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Theorem tanord 23109
Description: The tangent function is strictly increasing on its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanord  |-  ( ( A  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  B  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( tan `  A )  <  ( tan `  B ) ) )

Proof of Theorem tanord
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1409 . 2  |- T.
2 fveq2 5805 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  y
) )
3 fveq2 5805 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  A
) )
4 fveq2 5805 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( tan `  x )  =  ( tan `  B
) )
5 ioossre 11557 . . 3  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) 
C_  RR
6 elioore 11530 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  RR )
76recnd 9572 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  CC )
86rered 13113 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  x
)  =  x )
9 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
108, 9eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  x
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
11 cosne0 23101 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Re `  x )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  x
)  =/=  0 )
127, 10, 11syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  x
)  =/=  0 )
136, 12retancld 13981 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( tan `  x
)  e.  RR )
1413adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( tan `  x
)  e.  RR )
1563ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  x  e.  RR )
1615adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  x  e.  RR )
1716recnd 9572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  x  e.  CC )
1817negnegd 9878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  -u -u x  =  x )
1918fveq2d 5809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  -u -u x )  =  ( tan `  x
) )
2017negcld 9874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  -u x  e.  CC )
21 cosneg 13983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  -u x )  =  ( cos `  x
) )
2217, 21syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( cos `  -u x )  =  ( cos `  x
) )
23 simpl1 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
2423, 12syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( cos `  x )  =/=  0 )
2522, 24eqnetrd 2696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( cos `  -u x )  =/=  0 )
26 tanneg 13984 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u x  e.  CC  /\  ( cos `  -u x
)  =/=  0 )  ->  ( tan `  -u -u x
)  =  -u ( tan `  -u x ) )
2720, 25, 26syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  -u -u x )  = 
-u ( tan `  -u x
) )
2819, 27eqtr3d 2445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  x )  = 
-u ( tan `  -u x
) )
2915adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
3029renegcld 9947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u x  e.  RR )
3125adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( cos `  -u x
)  =/=  0 )
3230, 31retancld 13981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  -u x
)  e.  RR )
3332renegcld 9947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( tan `  -u x
)  e.  RR )
34 0red 9547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  e.  RR )
35 simp2 998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
365, 35sseldi 3439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  y  e.  RR )
3736adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
38 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
39 elioore 11530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  RR )
4039recnd 9572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  CC )
4139rered 13113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  y
)  =  y )
42 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
4341, 42eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  y
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
44 cosne0 23101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( Re `  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  y
)  =/=  0 )
4540, 43, 44syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  y
)  =/=  0 )
4638, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( cos `  y
)  =/=  0 )
4737, 46retancld 13981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  y
)  e.  RR )
48 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  x  <  0
)
4929lt0neg1d 10082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( x  <  0  <->  0  <  -u x
) )
5048, 49mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  -u x
)
51 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
52 eliooord 11555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  x  /\  x  <  ( pi 
/  2 ) ) )
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  x  /\  x  <  ( pi  /  2
) ) )
5453simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  x
)
55 halfpire 23041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
56 ltnegcon1 10014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u ( pi 
/  2 )  < 
x  <->  -u x  <  (
pi  /  2 ) ) )
5755, 29, 56sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  x  <->  -u x  < 
( pi  /  2
) ) )
5854, 57mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u x  <  (
pi  /  2 ) )
59 0xr 9590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
6055rexri 9596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
61 elioo2 11541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( -u x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) ) )
6259, 60, 61mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) )
6330, 50, 58, 62syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
64 tanrpcl 23081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( tan `  -u x
)  e.  RR+ )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  -u x
)  e.  RR+ )
6665rpgt0d 11225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  ( tan `  -u x ) )
6732lt0neg2d 10083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( 0  < 
( tan `  -u x
)  <->  -u ( tan `  -u x
)  <  0 ) )
6866, 67mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( tan `  -u x
)  <  0 )
69 simprr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  y
)
70 eliooord 11555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  y  /\  y  <  ( pi 
/  2 ) ) )
7138, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  y  /\  y  <  ( pi  /  2
) ) )
7271simprd 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  <  (
pi  /  2 ) )
73 elioo2 11541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
7459, 60, 73mp2an 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
7537, 69, 72, 74syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  y  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
76 tanrpcl 23081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  y )  e.  RR+ )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  ( tan `  y
)  e.  RR+ )
7877rpgt0d 11225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  0  <  ( tan `  y ) )
7933, 34, 47, 68, 78lttrd 9697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  (
x  <  0  /\  0  <  y ) )  ->  -u ( tan `  -u x
)  <  ( tan `  y ) )
8079anassrs 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  /\  0  <  y )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
81 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  y )
8215adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  e.  RR )
8336adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  e.  RR )
8482, 83ltnegd 10090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  <  y  <->  -u y  <  -u x ) )
8581, 84mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  <  -u x )
8683renegcld 9947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  e.  RR )
87 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  <_  0 )
8883le0neg1d 10084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
y  <_  0  <->  0  <_  -u y ) )
8987, 88mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  0  <_ 
-u y )
90 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
9190, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) )
9291simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  <  y )
93 ltnegcon1 10014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u ( pi 
/  2 )  < 
y  <->  -u y  <  (
pi  /  2 ) ) )
9455, 83, 93sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  y  <->  -u y  < 
( pi  /  2
) ) )
9592, 94mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  <  ( pi  /  2
) )
96 0re 9546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
