MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanval Structured version   Unicode version

Theorem tanval 13737
Description: Value of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
tanval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )

Proof of Theorem tanval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
2 coscl 13736 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
32anim1i 568 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 ) )
4 eldifsn 4137 . . . 4  |-  ( ( cos `  A )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 ) )
53, 4sylibr 212 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( cos `  A
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
6 cosf 13734 . . . 4  |-  cos : CC
--> CC
7 ffn 5718 . . . 4  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
8 elpreima 5989 . . . 4  |-  ( cos 
Fn  CC  ->  ( A  e.  ( `' cos " ( CC  \  {
0 } ) )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( cos `  A
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) )
96, 7, 8mp2b 10 . . 3  |-  ( A  e.  ( `' cos " ( CC  \  {
0 } ) )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( cos `  A
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
101, 5, 9sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  ->  A  e.  ( `' cos " ( CC  \  { 0 } ) ) )
11 fveq2 5853 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  A
) )
12 fveq2 5853 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( cos `  x )  =  ( cos `  A
) )
1311, 12oveq12d 6296 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
14 df-tan 13682 . . 3  |-  tan  =  ( x  e.  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  |->  ( ( sin `  x )  /  ( cos `  x
) ) )
15 ovex 6306 . . 3  |-  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) )  e.  _V
1613, 14, 15fvmpt 5938 . 2  |-  ( A  e.  ( `' cos " ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
1710, 16syl 16 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636    \ cdif 3456   {csn 4011   `'ccnv 4985   "cima 4989    Fn wfn 5570   -->wf 5571   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   0cc0 9492    / cdiv 10209   sincsin 13674   cosccos 13675   tanctan 13676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-pm 7422  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-sup 7900  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-rp 11227  df-ico 11541  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-fl 11905  df-seq 12084  df-exp 12143  df-fac 12330  df-hash 12382  df-shft 12876  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045  df-limsup 13270  df-clim 13287  df-rlim 13288  df-sum 13485  df-ef 13678  df-cos 13681  df-tan 13682
This theorem is referenced by:  tancl  13738  tanval2  13742  retancl  13751  tanneg  13757  tan0  13760  retanhcl  13768  tanhlt1  13769  tanaddlem  13775  tanadd  13776  tanrpcl  22766  tangtx  22767  tan4thpi  22776  tanord1  22793  atandmtan  23120  atantan  23123  basellem3  23225  basellem8  23230  tan2h  30019  reccot  32882  rectan  32883  onetansqsecsq  32885
  Copyright terms: Public domain W3C validator