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Theorem tanregt0 20394
Description: The positivity of  tan ( A ) extends to complex numbers with the same real part. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanregt0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( tan `  A
) ) )

Proof of Theorem tanregt0
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9004 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2 recl 11870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
32adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
43recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  CC )
53rered 11984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
Re `  A )
)  =  ( Re
`  A ) )
6 halfpire 20328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
76renegcli 9318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
87rexri 9093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
9 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
10 pire 20325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  RR
11 pipos 20326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  pi
1210, 11elrpii 10571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR+
13 rphalfcl 10592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
14 rpgt0 10579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  ( pi  /  2
)
16 lt0neg2 9491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
176, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
1815, 17mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
197, 9, 18ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
pi  /  2 )  <_  0
20 iooss1 10907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  -u ( pi  /  2
)  <_  0 )  ->  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  C_  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
218, 19, 20mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )
22 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
2321, 22sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
245, 23eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
Re `  A )
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
25 cosne0 20385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( Re
`  A ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  (
Re `  A )
)  =/=  0 )
264, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  (
Re `  A )
)  =/=  0 )
274, 26tancld 12688 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
Re `  A )
)  e.  CC )
28 ax-icn 9005 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
29 imcl 11871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  A
)  e.  RR )
3130recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  A
)  e.  CC )
32 mulcl 9030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
3328, 31, 32sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
34 rpcoshcl 12713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  ( cos `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  RR+ )
3530, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  RR+ )
3635rpne0d 10609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =/=  0 )
3733, 36tancld 12688 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
3827, 37mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )
39 subcl 9261 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
401, 38, 39sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  e.  CC )
41 replim 11876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
4342fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  A
)  =  ( cos `  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
44 cosne0 20385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )
4523, 44syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  A
)  =/=  0 )
4643, 45eqnetrrd 2587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( cos `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =/=  0 )
47 tanaddlem 12722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  /\  ( ( cos `  ( Re `  A
) )  =/=  0  /\  ( cos `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( ( cos `  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) )  =/=  0  <->  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =/=  1 ) )
484, 33, 26, 36, 47syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( cos `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =/=  0  <->  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =/=  1 ) )
4946, 48mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =/=  1 )
5049necomd 2650 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
1  =/=  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
51 subeq0 9283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  0  <->  1  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
5251necon3bid 2602 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =/=  0  <->  1  =/=  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
531, 38, 52sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =/=  0  <->  1  =/=  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
5450, 53mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =/=  0 )
5540, 54absrpcld 12205 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  e.  RR+ )
56 2z 10268 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
57 rpexpcl 11355 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
5855, 56, 57sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 )  e.  RR+ )
5958rprecred 10615 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR )
6040cjcld 11956 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  e.  CC )
6127, 37addcld 9063 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )
6260, 61mulcld 9064 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
6362recld 11954 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  e.  RR )
6458rpreccld 10614 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR+ )
6564rpgt0d 10607 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( 1  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
663, 26retancld 12701 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
Re `  A )
)  e.  RR )
67 1re 9046 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
68 retanhcl 12715 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR )
6930, 68syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR )
7069resqcld 11504 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  e.  RR )
71 resubcl 9321 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  (
1  -  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) )  e.  RR )
7267, 70, 71sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) )  e.  RR )
73 tanrpcl 20365 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  ( Re `  A ) )  e.  RR+ )
7473adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
Re `  A )
)  e.  RR+ )
7574rpgt0d 10607 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( tan `  ( Re `  A
) ) )
76 absresq 12062 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) )
7769, 76syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 ) )
78 tanhbnd 12717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
7930, 78syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
80 eliooord 10926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u 1  <  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  /\  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  <  1 ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( -u 1  <  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  /\  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  <  1 ) )
82 abslt 12073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  /\  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  <  1 ) ) )
8369, 67, 82sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  /\  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  <  1 ) ) )
8481, 83mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  <  1 )
8569recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  CC )
8685abscld 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  e.  RR )
8767a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
1  e.  RR )
8885absge0d 12201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
89 0le1 9507 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  1
9089a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <_  1 )
9186, 87, 88, 90lt2sqd 11512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  <  1  <->  ( ( abs `  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 ) ) )
9284, 91mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ^ 2 )  < 
( 1 ^ 2 ) )
93 sq1 11431 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
9492, 93syl6breq 4211 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ^ 2 )  <  1 )
9577, 94eqbrtrrd 4194 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  <  1 )
96 posdif 9477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  <  1  <->  0  <  (
1  -  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) ) )
9770, 67, 96sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 ) ) ) )
9895, 97mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) )
9966, 72, 75, 98mulgt0d 9181 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( 1  -  (
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) ) )
10040recjd 11964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
101 resub 11887 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
Re `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )
1021, 38, 101sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( Re ` 
1 )  -  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
103 re1 11914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re
`  1 )  =  1
104103oveq1i 6050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( 1  -  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
10566, 37remul2d 11987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
Re `  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
10628negcli 9324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u _i  e.  CC
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u _i  e.  CC )
108 ine0 9425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _i  =/=  0
10928, 108negne0i 9331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u _i  =/=  0
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u _i  =/=  0 )
11137, 107, 110divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i )  e.  CC )
112 imre 11868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i )  e.  CC  ->  ( Im `  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) ) ) )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) ) ) )
11428a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  _i  e.  CC )
115108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  _i  =/=  0 )
11637, 114, 115divneg2d 9760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )
11769renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  e.  RR )
118116, 117eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i )  e.  RR )
119118reim0d 11985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )  =  0 )
12037, 107, 110divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( -u _i  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
121120fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  ( -u _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  -u _i ) ) )  =  ( Re
`  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
122113, 119, 1213eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  0 )
123122oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( Re
`  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  0 ) )
