Theorem tarcrpr 15237

Description: A cross product of two parts of a Tarski's class is a part of the class.

Assertion

Ref	Expression
tarcrpr	|- ((T e. Tarski /\ A C_ T /\ B C_ T) -> (A X. B) C_ T)

Proof of Theorem tarcrpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2615	. . . . . . . . . . 11 |- (A C_ T -> (x e. A -> x e. T))
2	1	com12 14	. . . . . . . . . 10 |- (x e. A -> (A C_ T -> x e. T))
3		ssel 2615	. . . . . . . . . . 11 |- (B C_ T -> (y e. B -> y e. T))
4	3	com12 14	. . . . . . . . . 10 |- (y e. B -> (B C_ T -> y e. T))
5	2, 4	im2anan9 622	. . . . . . . . 9 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ((A C_ T /\ B C_ T) -> (x e. T /\ y e. T)))
6		tarorpa 15236	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. Tarski /\ x e. T /\ y e. T) -> <.x, y>. e. T)
7	6	3exp 1066	. . . . . . . . . . 11 |- (T e. Tarski -> (x e. T -> (y e. T -> <.x, y>. e. T)))
8	7	com3l 38	. . . . . . . . . 10 |- (x e. T -> (y e. T -> (T e. Tarski -> <.x, y>. e. T)))
9	8	imp 377	. . . . . . . . 9 |- ((x e. T /\ y e. T) -> (T e. Tarski -> <.x, y>. e. T))
10	5, 9	syl6 25	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ((A C_ T /\ B C_ T) -> (T e. Tarski -> <.x, y>. e. T)))
11	10	com3l 38	. . . . . . 7 |- ((A C_ T /\ B C_ T) -> (T e. Tarski -> ((x e. A /\ y e. B) -> <.x, y>. e. T)))
12	11	ex 402	. . . . . 6 |- (A C_ T -> (B C_ T -> (T e. Tarski -> ((x e. A /\ y e. B) -> <.x, y>. e. T))))
13	12	com3r 39	. . . . 5 |- (T e. Tarski -> (A C_ T -> (B C_ T -> ((x e. A /\ y e. B) -> <.x, y>. e. T))))
14	13	3imp 1061	. . . 4 |- ((T e. Tarski /\ A C_ T /\ B C_ T) -> ((x e. A /\ y e. B) -> <.x, y>. e. T))
15	14	r19.21aivv 2183	. . 3 |- ((T e. Tarski /\ A C_ T /\ B C_ T) -> A.x e. A A.y e. B <.x, y>. e. T)
16		eleq1 1957	. . . 4 |- (z = <.x, y>. -> (z e. T <-> <.x, y>. e. T))
17	16	ralxp 4041	. . 3 |- (A.z e. (A X. B)z e. T <-> A.x e. A A.y e. B <.x, y>. e. T)
18	15, 17	sylibr 217	. 2 |- ((T e. Tarski /\ A C_ T /\ B C_ T) -> A.z e. (A X. B)z e. T)
19		dfss3 2611	. 2 |- ((A X. B) C_ T <-> A.z e. (A X. B)z e. T)
20	18, 19	sylibr 217	1 |- ((T e. Tarski /\ A C_ T /\ B C_ T) -> (A X. B) C_ T)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  <.cop 3046   X. cxp 3984   Tarski ctarski 15208

This theorem is referenced by:  cptarc 15242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-1o 5177  df-2o 5178  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-tsk 15210

Copyright terms: Public domain