Theorem tanhbnd 13558

Description: The hyperbolic tangent of a real number is bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanhbnd	|- ( A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )

Proof of Theorem tanhbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retanhcl 13556	. 2 |- ( A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. RR )
2		ax-icn 9447	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
3		recn 9478	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4		mulcl 9472	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
5	2, 3, 4	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( _i x. A ) e. CC )
6		rpcoshcl 13554	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( cos ` ( _i x. A ) ) e. RR+ )
7	6	rpne0d 11138	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( cos ` ( _i x. A ) ) =/= 0 )
8	5, 7	tancld 13529	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( tan ` ( _i x. A ) ) e. CC )
9	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> _i e. CC )
10		ine0 9886	. . . . . . 7 |- _i =/= 0
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> _i =/= 0 )
12	8, 9, 11	divnegd 10226	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -u ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) = ( -u ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) )
13		mulneg2 9888	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. -u A ) = -u ( _i x. A ) )
14	2, 3, 13	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( _i x. -u A ) = -u ( _i x. A ) )
15	14	fveq2d 5798	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( tan ` ( _i x. -u A ) ) = ( tan ` -u ( _i x. A ) ) )
16		tanneg 13545	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ ( cos ` ( _i x. A ) ) =/= 0 ) -> ( tan ` -u ( _i x. A ) ) = -u ( tan ` ( _i x. A ) ) )
17	5, 7, 16	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( tan ` -u ( _i x. A ) ) = -u ( tan ` ( _i x. A ) ) )
18	15, 17	eqtrd 2493	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( tan ` ( _i x. -u A ) ) = -u ( tan ` ( _i x. A ) ) )
19	18	oveq1d 6210	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. -u A ) ) / _i ) = ( -u ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) )
20	12, 19	eqtr4d 2496	. . . 4 |- ( A e. RR -> -u ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) = ( ( tan ` ( _i x. -u A ) ) / _i ) )
21		renegcl 9778	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
22		tanhlt1 13557	. . . . 5 |- ( -u A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. -u A ) ) / _i ) < 1 )
23	21, 22	syl 16	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. -u A ) ) / _i ) < 1 )
24	20, 23	eqbrtrd 4415	. . 3 |- ( A e. RR -> -u ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) < 1 )
25		1re 9491	. . . 4 |- 1 e. RR
26		ltnegcon1 9946	. . . 4 |- ( ( ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( -u ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) < 1 <-> -u 1 < ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) ) )
27	1, 25, 26	sylancl 662	. . 3 |- ( A e. RR -> ( -u ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) < 1 <-> -u 1 < ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) ) )
28	24, 27	mpbid 210	. 2 |- ( A e. RR -> -u 1 < ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) )
29		tanhlt1 13557	. 2 |- ( A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) < 1 )
30		neg1rr 10532	. . . 4 |- -u 1 e. RR
31	30	rexri 9542	. . 3 |- -u 1 e. RR*
32	25	rexri 9542	. . 3 |- 1 e. RR*
33		elioo2 11447	. . 3 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. RR /\ -u 1 < ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) /\ ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) < 1 ) ) )
34	31, 32, 33	mp2an 672	. 2 |- ( ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. RR /\ -u 1 < ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) /\ ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) < 1 ) )
35	1, 28, 29, 34	syl3anbrc 1172	1 |- ( A e. RR -> ( ( tan ` ( _i x. A ) ) / _i ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2645   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389   _ici 9390   x. cmul 9393   RR*cxr 9523   < clt 9524   -ucneg 9702   / cdiv 10099   (,)cioo 11406   cosccos 13463   tanctan 13464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-pm 7322  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-ioo 11410  df-ico 11412  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-ef 13466  df-sin 13468  df-cos 13469  df-tan 13470

This theorem is referenced by:  tanregt0  22123  atantan  22446