Theorem tangtx 23067

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tangtx	|- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( tan ` A ) )

Proof of Theorem tangtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 11562	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
2	1	recoscld 13964	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) e. RR )
3	1, 2	remulcld 9613	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) e. RR )
4		1re 9584	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
5		rehalfcl 10761	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR )
6	1, 5	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) e. RR )
7	6	resqcld 12321	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
8		3nn 10690	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN
9		nndivre 10567	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR )
10	7, 8, 9	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR )
11		resubcl 9874	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
12	4, 10, 11	sylancr 661	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
13	1, 12	remulcld 9613	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR )
14		2re 10601	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
15		remulcl 9566	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
16	14, 10, 15	sylancr 661	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
17		resubcl 9874	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR )
18	4, 16, 17	sylancr 661	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR )
19	13, 18	remulcld 9613	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) e. RR )
20	1	resincld 13963	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` A ) e. RR )
21	12	resqcld 12321	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) e. RR )
22		remulcl 9566	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
23	14, 21, 22	sylancr 661	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
24		resubcl 9874	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) e. RR )
25	23, 4, 24	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) e. RR )
26	12, 18	remulcld 9613	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) e. RR )
27	1	recnd 9611	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
28		2cn 10602	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 2 e. CC )
30		2ne0 10624	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 2 =/= 0 )
32	27, 29, 31	divcan2d 10318	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( A / 2 ) ) = A )
33	32	fveq2d 5852	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( cos ` A ) )
34	6	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) e. CC )
35		cos2t 13998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
37	33, 36	eqtr3d 2497	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
38	6	recoscld 13964	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR )
39	38	resqcld 12321	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) e. RR )
40		remulcl 9566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
41	14, 39, 40	sylancr 661	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
42	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 1 e. RR )
43	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 2 e. RR )
44		eliooord 11587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
45	44	simpld 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < A )
46		2pos 10623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < 2 )
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 10476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( A / 2 ) )
49		pire 23020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- pi e. RR
50		rehalfcl 10761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( pi e. RR -> ( pi / 2 ) e. RR )
51	49, 50	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( pi / 2 ) e. RR )
52	44	simprd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( pi / 2 ) )
53		pigt2lt4 23018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
54	53	simpri 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- pi < 4
55		2t2e4 10681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 x. 2 ) = 4
56	54, 55	breqtrri 4464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- pi < ( 2 x. 2 )
57	14, 46	pm3.2i 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
58		ltdivmul 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) < 2 <-> pi < ( 2 x. 2 ) ) )
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( pi / 2 ) < 2 <-> pi < ( 2 x. 2 ) )
60	56, 59	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( pi / 2 ) < 2
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( pi / 2 ) < 2 )
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 9732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < 2 )
63	28	mulid2i 9588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 x. 2 ) = 2
64	62, 63	syl6breqr 4479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( 1 x. 2 ) )
65		ltdivmul2 10415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) < 1 <-> A < ( 1 x. 2 ) ) )
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) < 1 <-> A < ( 1 x. 2 ) ) )
67	64, 66	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) < 1 )
68	6, 42, 67	ltled 9722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) <_ 1 )
69		0xr 9629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
70		elioc2 11590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( A / 2 ) e. RR /\ 0 < ( A / 2 ) /\ ( A / 2 ) <_ 1 ) ) )
71	69, 4, 70	mp2an 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( A / 2 ) e. RR /\ 0 < ( A / 2 ) /\ ( A / 2 ) <_ 1 ) )
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) )
73		cos01bnd 14006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
75	74	simprd 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
76		cos01gt0 14011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) )
77	72, 76	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) )
78		0re 9585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
79		ltle 9662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
80	78, 38, 79	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
81	77, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( A / 2 ) ) )
82	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 e. RR )
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 9732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
84	82, 12, 83	ltled 9722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 12329	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) <-> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) )
86	75, 85	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) )
87		ltmul2 10389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) e. RR /\ ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) <-> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) < ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) ) )
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) <-> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) < ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) ) )
89	86, 88	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) < ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) )
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 10160	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) < ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
91	37, 90	eqbrtrd 4459	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) < ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
92		3re 10605	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
