MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tangtx Structured version   Unicode version

Theorem tangtx 23395
Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
tangtx  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( tan `  A
) )

Proof of Theorem tangtx
StepHypRef Expression
1 elioore 11610 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  e.  RR )
21recoscld 14134 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
31, 2remulcld 9615 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  e.  RR )
4 1re 9586 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
5 rehalfcl 10783 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
61, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
76resqcld 12385 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 2 )  e.  RR )
8 3nn 10712 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
9 nndivre 10589 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )
107, 8, 9sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 )  e.  RR )
11 resubcl 9882 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
124, 10, 11sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
131, 12remulcld 9615 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  RR )
14 2re 10623 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
15 remulcl 9568 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
1614, 10, 15sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
17 resubcl 9882 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR )
184, 16, 17sylancr 667 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  RR )
1913, 18remulcld 9615 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  e.  RR )
201resincld 14133 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
2112resqcld 12385 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  e.  RR )
22 remulcl 9568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2314, 21, 22sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
24 resubcl 9882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2523, 4, 24sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
2612, 18remulcld 9615 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  e.  RR )
271recnd 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  e.  CC )
28 2cn 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  2  e.  CC )
30 2ne0 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  2  =/=  0 )
3227, 29, 31divcan2d 10329 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
3332fveq2d 5822 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  A
) )
346recnd 9613 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
35 cos2t 14168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
3733, 36eqtr3d 2458 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
386recoscld 14134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
3938resqcld 12385 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  RR )
40 remulcl 9568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
4114, 39, 40sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
424a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  1  e.  RR )
4314a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  2  e.  RR )
44 eliooord 11638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  A  /\  A  <  ( pi  / 
2 ) ) )
4544simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  A )
46 2pos 10645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  2 )
481, 43, 45, 47divgt0d 10486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( A  /  2
) )
49 pire 23348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  pi  e.  RR
50 rehalfcl 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
5149, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
5244simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( pi  /  2
) )
53 pigt2lt4 23346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  <  pi  /\  pi  <  4 )
5453simpri 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  pi  <  4
55 2t2e4 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5654, 55breqtrri 4385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  <  ( 2  x.  2 )
5714, 46pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
58 ltdivmul 10424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( pi 
/  2 )  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  2 ) ) )
5949, 14, 57, 58mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( pi  /  2 )  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  2 ) )
6056, 59mpbir 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi 
/  2 )  <  2
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
pi  /  2 )  <  2 )
621, 51, 43, 52, 61lttrd 9740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  2 )
6328mulid2i 9590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6462, 63syl6breqr 4400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( 1  x.  2 ) )
65 ltdivmul2 10426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( A  /  2 )  <  1  <->  A  <  ( 1  x.  2 ) ) )
661, 42, 43, 47, 65syl112anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  <  1  <->  A  <  ( 1  x.  2 ) ) )
6764, 66mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  <  1 )
686, 42, 67ltled 9727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  <_ 
1 )
69 0xr 9631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
70 elioc2 11641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( A  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  2
)  /\  ( A  /  2 )  <_ 
1 ) ) )
7169, 4, 70mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( A  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  2
)  /\  ( A  /  2 )  <_ 
1 ) )
726, 48, 68, 71syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1
) )
73 cos01bnd 14176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  /\  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  < 
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  /\  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  < 
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
7574simprd 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  < 
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
76 cos01gt0 14181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
7772, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
78 0re 9587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
79 ltle 9666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  -> 
0  <_  ( cos `  ( A  /  2
) ) ) )
8078, 38, 79sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )
8177, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
8278a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  e.  RR )
8382, 38, 12, 77, 75lttrd 9740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
8482, 12, 83ltled 9727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
8538, 12, 81, 84lt2sqd 12393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) )  <  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  <->  ( ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ^
2 )  <  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) ) )
8675, 85mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )
87 ltmul2 10400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  <  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  <->  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  <  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) ) ) )
8839, 21, 43, 47, 87syl112anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 )  <->  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  <  ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) ) ) )
8986, 88mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  <  ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) ) )
9041, 23, 42, 89ltsub1dd 10169 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  < 
( ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
9137, 90eqbrtrd 4380 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  < 
( ( 2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
92 3re 10627 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
93 remulcl 9568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
9492, 10, 93sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
95 4re 10630 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
96 remulcl 9568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
9795, 10, 96sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  RR )
9810resqcld 12385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 )  e.  RR )
99 remulcl 9568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
10014, 98, 99sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
101 readdcl 9566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
1024, 100, 101sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  e.  RR )
103 3lt4 10723 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
10492a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  3  e.  RR )
10595a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  4  e.  RR )
10648gt0ne0d 10122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  /  2 )  =/=  0 )
1076, 106sqgt0d 12387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( ( A  / 
2 ) ^ 2 ) )
108 3pos 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  3
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  3 )
1107, 104, 107, 109divgt0d 10486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )
111 ltmul1 10399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  4  e.  RR  /\  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  ->  ( 3  <  4  <->  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  <  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
112104, 105, 10, 110, 111syl112anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  <  4  <->  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  < 
( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
113103, 112mpbii 214 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  <  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
11494, 97, 102, 113ltsub2dd 10170 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
115 sq1 12312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
11710recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
118117mulid2d 9605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )
119118oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
120116, 119oveq12d 6260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1 ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
121120oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( 1 ^ 2 )  -  (
2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
122 ax-1cn 9541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
123 binom2sub 12334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( 1 ^ 2 )  -  (
2  x.  ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
124122, 117, 123sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1 ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( 1  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
12542recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  1  e.  CC )
12698recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 )  e.  CC )
12716recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
128125, 126, 127addsubd 9951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
129121, 124, 1283eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
130129oveq2d 6258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
131 addcl 9565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
132122, 126, 131sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
13329, 132, 127subdid 10018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
13429, 125, 126adddid 9611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  1 )  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )
1351222timesi 10674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
136135oveq1i 6252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
137100recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
138125, 125, 137addassd 9609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
139136, 138syl5eq 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  1 )  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
140134, 139eqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 1  +  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
14155oveq1i 6252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )
14229, 29, 117mulassd 9610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
143141, 142syl5reqr 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
144140, 143oveq12d 6260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
145 addcl 9565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
146122, 137, 145sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) )  e.  CC )
14797recnd 9613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
148125, 146, 147addsubassd 9950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ^
2 ) ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
149144, 148eqtrd 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
1  +  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
150130, 133, 1493eqtrd 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
151150oveq1d 6257 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  - 
1 ) )
152146, 147subcld 9930 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  CC )
153 pncan2 9826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( 1  +  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) )  -  (
4  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  - 
1 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )
154122, 152, 153sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
155151, 154eqtrd 2456 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 4  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
156 subcl 9818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  e.  CC )
157122, 117, 156sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
158157, 125, 127subdid 10018 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  1 )  -  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
159157mulid1d 9604 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  1 )  =  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
160125, 117, 127subdird 10019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  -  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
161127mulid2d 9605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
162117, 29, 117mul12d 9786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
163117sqvald 12356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
164163oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
165162, 164eqtr4d 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )
166161, 165oveq12d 6260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  x.  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  -  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )
167160, 166eqtrd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ^ 2 ) ) ) )
168159, 167oveq12d 6260 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  1 )  -  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  -  (
2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
169125, 117, 127, 137subadd4d 9978 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  +  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
170 df-3 10613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  =  ( 2  +  1 )
17128, 122addcomi 9768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  +  1 )  =  ( 1  +  2 )
172170, 171eqtri 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =  ( 1  +  2 )
173172oveq1i 6252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( ( 1  +  2 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )
174125, 29, 117adddird 9612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  2 )  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
175118oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  +  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
176174, 175eqtrd 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  2 )  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
177173, 176syl5eq 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
3  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 )  +  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
178177oveq2d 6258 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 )  +  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
179169, 178eqtr4d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
180158, 168, 1793eqtrd 2460 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  -  ( 3  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
181114, 155, 1803brtr4d 4390 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  <  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  x.  ( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
1822, 25, 26, 91, 181lttrd 9740 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) )
183 ltmul2 10400 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  ->  ( ( cos `  A )  < 
( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  <->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  <  ( A  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) )  x.  ( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) ) ) )
1842, 26, 1, 45, 183syl112anc 1268 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( cos `  A
)  <  ( (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  <->  ( A  x.  ( cos `  A
) )  <  ( A  x.  ( (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) ) ) )
185182, 184mpbid 213 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  < 
( A  x.  (
( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) ) ) )
18618recnd 9613 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  CC )
18727, 157, 186mulassd 9610 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( A  x.  ( ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) ) )
188185, 187breqtrrd 4386 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  < 
( ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) )
18913, 38remulcld 9615 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  e.  RR )
19074simpld 460 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
1911, 12, 45, 83mulgt0d 9734 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
192 ltmul2 10400 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR  /\  ( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )  ->  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  < 
( cos `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  (
1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) )  <  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
19318, 38, 13, 191, 192syl112anc 1268 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  ( A  /  2
) )  <->  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )  < 
( ( A  x.  ( 1  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