12427mul01d 9221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  0 )  =  0 )
125105, 123, 1243eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  0 )
126125oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( 1  -  0 ) )
1271subid1i 9328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
128126, 127syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  -  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  1 )
129104, 128syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Re ` 
1 )  -  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  1 )
130100, 102, 1293eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  1 )
13137, 114, 115divcan2d 9748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( _i  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  =  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
132131oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
133132fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ) )  =  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
13466, 69crred 11991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ) )  =  ( tan `  (
Re `  A )
) )
135133, 134eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( tan `  (
Re `  A )
) )
136130, 135oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Re `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( tan `  (
Re `  A )
) ) )
137 mulcom 9032 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( tan `  ( Re
`  A ) )  e.  CC )  -> 
( 1  x.  ( tan `  ( Re `  A ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  1 ) )
1381, 27, 137sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  x.  ( tan `  ( Re `  A ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  1 ) )
139136, 138eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Re `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Re `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  1 ) )
14027, 85, 85mulassd 9067 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  x.  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ) )
14140imcjd 11965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  -u ( Im `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
142 imsub 11895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  CC )  ->  (
Im `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )
1431, 38, 142sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( Im ` 
1 )  -  (
Im `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
144 im1 11915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Im
`  1 )  =  0
145144oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( 0  -  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
146 df-neg 9250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
Im `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( 0  -  ( Im
`  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
147145, 146eqtr4i 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  1 )  -  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  -u (
Im `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
14866, 37immul2d 11988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
Im `  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
149 imval 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC  ->  (
Im `  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =  ( Re `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
15037, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( Re `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
15169rered 11984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  =  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) )
152150, 151eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )
153152oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( Im
`  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
154148, 153eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
155154negeqd 9256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u ( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  -u ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
156147, 155syl5eq 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Im ` 
1 )  -  (
Im `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  = 
-u ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
157143, 156eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  = 
-u ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
158157negeqd 9256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u ( Im `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  = 
-u -u ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
15966, 69remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  e.  RR )
160159recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  e.  CC )
161160negnegd 9358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  ->  -u -u ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  =  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
162141, 158, 1613eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
163132fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ) )  =  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )
16466, 69crimd 11992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) ) )  =  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) )
165163, 164eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  (
( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) )
166162, 165oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Im `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) )  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ) )
16785sqvald 11475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  =  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i )  x.  ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) )
168167oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) )  =  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i )  x.  ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ) ) )
169140, 166, 1683eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Im `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) )
170139, 169oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( Re
`  ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )  x.  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  -  ( ( Im `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  1 )  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  (
( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) ) )
17160, 61remuld 11978 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  (
* `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  (
Re `  ( ( tan `  ( Re `  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  -  ( ( Im `  ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  x.  ( Im `  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ) )
1721a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
1  e.  CC )
17385sqcld 11476 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 )  e.  CC )
17427, 172, 173subdid 9445 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( 1  -  ( ( ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  1 )  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( ( ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  /  _i ) ^
2 ) ) ) )
175170, 171, 1743eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( 1  -  ( ( ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  /  _i ) ^ 2 ) ) ) )
17699, 175breqtrrd 4198 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
17759, 63, 65, 176mulgt0d 9181 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( (
1  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re
`  ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ) )
17842fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  A
)  =  ( tan `  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
179 tanadd 12723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  /\  ( ( cos `  ( Re `  A
) )  =/=  0  /\  ( cos `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =/=  0 ) )  -> 
( tan `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  / 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )
1804, 33, 26, 36, 46, 179syl23anc 1191 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  / 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) )
181 recval 12081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  e.  CC  /\  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =/=  0
)  ->  ( 1  /  ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( * `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
18240, 54, 181syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( 1  /  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
183182oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( 1  / 
( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
18461, 40, 54divrec2d 9750 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( Re `  A
) )  +  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  /  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
18540abscld 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  e.  RR )
186185resqcld 11504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 )  e.  RR )
187186recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
18858rpne0d 10609 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 )  =/=  0
)
18960, 61, 187, 188div23d 9783 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
190183, 184, 1893eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( Re `  A
) )  +  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  /  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
191178, 180, 1903eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( ( * `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  +  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
19262, 187, 188divrec2d 9750 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( 1  / 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
193191, 192eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( * `  ( 1  -  ( ( tan `  ( Re `  A
) )  x.  ( tan `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
194193fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  ( tan `  A ) )  =  ( Re `  ( ( 1  / 
( ( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ) )
19559, 62remul2d 11987 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  (
( 1  /  (
( abs `  (
1  -  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  x.  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( * `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re
`  ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ) )
196194, 195eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Re `  ( tan `  A ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( 1  -  (
( tan `  (
Re `  A )
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Im `  A )
) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re
`  ( ( * `
 ( 1  -  ( ( tan `  (
Re `  A )
)  x.  ( tan `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  x.  ( ( tan `  ( Re
`  A ) )  +  ( tan `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) ) )
197177, 196breqtrrd 4198 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( tan `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   2c2 10005   ZZcz 10238   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   ^cexp 11337   *ccj 11856   Recre 11857   Imcim 11858   abscabs 11994   cosccos 12622   tanctan 12623   picpi 12624
This theorem is referenced by:  atantan  20716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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