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Theorem tangtx 23325
Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
tangtx  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( tan `  A
) )

Proof of Theorem tangtx
StepHypRef Expression
1 elioore 11666 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  e.  RR )
21recoscld 14176 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
31, 2remulcld 9670 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  e.  RR )
4 1re 9641 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
5 rehalfcl 10839 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
61, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
76resqcld 12439 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 2 )  e.  RR )
8 3nn 10768 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
9 nndivre 10645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )
107, 8, 9sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 )  e.  RR )
11 resubcl 9937 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
124, 10, 11sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
131, 12remulcld 9670 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  RR )
14 2re 10679 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
15 remulcl 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
1614, 10, 15sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
17 resubcl 9937 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR )
184, 16, 17sylancr 667 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  RR )
1913, 18remulcld 9670 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  e.  RR )
201resincld 14175 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
2112resqcld 12439 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  e.  RR )
22 remulcl 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2314, 21, 22sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
24 resubcl 9937 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2523, 4, 24sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2612, 18remulcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  e.  RR )
271recnd 9668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  e.  CC )
28 2cn 10680 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  2  e.  CC )
30 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  2  =/=  0 )
3227, 29, 31divcan2d 10384 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
3332fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  A
) )
346recnd 9668 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
35 cos2t 14210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
3733, 36eqtr3d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
386recoscld 14176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
3938resqcld 12439 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  RR )
40 remulcl 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
4114, 39, 40sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
424a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  1  e.  RR )
4314a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  2  e.  RR )
44 eliooord 11694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  A  /\  A  <  ( pi  / 
2 ) ) )
4544simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  A )
46 2pos 10701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  2 )
481, 43, 45, 47divgt0d 10542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( A  /  2
) )
49 pire 23278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  pi  e.  RR
50 rehalfcl 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
5149, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
5244simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( pi  /  2
) )
53 pigt2lt4 23276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  <  pi  /\  pi  <  4 )
5453simpri 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  pi  <  4
55 2t2e4 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5654, 55breqtrri 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  <  ( 2  x.  2 )
5714, 46pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
58 ltdivmul 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( pi 
/  2 )  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  2 ) ) )
5949, 14, 57, 58mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( pi  /  2 )  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  2 ) )
6056, 59mpbir 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi 
/  2 )  <  2
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
pi  /  2 )  <  2 )
621, 51, 43, 52, 61lttrd 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  2 )
6328mulid2i 9645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6462, 63syl6breqr 4466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( 1  x.  2 ) )
65 ltdivmul2 10481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( A  /  2 )  <  1  <->  A  <  ( 1  x.  2 ) ) )
661, 42, 43, 47, 65syl112anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  <  1  <->  A  <  ( 1  x.  2 ) ) )
6764, 66mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  <  1 )
686, 42, 67ltled 9782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  <_ 
1 )
69 0xr 9686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
70 elioc2 11697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( A  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  2
)  /\  ( A  /  2 )  <_ 
1 ) ) )
7169, 4, 70mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( A  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  2
)  /\  ( A  /  2 )  <_ 
1 ) )
726, 48, 68, 71syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1
) )
73 cos01bnd 14218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  /\  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  < 
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  /\  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  < 
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
7574simprd 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  < 
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
76 cos01gt0 14223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
7772, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
78 0re 9642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
79 ltle 9721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  -> 
0  <_  ( cos `  ( A  /  2
) ) ) )
8078, 38, 79sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )
8177, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
8278a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  e.  RR )
8382, 38, 12, 77, 75lttrd 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
8482, 12, 83ltled 9782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
8538, 12, 81, 84lt2sqd 12447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) )  <  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  <->  ( ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ^
2 )  <  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) ) )
8675, 85mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )
87 ltmul2 10455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  <  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  <->  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  <  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) ) ) )
8839, 21, 43, 47, 87syl112anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 )  <->  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  <  ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) ) ) )
8986, 88mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  <  ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) ) )
9041, 23, 42, 89ltsub1dd 10224 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  < 
( ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
9137, 90eqbrtrd 4446 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  < 
( ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
92 3re 10683 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
93 remulcl 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
9492, 10, 93sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
95 4re 10686 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
96 remulcl 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
9795, 10, 96sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
9810resqcld 12439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 )  e.  RR )
99 remulcl 9623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
