Theorem tanhbnd 13978

Description: The hyperbolic tangent of a real number is bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanhbnd	|- ( A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )

Proof of Theorem tanhbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retanhcl 13976	. 2 |- ( A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. RR )
2		ax-icn 9540	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
3		recn 9571	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4		mulcl 9565	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
5	2, 3, 4	sylancr 661	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( _i x. A ) e. CC )
6		rpcoshcl 13974	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( cos ` ( _i x. A ) ) e. RR+ )
7	6	rpne0d 11264	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( cos ` ( _i x. A ) ) =/= 0 )
8	5, 7	tancld 13949	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( tan ` ( _i x. A ) ) e. CC )
9	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> _i e. CC )
10		ine0 9988	. . . . . . 7 |- _i =/= 0
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> _i =/= 0 )
12	8, 9, 11	divnegd 10329	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -u ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) = ( -u ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) )
13		mulneg2 9990	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. -u A ) = -u ( _i x. A ) )
14	2, 3, 13	sylancr 661	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( _i x. -u A ) = -u ( _i x. A ) )
15	14	fveq2d 5852	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( tan ` ( _i x. -u A ) ) = ( tan ` -u ( _i x. A ) ) )
16		tanneg 13965	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ ( cos ` ( _i x. A ) ) =/= 0 ) -> ( tan ` -u ( _i x. A ) ) = -u ( tan ` ( _i x. A ) ) )
17	5, 7, 16	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( tan ` -u ( _i x. A ) ) = -u ( tan ` ( _i x. A ) ) )
18	15, 17	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( tan ` ( _i x. -u A ) ) = -u ( tan ` ( _i x. A ) ) )
19	18	oveq1d 6285	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. -u A ) ) / _i ) = ( -u ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) )
20	12, 19	eqtr4d 2498	. . . 4 |- ( A e. RR -> -u ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) = ( ( tan ` ( _i x. -u A ) ) / _i ) )
21		renegcl 9873	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
22		tanhlt1 13977	. . . . 5 |- ( -u A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. -u A ) ) / _i ) < 1 )
23	21, 22	syl 16	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. -u A ) ) / _i ) < 1 )
24	20, 23	eqbrtrd 4459	. . 3 |- ( A e. RR -> -u ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) < 1 )
25		1re 9584	. . . 4 |- 1 e. RR
26		ltnegcon1 10049	. . . 4 |- ( ( ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( -u ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) < 1 <-> -u 1 < ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) ) )
27	1, 25, 26	sylancl 660	. . 3 |- ( A e. RR -> ( -u ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) < 1 <-> -u 1 < ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) ) )
28	24, 27	mpbid 210	. 2 |- ( A e. RR -> -u 1 < ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) )
29		tanhlt1 13977	. 2 |- ( A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) < 1 )
30		neg1rr 10636	. . . 4 |- -u 1 e. RR
31	30	rexri 9635	. . 3 |- -u 1 e. RR*
32	25	rexri 9635	. . 3 |- 1 e. RR*
33		elioo2 11573	. . 3 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. RR /\ -u 1 < ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) /\ ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) < 1 ) ) )
34	31, 32, 33	mp2an 670	. 2 |- ( ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. RR /\ -u 1 < ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) /\ ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) < 1 ) )
35	1, 28, 29, 34	syl3anbrc 1178	1 |- ( A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483   x. cmul 9486   RR*cxr 9616   < clt 9617   -ucneg 9797   / cdiv 10202   (,)cioo 11532   cosccos 13882   tanctan 13883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-tan 13889

This theorem is referenced by:  tanregt0  23092  atantan  23451