194190, 193mpbid 213 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  <  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )
19529, 34, 157mulassd 9610 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  ( A  /  2 ) )  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  =  ( 2  x.  (
( A  /  2
)  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) ) ) )
19632oveq1d 6257 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  ( A  /  2 ) )  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  =  ( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
19734, 125, 117subdid 10018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( ( A  /  2 )  x.  1 )  -  ( ( A  / 
2 )  x.  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
19834mulid1d 9604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  1 )  =  ( A  / 
2 ) )
199170oveq2i 6253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  =  ( ( A  / 
2 ) ^ (
2  +  1 ) )
200 2nn0 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN0
201 expp1 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
2 ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
20234, 200, 201sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  x.  ( A  /  2
) ) )
203199, 202syl5eq 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 3 )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  x.  ( A  /  2
) ) )
2047recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 2 )  e.  CC )
205204, 34mulcomd 9608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 2 )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( A  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
206203, 205eqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 3 )  =  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( A  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
207206oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( ( A  /  2 )  x.  ( ( A  /  2 ) ^
2 ) )  / 
3 ) )
208 3cn 10628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  CC
209208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  3  e.  CC )
210 3ne0 10648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =/=  0
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  3  =/=  0 )
21234, 204, 209, 211divassd 10362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  x.  (
( A  /  2
) ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )
213207, 212eqtr2d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  / 
3 ) )
214198, 213oveq12d 6260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  x.  1 )  -  ( ( A  /  2 )  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
) ) )
215197, 214eqtrd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
) ) )
216215oveq2d 6258 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( A  /  2 )  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) ) ) )
217195, 196, 2163eqtr3d 2464 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) ) ) )
218 sin01bnd 14175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2
) )  /\  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  < 
( A  /  2
) ) )
21972, 218syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2
) )  /\  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  < 
( A  /  2
) ) )
220219simpld 460 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
221 3nn0 10831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
222 reexpcl 12232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  e.  RR )
2236, 221, 222sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
) ^ 3 )  e.  RR )
224 nndivre 10589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
)  e.  RR )
225223, 8, 224sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 )  e.  RR )
2266, 225resubcld 9991 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  /  2
)  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 3 )  /  3 ) )  e.  RR )
2276resincld 14133 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
228 ltmul2 10400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  e.  RR  /\  ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( 2  x.  (
( A  /  2
)  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 3 )  /  3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
229226, 227, 43, 47, 228syl112anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( ( A  / 
2 )  -  (
( ( A  / 
2 ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( A  /  2
) )  <->  ( 2  x.  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
3 )  /  3
) ) )  < 
( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
230220, 229mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( ( A  /  2 )  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 3 )  / 
3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )
231217, 230eqbrtrd 4380 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )
232 remulcl 9568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  e.  RR )
23314, 227, 232sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  e.  RR )
234 ltmul1 10399 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  (
( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  <->  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
23513, 233, 38, 77, 234syl112anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  <->  ( ( A  x.  ( 1  -  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
236231, 235mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  < 
( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) ) )
237227recnd 9613 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
23838recnd 9613 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
23929, 237, 238mulassd 9610 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2
) )  x.  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
240 sin2t 14167 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
24134, 240syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
24232fveq2d 5822 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( sin `  A
) )
243239, 241, 2423eqtr2rd 2463 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( sin `  A )  =  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) ) )
244236, 243breqtrrd 4386 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  < 
( sin `  A
) )
24519, 189, 20, 194, 244lttrd 9740 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  (
1  -  ( ( ( A  /  2
) ^ 2 )  /  3 ) ) )  x.  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( ( A  /  2 ) ^
2 )  /  3
) ) ) )  <  ( sin `  A
) )
2463, 19, 20, 188, 245lttrd 9740 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( A  x.  ( cos `  A ) )  < 
( sin `  A
) )
247 sincosq1sgn 23388 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )
248247simprd 464 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  A
) )
249 ltmuldiv 10422 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( sin `  A )  e.  RR  /\  (
( cos `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )  -> 
( ( A  x.  ( cos `  A ) )  <  ( sin `  A )  <->  A  <  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) ) )
2501, 20, 2, 248, 249syl112anc 1268 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
( A  x.  ( cos `  A ) )  <  ( sin `  A
)  <->  A  <  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) ) )
251246, 250mpbid 213 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
252248gt0ne0d 10122 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( cos `  A )  =/=  0 )
253 tanval 14118 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  A
)  =  ( ( sin `  A )  /  ( cos `  A
) ) )
25427, 252, 253syl2anc 665 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( tan `  A )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
255251, 254breqtrrd 4386 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  A  <  ( tan `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2593   class class class wbr 4359   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    x. cmul 9488   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9804    / cdiv 10213   NNcn 10553   2c2 10603   3c3 10604   4c4 10605   NN0cn0 10813   (,)cioo 11579   (,]cioc 11580   ^cexp 12215   sincsin 14052   cosccos 14053   tanctan 14054   picpi 14055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-oi 7971  df-card 8318  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xneg 11353  df-xadd 11354  df-xmul 11355  df-ioo 11583  df-ioc 11584  df-ico 11585  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-fl 11971  df-seq 12157  df-exp 12216  df-fac 12403  df-bc 12431  df-hash 12459  df-shft 13067  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-limsup 13462  df-clim 13488  df-rlim 13489  df-sum 13689  df-ef 14057  df-sin 14059  df-cos 14060  df-tan 14061  df-pi 14062  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-hom 15150  df-cco 15151  df-rest 15257  df-topn 15258  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-topgen 15278  df-pt 15279  df-prds 15282  df-xrs 15336  df-qtop 15342  df-imas 15343  df-xps 15346  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-submnd 16519  df-mulg 16612  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-psmet 18898  df-xmet 18899  df-met 18900  df-bl 18901  df-mopn 18902  df-fbas 18903  df-fg 18904  df-cnfld 18907  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-lp 20087  df-perf 20088  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-haus 20266  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-cncf 21845  df-limc 22756  df-dv 22757
This theorem is referenced by:  tanabsge  23396  basellem8  23949
  Copyright terms: Public domain W3C validator