10014, 98, 99sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
101 readdcl 9621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
1024, 100, 101sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  e.  RR )
103 3lt4 10779 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
10492a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  3  e.  RR )
10595a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  4  e.  RR )
10648gt0ne0d 10177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  =/=  0 )
1076, 106sqgt0d 12441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( ( A  / 
2 ) ^ 2 ) )
108 3pos 10703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  3
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  3 )
1107, 104, 107, 109divgt0d 10542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )
111 ltmul1 10454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  4  e.  RR  /\  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  ->  ( 3  <  4  <->  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  <  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
112104, 105, 10, 110, 111syl112anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  <  4  <->  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  < 
( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
113103, 112mpbii 214 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  <  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
11494, 97, 102, 113ltsub2dd 10225 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
115 sq1 12366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
11710recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
118117mulid2d 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )
119118oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
120116, 119oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1 ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
121120oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( 1 ^ 2 )  -  (
2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
122 ax-1cn 9596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
123 binom2sub 12388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( 1 ^ 2 )  -  (
2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
124122, 117, 123sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1 ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( 1  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
12542recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  1  e.  CC )
12698recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 )  e.  CC )
12716recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
128125, 126, 127addsubd 10006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
129121, 124, 1283eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
130129oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
131 addcl 9620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
132122, 126, 131sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
13329, 132, 127subdid 10073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
13429, 125, 126adddid 9666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  1 )  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )
1351222timesi 10730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
136135oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
137100recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
138125, 125, 137addassd 9664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
139136, 138syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
140134, 139eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
14155oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )
14229, 29, 117mulassd 9665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
143141, 142syl5reqr 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
144140, 143oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
145 addcl 9620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
146122, 137, 145sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  e.  CC )
14797recnd 9668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
148125, 146, 147addsubassd 10005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
149144, 148eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
150130, 133, 1493eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
151150oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  - 
1 ) )
152146, 147subcld 9985 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  CC )
153 pncan2 9881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  - 
1 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )
154122, 152, 153sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
155151, 154eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
156 subcl 9873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  CC )
157122, 117, 156sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
158157, 125, 127subdid 10073 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  1 )  -  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
159157mulid1d 9659 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  1 )  =  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
160125, 117, 127subdird 10074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  -  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
161127mulid2d 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
162117, 29, 117mul12d 9841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
163117sqvald 12410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
164163oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
165162, 164eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
166161, 165oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  -  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )
167160, 166eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )
168159, 167oveq12d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  1 )  -  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  -  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
169125, 117, 127, 137subadd4d 10033 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  +  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
170 df-3 10669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  =  ( 2  +  1 )
17128, 122addcomi 9823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  +  1 )  =  ( 1  +  2 )
172170, 171eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =  ( 1  +  2 )
173172oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( ( 1  +  2 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )
174125, 29, 117adddird 9667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  2 )  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
175118oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  +  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
176174, 175eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  2 )  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
177173, 176syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
178177oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  +  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
179169, 178eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
180158, 168, 1793eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
181114, 155, 1803brtr4d 4456 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  <  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  x.  ( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
1822, 25, 26, 91, 181lttrd 9795 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) )
183 ltmul2 10455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  ->  ( ( cos `  A )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  <->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  <  ( A  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  x.  ( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) ) ) )
1842, 26, 1, 45, 183syl112anc 1268 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  A
)  <  ( (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  <->  ( A  x.  ( cos `  A
) )  <  ( A  x.  ( (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) ) ) )
185182, 184mpbid 213 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  < 
( A  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) ) ) )
18618recnd 9668 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  CC )
18727, 157, 186mulassd 9665 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( A  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) ) )
