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Theorem tanord1 22005
Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 22006.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
tanord1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  B  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( tan `  A
)  <  ( tan `  B ) ) )

Proof of Theorem tanord1
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1373 . 2  |- T.
2 fveq2 5703 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  y
) )
3 fveq2 5703 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  A
) )
4 fveq2 5703 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  B
) )
5 0re 9398 . . . 4  |-  0  e.  RR
6 halfpire 21938 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
76rexri 9448 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
8 icossre 11388 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  C_  RR )
95, 7, 8mp2an 672 . . 3  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  RR
109sseli 3364 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  RR )
11 neghalfpirx 21940 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
12 pire 21933 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
13 2re 10403 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
14 pipos 21935 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
15 2pos 10425 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
1612, 13, 14, 15divgt0ii 10262 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( pi  /  2
)
17 lt0neg2 9858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
186, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
1916, 18mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
20 df-ioo 11316 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
21 df-ico 11318 . . . . . . . . . 10  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
22 xrltletr 11143 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
( -u ( pi  / 
2 )  <  0  /\  0  <_  w )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  w
) )
2320, 21, 22ixxss1 11330 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  -u ( pi  /  2
)  <  0 )  ->  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  C_  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
2411, 19, 23mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )
2524sseli 3364 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
26 cosq14gt0 21984 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( cos `  x ) )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  x
) )
2827gt0ne0d 9916 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  x )  =/=  0 )
2910, 28retancld 13441 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  x )  e.  RR )
3029adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( tan `  x )  e.  RR )
3110resincld 13439 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  x )  e.  RR )
3210recoscld 13440 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  x )  e.  RR )
3331, 32, 28redivcld 10171 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  e.  RR )
34333ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  e.  RR )
359sseli 3364 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  RR )
36353ad2ant2 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  RR )
3736resincld 13439 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( sin `  y
)  e.  RR )
38323ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  x
)  e.  RR )
39283ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  x
)  =/=  0 )
4037, 38, 39redivcld 10171 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) )  e.  RR )
4136recoscld 13440 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  y
)  e.  RR )
4224sseli 3364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
43 cosq14gt0 21984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( cos `  y ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  y
) )
4544gt0ne0d 9916 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  y )  =/=  0 )
46453ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  y
)  =/=  0 )
4737, 41, 46redivcld 10171 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) )  e.  RR )
48 ioossicc 11393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) 
C_  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )
4924, 48sstri 3377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )
5049sseli 3364 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
5149sseli 3364 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
52 sinord 22002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
x  <  y  <->  ( sin `  x )  <  ( sin `  y ) ) )
5350, 51, 52syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( sin `  x
)  <  ( sin `  y ) ) )
5453biimp3a 1318 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( sin `  x
)  <  ( sin `  y ) )
55103ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  ->  x  e.  RR )
5655resincld 13439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( sin `  x
)  e.  RR )
57273ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  ( cos `  x ) )
58 ltdiv1 10205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sin `  x
)  e.  RR  /\  ( sin `  y )  e.  RR  /\  (
( cos `  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  x
) ) )  -> 
( ( sin `  x
)  <  ( sin `  y )  <->  ( ( sin `  x )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) ) ) )
5956, 37, 38, 57, 58syl112anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  <  ( sin `  y )  <->  ( ( sin `  x )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) ) ) )
6054, 59mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  < 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) ) )
6112rexri 9448 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR*
6212, 14elrpii 11006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR+
63 rphalflt 11029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
65 df-icc 11319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
66 xrlttr 11129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( w  <  (
pi  /  2 )  /\  ( pi  / 
2 )  <  pi )  ->  w  <  pi ) )
67 xrltle 11138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
