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Theorem tanord 22016
Description: The tangent function is strictly increasing on its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanord  |-  ( ( A  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  B  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( tan `  A )  <  ( tan `  B ) ) )

Proof of Theorem tanord
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1373 . 2  |- T.
2 fveq2 5712 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  y
) )
3 fveq2 5712 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  A
) )
4 fveq2 5712 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  B
) )
5 ioossre 11378 . . 3  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) 
C_  RR
6 elioore 11351 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  RR )
76recnd 9433 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  CC )
86rered 12734 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  x
)  =  x )
9 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
108, 9eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  x
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
11 cosne0 22008 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Re `  x )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  x
)  =/=  0 )
127, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  x
)  =/=  0 )
136, 12retancld 13450 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( tan `  x
)  e.  RR )
1413adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  x
)  e.  RR )
1563ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  x  e.  RR )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  x  e.  RR )
1716recnd 9433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  x  e.  CC )
1817negnegd 9731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  -u -u x  =  x )
1918fveq2d 5716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  -u -u x )  =  ( tan `  x
) )
2017negcld 9727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  -u x  e.  CC )
21 cosneg 13452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  -u x )  =  ( cos `  x
) )
2217, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( cos `  -u x )  =  ( cos `  x
) )
23 simpl1 991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
2423, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( cos `  x )  =/=  0 )
2522, 24eqnetrd 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( cos `  -u x )  =/=  0 )
26 tanneg 13453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u x  e.  CC  /\  ( cos `  -u x
)  =/=  0 )  ->  ( tan `  -u -u x
)  =  -u ( tan `  -u x ) )
2720, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  -u -u x )  = 
-u ( tan `  -u x
) )
2819, 27eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  x )  = 
-u ( tan `  -u x
) )
2915adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
3029renegcld 9796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u x  e.  RR )
3125adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( cos `  -u x
)  =/=  0 )
3230, 31retancld 13450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  -u x
)  e.  RR )
3332renegcld 9796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( tan `  -u x
)  e.  RR )
34 0red 9408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  e.  RR )
35 simp2 989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
365, 35sseldi 3375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  y  e.  RR )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
38 simpl2 992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
39 elioore 11351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  RR )
4039recnd 9433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  CC )
4139rered 12734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  y
)  =  y )
42 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
4341, 42eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  y
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
44 cosne0 22008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( Re `  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  y
)  =/=  0 )
4540, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  y
)  =/=  0 )
4638, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( cos `  y
)  =/=  0 )
4737, 46retancld 13450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  y
)  e.  RR )
48 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  x  <  0
)
4929lt0neg1d 9930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( x  <  0  <->  0  <  -u x
) )
5048, 49mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  -u x
)
51 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
52 eliooord 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  x  /\  x  <  ( pi 
/  2 ) ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  x  /\  x  <  ( pi  /  2
) ) )
5453simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  x
)
55 halfpire 21948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
56 ltnegcon1 9861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u ( pi 
/  2 )  < 
x  <->  -u x  <  (
pi  /  2 ) ) )
5755, 29, 56sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  x  <->  -u x  < 
( pi  /  2
) ) )
5854, 57mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u x  <  (
pi  /  2 ) )
59 0xr 9451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
6055rexri 9457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
61 elioo2 11362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( -u x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) ) )
6259, 60, 61mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) )
6330, 50, 58, 62syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
64 tanrpcl 21988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( tan `  -u x
)  e.  RR+ )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  -u x
)  e.  RR+ )
6665rpgt0d 11051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  ( tan `  -u x ) )
6732lt0neg2d 9931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( 0  < 
( tan `  -u x
)  <->  -u ( tan `  -u x
)  <  0 ) )
6866, 67mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( tan `  -u x
)  <  0 )
69 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  y
)
70 eliooord 11376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  y  /\  y  <  ( pi 
/  2 ) ) )
7138, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  y  /\  y  <  ( pi  /  2
) ) )
7271simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  <  (
pi  /  2 ) )
73 elioo2 11362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
7459, 60, 73mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
7537, 69, 72, 74syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
76 tanrpcl 21988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  y )  e.  RR+ )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  y
)  e.  RR+ )
7877rpgt0d 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  ( tan `  y ) )
7933, 34, 47, 68, 78lttrd 9553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( tan `  -u x
)  <  ( tan `  y ) )
8079anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  /\  0  <  y )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
81 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  y )
8215adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  e.  RR )
8336adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  e.  RR )
8482, 83ltnegd 9938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  <  y  <->  -u y  <  -u x ) )
8581, 84mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  <  -u x )
8683renegcld 9796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  e.  RR )
87 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  <_  0 )
8883le0neg1d 9932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
y  <_  0  <->  0  <_  -u y ) )
8987, 88mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  0  <_ 
-u y )
90 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
9190, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) )
9291simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  <  y )
93 ltnegcon1 9861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u ( pi 