188185, 187breqtrrd 4452 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  < 
( ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) )
18913, 38remulcld 9670 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  e.  RR )
19074simpld 460 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
1911, 12, 45, 83mulgt0d 9789 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
192 ltmul2 10455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR  /\  ( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )  ->  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  < 
( cos `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  <  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
19318, 38, 13, 191, 192syl112anc 1268 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  <->  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  < 
( ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
194190, 193mpbid 213 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  <  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )
19529, 34, 157mulassd 9665 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  ( A  /  2 ) )  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  =  ( 2  x.  (
( A  /  2
)  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) )
19632oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  ( A  /  2 ) )  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  =  ( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
19734, 125, 117subdid 10073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( ( A  /  2 )  x.  1 )  -  ( ( A  / 
2 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
19834mulid1d 9659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  1 )  =  ( A  / 
2 ) )
199170oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  =  ( ( A  / 
2 ) ^ (
2  +  1 ) )
200 2nn0 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN0
201 expp1 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
2 ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
20234, 200, 201sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  x.  ( A  /  2
) ) )
203199, 202syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 3 )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  x.  ( A  /  2
) ) )
2047recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 2 )  e.  CC )
205204, 34mulcomd 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( A  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
206203, 205eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 3 )  =  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( A  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
207206oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( ( A  /  2 )  x.  ( ( A  /  2 ) ^
2 ) )  / 
3 ) )
208 3cn 10684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  CC
209208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  3  e.  CC )
210 3ne0 10704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =/=  0
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  3  =/=  0 )
21234, 204, 209, 211divassd 10417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  x.  (
( A  /  2
) ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
213207, 212eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  / 
3 ) )
214198, 213oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  x.  1 )  -  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
) ) )
215197, 214eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
) ) )
216215oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( A  /  2 )  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) ) ) )
217195, 196, 2163eqtr3d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) ) ) )
218 sin01bnd 14217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2
) )  /\  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  < 
( A  /  2
) ) )
21972, 218syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2
) )  /\  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  < 
( A  /  2
) ) )
220219simpld 460 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
221 3nn0 10887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
222 reexpcl 12286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  e.  RR )
2236, 221, 222sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 3 )  e.  RR )
224 nndivre 10645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
)  e.  RR )
225223, 8, 224sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 )  e.  RR )
2266, 225resubcld 10046 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 3 )  /  3 ) )  e.  RR )
2276resincld 14175 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
228 ltmul2 10455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  e.  RR  /\  ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( 2  x.  (
( A  /  2
)  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 3 )  /  3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
229226, 227, 43, 47, 228syl112anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2
) )  <->  ( 2  x.  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
) ) )  < 
( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
230220, 229mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  / 
3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )
231217, 230eqbrtrd 4446 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )
232 remulcl 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  e.  RR )
23314, 227, 232sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  e.  RR )
234 ltmul1 10454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  (
( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  <->  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
23513, 233, 38, 77, 234syl112anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  <->  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
236231, 235mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  < 
( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) ) )
237227recnd 9668 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
23838recnd 9668 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
23929, 237, 238mulassd 9665 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2
) )  x.  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
240 sin2t 14209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
24134, 240syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
24232fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( sin `  A
) )
243239, 241, 2423eqtr2rd 2477 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  A )  =  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) ) )
244236, 243breqtrrd 4452 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  < 
( sin `  A
) )
24519, 189, 20, 194, 244lttrd 9795 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  <  ( sin `  A
) )
2463, 19, 20, 188, 245lttrd 9795 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  < 
( sin `  A
) )
247 sincosq1sgn 23318 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )
248247simprd 464 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  A
) )
249 ltmuldiv 10477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( sin `  A )  e.  RR  /\  (
( cos `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )  -> 
( ( A  x.  ( cos `  A ) )  <  ( sin `  A )  <->  A  <  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) ) )
2501, 20, 2, 248, 249syl112anc 1268 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  ( cos `  A ) )  <  ( sin `  A
)  <->  A  <  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) ) )
251246, 250mpbid 213 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
252248gt0ne0d 10177 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  =/=  0 )
253 tanval 14160 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
25427, 252, 253syl2anc 665 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  A )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
255251, 254breqtrrd 4452 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( tan `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   NN0cn0 10869   (,)cioo 11635   (,]cioc 11636   ^cexp 12269   sincsin 14094   cosccos 14095   tanctan 14096   picpi 14097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-tan 14103  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699
This theorem is referenced by:  tanabsge  23326  basellem8  23877
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