93		remulcl 9566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 3 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
94	92, 10, 93	sylancr 661	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
95		4re 10608	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
96		remulcl 9566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
97	95, 10, 96	sylancr 661	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
98	10	resqcld 12321	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. RR )
99		remulcl 9566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR )
100	14, 98, 99	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR )
101		readdcl 9564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
102	4, 100, 101	sylancr 661	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
103		3lt4 10701	. . . . . . . . . 10 |- 3 < 4
104	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 3 e. RR )
105	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 4 e. RR )
106	48	gt0ne0d 10113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) =/= 0 )
107	6, 106	sqgt0d 12323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( A / 2 ) ^ 2 ) )
108		3pos 10625	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 3
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < 3 )
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 10476	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
111		ltmul1 10388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR /\ ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR /\ 0 < ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) -> ( 3 < 4 <-> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 < 4 <-> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
113	103, 112	mpbii 211	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 10161	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
115		sq1 12247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
117	10	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. CC )
118	117	mulid2d 9603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
119	118	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
120	116, 119	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
121	120	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
122		ax-1cn 9539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
123		binom2sub 12270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
124	122, 117, 123	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
125	42	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 1 e. CC )
126	98	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. CC )
127	16	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
128	125, 126, 127	addsubd 9943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
129	121, 124, 128	3eqtr4d 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
130	129	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
131		addcl 9563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC )
132	122, 126, 131	sylancr 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC )
133	29, 132, 127	subdid 10008	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
134	29, 125, 126	adddid 9609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
135	122	2timesi 10652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
136	135	oveq1i 6280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 x. 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 + 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
137	100	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC )
138	125, 125, 137	addassd 9607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
139	136, 138	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
140	134, 139	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
141	55	oveq1i 6280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
142	29, 29, 117	mulassd 9608	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
143	141, 142	syl5reqr 2510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
144	140, 143	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
145		addcl 9563	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
146	122, 137, 145	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
147	97	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
148	125, 146, 147	addsubassd 9942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
149	144, 148	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
150	130, 133, 149	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
151	150	oveq1d 6285	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) - 1 ) )
152	146, 147	subcld 9922	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. CC )
153		pncan2 9818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. CC ) -> ( ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) - 1 ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
154	122, 152, 153	sylancr 661	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) - 1 ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
155	151, 154	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
156		subcl 9810	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. CC ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
157	122, 117, 156	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
158	157, 125, 127	subdid 10008	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. 1 ) - ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
159	157	mulid1d 9602	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. 1 ) = ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
160	125, 117, 127	subdird 10009	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
161	127	mulid2d 9603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
162	117, 29, 117	mul12d 9778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
163	117	sqvald 12292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
164	163	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
165	162, 164	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
166	161, 165	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
167	160, 166	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
168	159, 167	oveq12d 6288	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. 1 ) - ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
169	125, 117, 127, 137	subadd4d 9970	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
170		df-3 10591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 = ( 2 + 1 )
171	28, 122	addcomi 9760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 + 1 ) = ( 1 + 2 )
172	170, 171	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 = ( 1 + 2 )
173	172	oveq1i 6280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( 1 + 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
174	125, 29, 117	adddird 9610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
175	118	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
176	174, 175	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
177	173, 176	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
178	177	oveq2d 6286	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
179	169, 178	eqtr4d 2498	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
180	158, 168, 179	3eqtrd 2499	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
181	114, 155, 180	3brtr4d 4469	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
182	2, 25, 26, 91, 181	lttrd 9732	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
183		ltmul2 10389	. . . . . . 7 |- ( ( ( cos ` A ) e. RR /\ ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) <-> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) ) )
184	2, 26, 1, 45, 183	syl112anc 1230	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) <-> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) ) )
