c e. b ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ (tarskiMap` X)))
128	118, 127	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.c e. b (X e. A /\ Y e. On) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> (A.c e. b ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ (tarskiMap` X))))
129	128	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.c e. b (X e. A /\ Y e. On) -> (A.c e. b ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ (tarskiMap` X))))
130	99, 129	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.c e. b (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> (A.c e. b ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ (tarskiMap` X))))
131	130	impcom 378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A.c e. b ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) /\ A.c e. b (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y)) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ (tarskiMap` X)))
132	97, 131	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.c e. b (((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y)) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ (tarskiMap` X)))
133	96, 132	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (A.c e. b (((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ (tarskiMap` X)))
134	64, 133	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((A.c e. b ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ (tarskiMap` X)))
135	134	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (A.c e. b ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ (tarskiMap` X))))
136	135	pm2.43d 79	. . . . . . . 8 |- (A.c e. b ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ (tarskiMap` X)))
137	136	a1i 8	. . . . . . 7 |- (Lim b -> (A.c e. b ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ (tarskiMap` X))))
138	137	3imp 1061	. . . . . 6 |- ((Lim b /\ A.c e. b ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> U.((tar` <.X, Y>.)"b) C_ (tarskiMap` X))
139	63, 138	eqsstrd 2651	. . . . 5 |- ((Lim b /\ A.c e. b ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) /\ (X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y)) -> ((tar` <.X, Y>.)` b) C_ (tarskiMap` X))
140	139	3exp 1066	. . . 4 |- (Lim b -> (A.c e. b ((X e. A /\ Y e. On /\ suc c e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` c) C_ (tarskiMap` X)) -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc b e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` b) C_ (tarskiMap` X))))
141	9, 15, 21, 27, 36, 53, 140	tfinds 3942	. . 3 |- (B e. On -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc B e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` B) C_ (tarskiMap` X)))
142	3, 141	sylbir 218	. 2 |- (suc B e. On -> ((X e. A /\ Y e. On /\ suc B e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` B) C_ (tarskiMap` X)))
143	2, 142	mpcom 60	1 |- ((X e. A /\ Y e. On /\ suc B e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` B) C_ (tarskiMap` X))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177  {copab 3395  Tr wtr 3411  Ord word 3656  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  suc csuc 3659  dom cdm 3986   |` cres 3988  "cima 3989  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  reccrdg 5139  tarskiMapctarskim 15209  tarctar 15258

This theorem is referenced by:  vtarsuelt 15272  partarelt2 15274

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-groth 10131

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-tsk 15210  df-tskmp 15248  df-tar 15259

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