97 elico2 11559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( -u y  e.  RR  /\  0  <_  -u y  /\  -u y  <  ( pi  /  2
) ) ) )
9896, 60, 97mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u y  e.  RR  /\  0  <_  -u y  /\  -u y  <  ( pi  /  2
) ) )
9986, 89, 95, 98syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
10082renegcld 9947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u x  e.  RR )
101 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  x  <  y )
102 0red 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  0  e.  RR )
103 ltletr 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  0
) )
10415, 36, 102, 103syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  0
) )
105101, 104mpand 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  (
y  <_  0  ->  x  <  0 ) )
106105imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  <  0 )
107 ltle 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( x  <  0  ->  x  <_  0 ) )
10882, 96, 107sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  <  0  ->  x  <_  0 ) )
109106, 108mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  <_  0 )
11082le0neg1d 10084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  <_  0  <->  0  <_  -u x ) )
111109, 110mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  0  <_ 
-u x )
112 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
113112, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) )
114113simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  <  x )
11555, 82, 56sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  x  <->  -u x  < 
( pi  /  2
) ) )
116114, 115mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u x  <  ( pi  /  2
) )
117 elico2 11559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( -u x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <_  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) ) )
11896, 60, 117mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u x  e.  RR  /\  0  <_  -u x  /\  -u x  <  ( pi  /  2
) ) )
119100, 111, 116, 118syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
120 tanord1 23108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u y  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  /\  -u x  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( -u y  <  -u x  <->  ( tan `  -u y )  <  ( tan `  -u x ) ) )
12199, 119, 120syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( -u y  <  -u x  <->  ( tan `  -u y
)  <  ( tan `  -u x ) ) )
12285, 121mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u y )  < 
( tan `  -u x
) )
12383recnd 9572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  y  e.  CC )
124 cosneg 13983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  ->  ( cos `  -u y )  =  ( cos `  y
) )
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  -u y )  =  ( cos `  y
) )
12690, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  y )  =/=  0 )
127125, 126eqnetrd 2696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  -u y )  =/=  0 )
12886, 127retancld 13981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u y )  e.  RR )
129106, 25syldan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( cos `  -u x )  =/=  0 )
130100, 129retancld 13981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u x )  e.  RR )
131128, 130ltnegd 10090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  (
( tan `  -u y
)  <  ( tan `  -u x )  <->  -u ( tan `  -u x )  <  -u ( tan `  -u y
) ) )
132122, 131mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  <  -u ( tan `  -u y
) )
133123negnegd 9878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u -u y  =  y )
134133fveq2d 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u -u y )  =  ( tan `  y
) )
135123negcld 9874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u y  e.  CC )
136 tanneg 13984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  e.  CC  /\  ( cos `  -u y
)  =/=  0 )  ->  ( tan `  -u -u y
)  =  -u ( tan `  -u y ) )
137135, 127, 136syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  -u -u y )  = 
-u ( tan `  -u y
) )
138134, 137eqtr3d 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  ( tan `  y )  = 
-u ( tan `  -u y
) )
139132, 138breqtrrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  y  <_  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
140139adantlr 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  /\  y  <_  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
141 0red 9547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  0  e.  RR )
142 simpl2 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
1435, 142sseldi 3439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  y  e.  RR )
14480, 140, 141, 143ltlecasei 9644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  -u ( tan `  -u x )  < 
( tan `  y
) )
14528, 144eqbrtrd 4414 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  x  <  0 )  ->  ( tan `  x )  < 
( tan `  y
) )
146 simpl3 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  <  y )
14715adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  RR )
148 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  0  <_  x )
149 simpl1 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
150149, 52syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) )
151150simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  <  ( pi  /  2
) )
152 elico2 11559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
15396, 60, 152mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  (
pi  /  2 ) ) )
154147, 148, 151, 153syl3anbrc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
155 simpl2 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
1565, 155sseldi 3439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  e.  RR )
157 0red 9547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  0  e.  RR )
158147, 156, 146ltled 9685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  x  <_  y )
159157, 147, 156, 148, 158letrd 9693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  0  <_  y )
160155, 70syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  ( -u ( pi  /  2
)  <  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) )
161160simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  <  ( pi  /  2
) )
162 elico2 11559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( y  e.  RR  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( pi  / 
2 ) ) ) )
16396, 60, 162mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) ( pi  /  2
) )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  ( pi  /  2 ) ) )
164156, 159, 161, 163syl3anbrc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  y  e.  ( 0 [,) (
pi  /  2 ) ) )
165 tanord1 23108 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( tan `  x
)  <  ( tan `  y ) ) )
166154, 164, 165syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  (
x  <  y  <->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y ) ) )
167146, 166mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  x  <  y )  /\  0  <_  x )  ->  ( tan `  x )  < 
( tan `  y
) )
168145, 167, 15, 102ltlecasei 9644 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  /\  x  < 
y )  ->  ( tan `  x )  < 
( tan `  y
) )
1691683expia 1199 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y
) ) )
170169adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) ) )  ->  ( x  <  y  ->  ( tan `  x )  <  ( tan `  y ) ) )
1712, 3, 4, 5, 14, 170ltord1 10039 . 2  |-  ( ( T.  /\  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  /\  B  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( tan `  A
)  <  ( tan `  B ) ) )
1721, 171mpan 668 1  |-  ( ( A  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  B  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( tan `  A )  <  ( tan `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   T. wtru 1406    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   RR*cxr 9577    < clt 9578    <_ cle 9579   -ucneg 9762    / cdiv 10167   2c2 10546   RR+crp 11183   (,)cioo 11500   [,)cico 11502   Recre 12986   cosccos 13901   tanctan 13902   picpi 13903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ioc 11505  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-bc 12335  df-hash 12360  df-shft 12956  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-limsup 13350  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-ef 13904  df-sin 13906  df-cos 13907  df-tan 13908  df-pi 13909  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-haus 20001  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-limc 22454  df-dv 22455
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