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Theorem tanord1 23421
Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 23422.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.) Revised to replace an OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 20-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
tanord1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  B  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( tan `  A
)  <  ( tan `  B ) ) )

Proof of Theorem tanord1
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1441 . 2  |- T.
2 fveq2 5818 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  y
) )
3 fveq2 5818 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  A
) )
4 fveq2 5818 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  B
) )
5 0re 9587 . . . 4  |-  0  e.  RR
6 halfpire 23354 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
76rexri 9637 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
8 icossre 11659 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  C_  RR )
95, 7, 8mp2an 676 . . 3  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  RR
109sseli 3396 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  RR )
11 neghalfpirx 23356 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
12 pire 23348 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
13 2re 10623 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
14 pipos 23350 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
15 2pos 10645 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
1612, 13, 14, 15divgt0ii 10468 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( pi  /  2
)
17 lt0neg2 10065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
186, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
1916, 18mpbi 211 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
20 df-ioo 11583 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
21 df-ico 11585 . . . . . . . . . 10  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
22 xrltletr 11398 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
( -u ( pi  / 
2 )  <  0  /\  0  <_  w )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  w
) )
2320, 21, 22ixxss1 11597 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  -u ( pi  /  2
)  <  0 )  ->  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  C_  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
2411, 19, 23mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )
2524sseli 3396 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
26 cosq14gt0 23400 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( cos `  x ) )
2725, 26syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  x
) )
2827gt0ne0d 10122 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  x )  =/=  0 )
2910, 28retancld 14135 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  x )  e.  RR )
3029adantl 467 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( tan `  x )  e.  RR )
3110resincld 14133 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  x )  e.  RR )
3210recoscld 14134 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  x )  e.  RR )
3331, 32, 28redivcld 10379 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  e.  RR )
34333ad2ant1 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  e.  RR )
359sseli 3396 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  RR )
36353ad2ant2 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  RR )
3736resincld 14133 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( sin `  y
)  e.  RR )
38323ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  x
)  e.  RR )
39283ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  x
)  =/=  0 )
4037, 38, 39redivcld 10379 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) )  e.  RR )
4136recoscld 14134 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  y
)  e.  RR )
4224sseli 3396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
43 cosq14gt0 23400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( cos `  y ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  y
) )
4544gt0ne0d 10122 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  y )  =/=  0 )
46453ad2ant2 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  y
)  =/=  0 )
4737, 41, 46redivcld 10379 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) )  e.  RR )
48 ioossicc 11664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) 
C_  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )
4924, 48sstri 3409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )
5049sseli 3396 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
5149sseli 3396 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
52 sinord 23418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
x  <  y  <->  ( sin `  x )  <  ( sin `  y ) ) )
5350, 51, 52syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( sin `  x
)  <  ( sin `  y ) ) )
5453biimp3a 1364 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( sin `  x
)  <  ( sin `  y ) )
55103ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  ->  x  e.  RR )
5655resincld 14133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( sin `  x
)  e.  RR )
57273ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  ( cos `  x ) )
58 ltdiv1 10413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sin `  x
)  e.  RR  /\  ( sin `  y )  e.  RR  /\  (
( cos `  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  x
) ) )  -> 
( ( sin `  x
)  <  ( sin `  y )  <->  ( ( sin `  x )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) ) ) )
5956, 37, 38, 57, 58syl112anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  <  ( sin `  y )  <->  ( ( sin `  x )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) ) ) )
6054, 59mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  < 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) ) )
6112rexri 9637 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR*
62 pirp 23351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR+
63 rphalflt 11273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
65 df-icc 11586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
66 xrlttr 11383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( w  <  (
pi  /  2 )  /\  ( pi  / 
2 )  <  pi )  ->  w  <  pi ) )
67 xrltle 11392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
w  <  pi  ->  w  <_  pi ) )
68673adant2 1024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
w  <  pi  ->  w  <_  pi ) )
6966, 68syld 45 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( w  <  (
pi  /  2 )  /\  ( pi  / 
2 )  <  pi )  ->  w  <_  pi ) )
7065, 21, 69ixxss2 11598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  <  pi )  -> 
( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  C_  ( 0 [,] pi ) )
7161, 64, 70mp2an 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( 0 [,] pi )
7271sseli 3396 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  ( 0 [,] pi ) )
7371sseli 3396 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  ( 0 [,] pi ) )
74 cosord 23416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] pi )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( cos `  y
)  <  ( cos `  x ) ) )
7572, 73, 74syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( cos `  y
)  <  ( cos `  x ) ) )
7675biimp3a 1364 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( cos `  y
)  <  ( cos `  x ) )
77 0red 9588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  e.  RR )
78 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )
79 elico2 11642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
805, 7, 79mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  (
pi  /  2 ) ) )
8178, 80sylib 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) )
8281simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <_  x )
83 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  ->  x  <  y )
8477, 55, 36, 82, 83lelttrd 9737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  y )
85 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )
86 elico2 11642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( y  e.  RR  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
875, 7, 86mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
8885, 87sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( y  e.  RR  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) )
8988simp3d 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  <  ( pi  /  2 ) )
90 0xr 9631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
91 elioo2 11621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
9290, 7, 91mp2an 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
9336, 84, 89, 92syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
94 sincosq1sgn 23388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  y )  /\  0  <  ( cos `  y
) ) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( 0  <  ( sin `  y )  /\  0  <  ( cos `  y
) ) )
9695simprd 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  ( cos `  y ) )
9795simpld 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
0  <  ( sin `  y ) )
98 ltdiv2 10436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( cos `  y
)  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  y
) )  /\  (
( cos `  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  x
) )  /\  (
( sin `  y
)  e.  RR  /\  0  <  ( sin `  y
) ) )  -> 
( ( cos `  y
)  <  ( cos `  x )  <->  ( ( sin `  y )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) ) )
9941, 96, 38, 57, 37, 97, 98syl222anc 1280 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( cos `  y
)  <  ( cos `  x )  <->  ( ( sin `  y )  / 
( cos `  x
) )  <  (
( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) ) )
10076, 99mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  x ) )  < 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) )
10134, 40, 47, 60, 100lttrd 9740 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  < 
( ( sin `  y
)  /  ( cos `  y ) ) )
10210recnd 9613 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  x  e.  CC )
103 tanval 14118 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( cos `  x )  =/=  0 )  -> 
( tan `  x
)  =  ( ( sin `  x )  /  ( cos `  x
) ) )
104102, 28, 103syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  x )  =  ( ( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) ) )
1051043ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( tan `  x
)  =  ( ( sin `  x )  /  ( cos `  x
) ) )
10635recnd 9613 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  ->  y  e.  CC )
1071063ad2ant2 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
y  e.  CC )
108 tanval 14118 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( cos `  y )  =/=  0 )  -> 
( tan `  y
)  =  ( ( sin `  y )  /  ( cos `  y
) ) )
109107, 46, 108syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( tan `  y
)  =  ( ( sin `  y )  /  ( cos `  y
) ) )
110101, 105, 1093brtr4d 4390 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  x  <  y )  -> 
( tan `  x
)  <  ( tan `  y ) )
1111103expia 1207 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  ->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y ) ) )
112111adantl 467 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  /\  y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( tan `  x
)  <  ( tan `  y ) ) )
1132, 3, 4, 9, 30, 112ltord1 10084 . 2  |-  ( ( T.  /\  ( A  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  /\  B  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( tan `  A )  <  ( tan `  B
) ) )
1141, 113mpan 674 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  B  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( tan `  A
)  <  ( tan `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1872    =/= wne 2593    C_ wss 3372   class class class wbr 4359   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620   -ucneg 9805    / cdiv 10213   2c2 10603   RR+crp 11246   (,)cioo 11579   [,)cico 11581   [,]cicc 11582   sincsin 14052   cosccos 14053   tanctan 14054   picpi 14055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-oi 7971  df-card 8318  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xneg 11353  df-xadd 11354  df-xmul 11355  df-ioo 11583  df-ioc 11584  df-ico 11585  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-fl 11971  df-seq 12157  df-exp 12216  df-fac 12403  df-bc 12431  df-hash 12459  df-shft 13067  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-limsup 13462  df-clim 13488  df-rlim 13489  df-sum 13689  df-ef 14057  df-sin 14059  df-cos 14060  df-tan 14061  df-pi 14062  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-hom 15150  df-cco 15151  df-rest 15257  df-topn 15258  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-topgen 15278  df-pt 15279  df-prds 15282  df-xrs 15336  df-qtop 15342  df-imas 15343  df-xps 15346  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-submnd 16519  df-mulg 16612  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-psmet 18898  df-xmet 18899  df-met 18900  df-bl 18901  df-mopn 18902  df-fbas 18903  df-fg 18904  df-cnfld 18907  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-lp 20087  df-perf 20088  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-haus 20266  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-cncf 21845  df-limc 22756  df-dv 22757
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