Theorem tarsuc3 15246

Description: If an element of a Tarski's class is transitive and if its successor belongs to the class, the element belongs to the class.

Assertion

Ref	Expression
tarsuc3	|- ((T e. Tarski /\ Tr A /\ suc A e. T) -> A e. T)

Proof of Theorem tarsuc3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. . . 4 |- (suc A e. T -> suc A e. _V)
2		sucexb 3890	. . . . 5 |- (A e. _V <-> suc A e. _V)
3		sucidg 3743	. . . . . 6 |- (A e. _V -> A e. suc A)
4		suctr 3751	. . . . . . . 8 |- (Tr A -> Tr suc A)
5		tartrel 15239	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. Tarski /\ Tr suc A /\ suc A e. T) -> suc A C_ T)
6	5	sseld 2619	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. Tarski /\ Tr suc A /\ suc A e. T) -> (A e. suc A -> A e. T))
7	6	3exp 1066	. . . . . . . . 9 |- (T e. Tarski -> (Tr suc A -> (suc A e. T -> (A e. suc A -> A e. T))))
8	7	com4l 43	. . . . . . . 8 |- (Tr suc A -> (suc A e. T -> (A e. suc A -> (T e. Tarski -> A e. T))))
9	4, 8	syl 12	. . . . . . 7 |- (Tr A -> (suc A e. T -> (A e. suc A -> (T e. Tarski -> A e. T))))
10	9	com13 37	. . . . . 6 |- (A e. suc A -> (suc A e. T -> (Tr A -> (T e. Tarski -> A e. T))))
11	3, 10	syl 12	. . . . 5 |- (A e. _V -> (suc A e. T -> (Tr A -> (T e. Tarski -> A e. T))))
12	2, 11	sylbir 218	. . . 4 |- (suc A e. _V -> (suc A e. T -> (Tr A -> (T e. Tarski -> A e. T))))
13	1, 12	mpcom 60	. . 3 |- (suc A e. T -> (Tr A -> (T e. Tarski -> A e. T)))
14	13	com13 37	. 2 |- (T e. Tarski -> (Tr A -> (suc A e. T -> A e. T)))
15	14	3imp 1061	1 |- ((T e. Tarski /\ Tr A /\ suc A e. T) -> A e. T)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 858   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  Tr wtr 3411  suc csuc 3659   Tarski ctarski 15208

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-tr 3412  df-suc 3663  df-tsk 15210

Copyright terms: Public domain