185	182, 184	mpbid 210	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) )
186	18	recnd 9611	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. CC )
187	27, 157, 186	mulassd 9608	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) )
188	185, 187	breqtrrd 4465	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
189	13, 38	remulcld 9613	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
190	74	simpld 457	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) )
191	1, 12, 45, 83	mulgt0d 9726	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
192		ltmul2 10389	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR /\ ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR /\ 0 < ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
193	18, 38, 13, 191, 192	syl112anc 1230	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
194	190, 193	mpbid 210	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
195	29, 34, 157	mulassd 9608	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
196	32	oveq1d 6285	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
197	34, 125, 117	subdid 10008	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( ( A / 2 ) x. 1 ) - ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
198	34	mulid1d 9602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. 1 ) = ( A / 2 ) )
199	170	oveq2i 6281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A / 2 ) ^ 3 ) = ( ( A / 2 ) ^ ( 2 + 1 ) )
200		2nn0 10808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. NN0
201		expp1 12158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A / 2 ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( A / 2 ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) )
202	34, 200, 201	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) )
203	199, 202	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) )
204	7	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 2 ) e. CC )
205	204, 34	mulcomd 9606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) )
206	203, 205	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) = ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) )
207	206	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) = ( ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) / 3 ) )
208		3cn 10606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. CC
209	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 3 e. CC )
210		3ne0 10626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 =/= 0
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 3 =/= 0 )
212	34, 204, 209, 211	divassd 10351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) / 3 ) = ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
213	207, 212	eqtr2d 2496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) )
214	198, 213	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) x. 1 ) - ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) )
215	197, 214	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) )
216	215	oveq2d 6286	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) )
217	195, 196, 216	3eqtr3d 2503	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) )
218		sin01bnd 14005	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) < ( A / 2 ) ) )
219	72, 218	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) < ( A / 2 ) ) )
220	219	simpld 457	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) )
221		3nn0 10809	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. NN0
222		reexpcl 12168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A / 2 ) e. RR /\ 3 e. NN0 ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) e. RR )
223	6, 221, 222	sylancl 660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) e. RR )
224		nndivre 10567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
225	223, 8, 224	sylancl 660	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
226	6, 225	resubcld 9983	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) e. RR )
227	6	resincld 13963	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( A / 2 ) ) e. RR )
228		ltmul2 10389	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) e. RR /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) <-> ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
229	226, 227, 43, 47, 228	syl112anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) <-> ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
230	220, 229	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) )
231	217, 230	eqbrtrd 4459	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) )
232		remulcl 9566	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
233	14, 227, 232	sylancr 661	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
234		ltmul1 10388	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR /\ 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
235	13, 233, 38, 77, 234	syl112anc 1230	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
236	231, 235	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
237	227	recnd 9611	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( A / 2 ) ) e. CC )
238	38	recnd 9611	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) e. CC )
239	29, 237, 238	mulassd 9608	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( A / 2 ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
240		sin2t 13997	. . . . . . . 8 |- ( ( A / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( A / 2 ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
241	34, 240	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( A / 2 ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
242	32	fveq2d 5852	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( sin ` A ) )
243	239, 241, 242	3eqtr2rd 2502	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` A ) = ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
244	236, 243	breqtrrd 4465	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( sin ` A ) )
245	19, 189, 20, 194, 244	lttrd 9732	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( sin ` A ) )
246	3, 19, 20, 188, 245	lttrd 9732	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( sin ` A ) )
247		sincosq1sgn 23060	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
248	247	simprd 461	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )
249		ltmuldiv 10411	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( sin ` A ) e. RR /\ ( ( cos ` A ) e. RR /\ 0 < ( cos ` A ) ) ) -> ( ( A x. ( cos ` A ) ) < ( sin ` A ) <-> A < ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) )
250	1, 20, 2, 248, 249	syl112anc 1230	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( cos ` A ) ) < ( sin ` A ) <-> A < ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) )
251	246, 250	mpbid 210	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
252	248	gt0ne0d 10113	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) =/= 0 )
253		tanval 13948	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) =/= 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
254	27, 252, 253	syl2anc 659	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
255	251, 254	breqtrrd 4465	1 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( tan ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   NN0cn0 10791   (,)cioo 11532   (,]cioc 11533   ^cexp 12151   sincsin 13884   cosccos 13885   tanctan 13886   picpi 13887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-sin 13890  df-cos 13891  df-tan 13892  df-pi 13893  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440

This theorem is referenced by:  tanabsge  23068  basellem8  23562