w  <  pi  ->  w  <_  pi ) )
68673adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
w  <  pi  ->  w  <_  pi ) )
6966, 68syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( w  <  (
pi  /  2 )  /\  ( pi  / 
2 )  <  pi )  ->  w  <_  pi ) )
7065, 21, 69ixxss2 11331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  <  pi )  -> 
( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  C_  ( 0 [,] pi ) )
7161, 64, 70mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( 0 [,] pi )
7271sseli 3364 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  ( 0 [,] pi ) )
7371sseli 3364 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  ( 0 [,] pi ) )
74 cosord 22000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] pi )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( cos `  y
)  <  ( cos `  x ) ) )
7572, 73, 74syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( cos `  y
)  <  ( cos `  x ) ) )
7675biimp3a 1318 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  y
)  <  ( cos `  x ) )
77 0red 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  e.  RR )
78 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )
79 elico2 11371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
805, 7, 79mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  (
pi  /  2 ) ) )
8178, 80sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) )
8281simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <_  x )
83 simp3 990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  ->  x  <  y )
8477, 55, 36, 82, 83lelttrd 9541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  y )
85 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )
86 elico2 11371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( y  e.  RR  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
875, 7, 86mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
8885, 87sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( y  e.  RR  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) )
8988simp3d 1002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  <  ( pi  /  2 ) )
90 0xr 9442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
91 elioo2 11353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
9290, 7, 91mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
9336, 84, 89, 92syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
94 sincosq1sgn 21972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  y )  /\  0  <  ( cos `  y
) ) )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( 0  <  ( sin `  y )  /\  0  <  ( cos `  y
) ) )
9695simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  ( cos `  y ) )
9795simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  ( sin `  y ) )
98 ltdiv2OLD 10230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( cos `  y
)  e.  RR  /\  ( cos `  x )  e.  RR  /\  ( sin `  y )  e.  RR )  /\  (
0  <  ( cos `  y )  /\  0  <  ( cos `  x
)  /\  0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  (
( cos `  y
)  <  ( cos `  x )  <->  ( ( sin `  y )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) ) )
9941, 38, 37, 96, 57, 97, 98syl33anc 1233 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( cos `  y
)  <  ( cos `  x )  <->  ( ( sin `  y )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) ) )
10076, 99mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) )  < 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) )
10134, 40, 47, 60, 100lttrd 9544 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  < 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) )
10210recnd 9424 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  CC )
103 tanval 13424 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( cos `  x )  =/=  0 )  -> 
( tan `  x
)  =  ( ( sin `  x )  /  ( cos `  x
) ) )
104102, 28, 103syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  x )  =  ( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) ) )
1051043ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( tan `  x
)  =  ( ( sin `  x )  /  ( cos `  x
) ) )
10635recnd 9424 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  CC )
1071063ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  CC )
108 tanval 13424 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( cos `  y )  =/=  0 )  -> 
( tan `  y
)  =  ( ( sin `  y )  /  ( cos `  y
) ) )
109107, 46, 108syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( tan `  y
)  =  ( ( sin `  y )  /  ( cos `  y
) ) )
110101, 105, 1093brtr4d 4334 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( tan `  x
)  <  ( tan `  y ) )
1111103expia 1189 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  ->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y ) ) )
112111adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  /\  y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( tan `  x
)  <  ( tan `  y ) ) )
1132, 3, 4, 9, 30, 112ltord1 9878 . 2  |-  ( ( T.  /\  ( A  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  /\  B  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( tan `  A )  <  ( tan `  B
) ) )
1141, 113mpan 670 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  B  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( tan `  A
)  <  ( tan `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2618    C_ wss 3340   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431   -ucneg 9608    / cdiv 10005   2c2 10383   RR+crp 11003   (,)cioo 11312   [,)cico 11314   [,]cicc 11315   sincsin 13361   cosccos 13362   tanctan 13363   picpi 13364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-seq 11819  df-exp 11878  df-fac 12064  df-bc 12091  df-hash 12116  df-shft 12568  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-limsup 12961  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-ef 13365  df-sin 13367  df-cos 13368  df-tan 13369  df-pi 13370  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-lp 18752  df-perf 18753  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cncf 20466  df-limc 21353  df-dv 21354
This theorem is referenced by:  tanord  22006
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