MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanval Structured version   Unicode version

Theorem tanval 13431
Description: Value of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
tanval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )

Proof of Theorem tanval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
2 coscl 13430 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
32anim1i 568 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 ) )
4 eldifsn 4019 . . . 4  |-  ( ( cos `  A )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 ) )
53, 4sylibr 212 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( cos `  A
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
6 cosf 13428 . . . 4  |-  cos : CC
--> CC
7 ffn 5578 . . . 4  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
8 elpreima 5842 . . . 4  |-  ( cos 
Fn  CC  ->  ( A  e.  ( `' cos " ( CC  \  {
0 } ) )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( cos `  A
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) )
96, 7, 8mp2b 10 . . 3  |-  ( A  e.  ( `' cos " ( CC  \  {
0 } ) )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( cos `  A
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
101, 5, 9sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  ->  A  e.  ( `' cos " ( CC  \  { 0 } ) ) )
11 fveq2 5710 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  A
) )
12 fveq2 5710 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( cos `  x )  =  ( cos `  A
) )
1311, 12oveq12d 6128 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
14 df-tan 13376 . . 3  |-  tan  =  ( x  e.  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  |->  ( ( sin `  x )  /  ( cos `  x
) ) )
15 ovex 6135 . . 3  |-  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) )  e.  _V
1613, 14, 15fvmpt 5793 . 2  |-  ( A  e.  ( `' cos " ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
1710, 16syl 16 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    \ cdif 3344   {csn 3896   `'ccnv 4858   "cima 4862    Fn wfn 5432   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   CCcc 9299   0cc0 9301    / cdiv 10012   sincsin 13368   cosccos 13369   tanctan 13370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380  ax-mulf 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-pm 7236  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-rp 11011  df-ico 11325  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-fl 11661  df-seq 11826  df-exp 11885  df-fac 12071  df-hash 12123  df-shft 12575  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-limsup 12968  df-clim 12985  df-rlim 12986  df-sum 13183  df-ef 13372  df-cos 13375  df-tan 13376
This theorem is referenced by:  tancl  13432  tanval2  13436  retancl  13445  tanneg  13451  tan0  13454  retanhcl  13462  tanhlt1  13463  tanaddlem  13469  tanadd  13470  tanrpcl  21985  tangtx  21986  tan4thpi  21995  tanord1  22012  atandmtan  22334  atantan  22337  basellem3  22439  basellem8  22444  tan2h  28447  reccot  31116  rectan  31117  onetansqsecsq  31119
  Copyright terms: Public domain W3C validator