MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanhbnd Structured version   Unicode version

Theorem tanhbnd 13978
Description: The hyperbolic tangent of a real number is bounded by  1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanhbnd  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )

Proof of Theorem tanhbnd
StepHypRef Expression
1 retanhcl 13976 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  e.  RR )
2 ax-icn 9540 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
3 recn 9571 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4 mulcl 9565 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
52, 3, 4sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
6 rpcoshcl 13974 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( _i  x.  A ) )  e.  RR+ )
76rpne0d 11264 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
85, 7tancld 13949 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( tan `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
92a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  _i  e.  CC )
10 ine0 9988 . . . . . . 7  |-  _i  =/=  0
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  _i  =/=  0 )
128, 9, 11divnegd 10329 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -u (
( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  =  ( -u ( tan `  ( _i  x.  A ) )  /  _i ) )
13 mulneg2 9990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
142, 3, 13sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  -u A )  =  -u ( _i  x.  A ) )
1514fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( tan `  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( tan `  -u (
_i  x.  A )
) )
16 tanneg 13965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  -u (
_i  x.  A )
)  =  -u ( tan `  ( _i  x.  A ) ) )
175, 7, 16syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( tan `  -u ( _i  x.  A ) )  = 
-u ( tan `  (
_i  x.  A )
) )
1815, 17eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( tan `  ( _i  x.  -u A ) )  = 
-u ( tan `  (
_i  x.  A )
) )
1918oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  -u A ) )  /  _i )  =  ( -u ( tan `  ( _i  x.  A ) )  /  _i ) )
2012, 19eqtr4d 2498 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -u (
( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  =  ( ( tan `  ( _i  x.  -u A
) )  /  _i ) )
21 renegcl 9873 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
22 tanhlt1 13977 . . . . 5  |-  ( -u A  e.  RR  ->  ( ( tan `  (
_i  x.  -u A ) )  /  _i )  <  1 )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  -u A ) )  /  _i )  <  1 )
2420, 23eqbrtrd 4459 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -u (
( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  <  1 )
25 1re 9584 . . . 4  |-  1  e.  RR
26 ltnegcon1 10049 . . . 4  |-  ( ( ( ( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u ( ( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  <  1  <->  -u 1  < 
( ( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i ) ) )
271, 25, 26sylancl 660 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u ( ( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  <  1  <->  -u 1  < 
( ( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i ) ) )
2824, 27mpbid 210 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  -u 1  <  ( ( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i ) )
29 tanhlt1 13977 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  <  1 )
30 neg1rr 10636 . . . 4  |-  -u 1  e.  RR
3130rexri 9635 . . 3  |-  -u 1  e.  RR*
3225rexri 9635 . . 3  |-  1  e.  RR*
33 elioo2 11573 . . 3  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( ( tan `  ( _i  x.  A
) )  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( (
( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( ( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  /\  ( ( tan `  ( _i  x.  A
) )  /  _i )  <  1 ) ) )
3431, 32, 33mp2an 670 . 2  |-  ( ( ( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( (
( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( ( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  /\  ( ( tan `  ( _i  x.  A
) )  /  _i )  <  1 ) )
351, 28, 29, 34syl3anbrc 1178 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( tan `  (
_i  x.  A )
)  /  _i )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    x. cmul 9486   RR*cxr 9616    < clt 9617   -ucneg 9797    / cdiv 10202   (,)cioo 11532   cosccos 13882   tanctan 13883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-tan 13889
This theorem is referenced by:  tanregt0  23092  atantan  23451
  Copyright terms: Public domain W3C validator