/  2 )  < 
y  <->  -u y  <  (
pi  /  2 ) ) )
9455, 83, 93sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  y  <->  -u y  < 
( pi  /  2
) ) )
9592, 94mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  <  ( pi  /  2
) )
96 0re 9407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
97 elico2 11380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( -u y  e.  RR  /\  0  <_  -u y  /\  -u y  <  ( pi  /  2
) ) ) )
9896, 60, 97mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u y  e.  RR  /\  0  <_  -u y  /\  -u y  <  ( pi  /  2
) ) )
9986, 89, 95, 98syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
10082renegcld 9796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u x  e.  RR )
101 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  x  <  y )
102 0red 9408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  0  e.  RR )
103 ltletr 9487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  0
) )
10415, 36, 102, 103syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  0
) )
105101, 104mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  (
y  <_  0  ->  x  <  0 ) )
106105imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  0 )
107 ltle 9484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( x  <  0  ->  x  <_  0 ) )
10882, 96, 107sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  <  0  ->  x  <_  0 ) )
109106, 108mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  <_  0 )
11082le0neg1d 9932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  <_  0  <->  0  <_  -u x ) )
111109, 110mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  0  <_ 
-u x )
112 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
113112, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) )
114113simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  <  x )
11555, 82, 56sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  x  <->  -u x  < 
( pi  /  2
) ) )
116114, 115mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u x  <  ( pi  /  2
) )
117 elico2 11380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( -u x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <_  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) ) )
11896, 60, 117mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <_  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) )
119100, 111, 116, 118syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
120 tanord1 22015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u y  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  /\  -u x  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( -u y  <  -u x  <->  ( tan `  -u y )  <  ( tan `  -u x ) ) )
12199, 119, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u y  <  -u x  <->  ( tan `  -u y
)  <  ( tan `  -u x ) ) )
12285, 121mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u y )  < 
( tan `  -u x
) )
12383recnd 9433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  e.  CC )
124 cosneg 13452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  ->  ( cos `  -u y )  =  ( cos `  y
) )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  -u y )  =  ( cos `  y
) )
12690, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  y )  =/=  0 )
127125, 126eqnetrd 2654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  -u y )  =/=  0 )
12886, 127retancld 13450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u y )  e.  RR )
129106, 25syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  -u x )  =/=  0 )
130100, 129retancld 13450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u x )  e.  RR )
131128, 130ltnegd 9938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
( tan `  -u y
)  <  ( tan `  -u x )  <->  -u ( tan `  -u x )  <  -u ( tan `  -u y
) ) )
132122, 131mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  <  -u ( tan `  -u y
) )
133123negnegd 9731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u -u y  =  y )
134133fveq2d 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u -u y )  =  ( tan `  y
) )
135123negcld 9727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  e.  CC )
136 tanneg 13453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  e.  CC  /\  ( cos `  -u y
)  =/=  0 )  ->  ( tan `  -u -u y
)  =  -u ( tan `  -u y ) )
137135, 127, 136syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u -u y )  = 
-u ( tan `  -u y
) )
138134, 137eqtr3d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  y )  = 
-u ( tan `  -u y
) )
139132, 138breqtrrd 4339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
140139adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  /\  y  <_  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
141 0red 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  0  e.  RR )
142 simpl2 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
1435, 142sseldi 3375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  y  e.  RR )
14480, 140, 141, 143ltlecasei 9503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
14528, 144eqbrtrd 4333 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  x )  < 
( tan `  y
) )
146 simpl3 993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  <  y )
14715adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  RR )
148 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  0  <_  x )
149 simpl1 991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
150149, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) )
151150simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  <  ( pi  /  2
) )
152 elico2 11380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
15396, 60, 152mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  (
pi  /  2 ) ) )
154147, 148, 151, 153syl3anbrc 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
155 simpl2 992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
1565, 155sseldi 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  e.  RR )
157 0red 9408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  0  e.  RR )
158147, 156, 146ltled 9543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  <_  y )
159157, 147, 156, 148, 158letrd 9549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  0  <_  y )
160155, 70syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) )
161160simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  <  ( pi  /  2
) )
162 elico2 11380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( y  e.  RR  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
16396, 60, 162mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
164156, 159, 161, 163syl3anbrc 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
165 tanord1 22015 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( tan `  x
)  <  ( tan `  y ) ) )
166154, 164, 165syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  (
x  <  y  <->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y ) ) )
167146, 166mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  ( tan `  x )  < 
( tan `  y
) )
168145, 167, 15, 102ltlecasei 9503 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  ( tan `  x )  < 
( tan `  y
) )
1691683expia 1189 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y
) ) )
170169adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) ) )  ->  ( x  <  y  ->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y ) ) )
1712, 3, 4, 5, 14, 170ltord1 9887 . 2  |-  ( ( T.  /\  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  /\  B  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( tan `  A
)  <  ( tan `  B ) ) )
1721, 171mpan 670 1  |-  ( ( A  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  B  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( tan `  A )  <  ( tan `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2620   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440   -ucneg 9617    / cdiv 10014   2c2 10392   RR+crp 11012   (,)cioo 11321   [,)cico 11323   Recre 12607   cosccos 13371   tanctan 13372   picpi 13373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-sin 13376  df-cos 13377  df-tan 13378  df-pi 13379  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364
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