Theorem tangtx 22631

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tangtx	|- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( tan ` A ) )

Proof of Theorem tangtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 11555	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
2	1	recoscld 13736	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) e. RR )
3	1, 2	remulcld 9620	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) e. RR )
4		1re 9591	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
5		rehalfcl 10761	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR )
6	1, 5	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) e. RR )
7	6	resqcld 12300	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
8		3nn 10690	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN
9		nndivre 10567	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR )
10	7, 8, 9	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR )
11		resubcl 9879	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
12	4, 10, 11	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
13	1, 12	remulcld 9620	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR )
14		2re 10601	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
15		remulcl 9573	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
16	14, 10, 15	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
17		resubcl 9879	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR )
18	4, 16, 17	sylancr 663	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR )
19	13, 18	remulcld 9620	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) e. RR )
20	1	resincld 13735	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` A ) e. RR )
21	12	resqcld 12300	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) e. RR )
22		remulcl 9573	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
23	14, 21, 22	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
24		resubcl 9879	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) e. RR )
25	23, 4, 24	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) e. RR )
26	12, 18	remulcld 9620	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) e. RR )
27	1	recnd 9618	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
28		2cn 10602	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 2 e. CC )
30		2ne0 10624	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 2 =/= 0 )
32	27, 29, 31	divcan2d 10318	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( A / 2 ) ) = A )
33	32	fveq2d 5868	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( cos ` A ) )
34	6	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) e. CC )
35		cos2t 13770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
37	33, 36	eqtr3d 2510	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
38	6	recoscld 13736	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR )
39	38	resqcld 12300	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) e. RR )
40		remulcl 9573	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
41	14, 39, 40	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
42	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 1 e. RR )
43	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 2 e. RR )
44		eliooord 11580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
45	44	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < A )
46		2pos 10623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < 2 )
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 10477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( A / 2 ) )
49		pire 22585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- pi e. RR
50		rehalfcl 10761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( pi e. RR -> ( pi / 2 ) e. RR )
51	49, 50	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( pi / 2 ) e. RR )
52	44	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( pi / 2 ) )
53		pigt2lt4 22583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
54	53	simpri 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- pi < 4
55		2t2e4 10681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 x. 2 ) = 4
56	54, 55	breqtrri 4472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- pi < ( 2 x. 2 )
57	14, 46	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
58		ltdivmul 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) < 2 <-> pi < ( 2 x. 2 ) ) )
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( pi / 2 ) < 2 <-> pi < ( 2 x. 2 ) )
60	56, 59	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( pi / 2 ) < 2
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( pi / 2 ) < 2 )
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 9738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < 2 )
63	28	mulid2i 9595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 x. 2 ) = 2
64	62, 63	syl6breqr 4487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( 1 x. 2 ) )
65		ltdivmul2 10416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) < 1 <-> A < ( 1 x. 2 ) ) )
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) < 1 <-> A < ( 1 x. 2 ) ) )
67	64, 66	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) < 1 )
68	6, 42, 67	ltled 9728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) <_ 1 )
69		0xr 9636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
70		elioc2 11583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( A / 2 ) e. RR /\ 0 < ( A / 2 ) /\ ( A / 2 ) <_ 1 ) ) )
71	69, 4, 70	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( A / 2 ) e. RR /\ 0 < ( A / 2 ) /\ ( A / 2 ) <_ 1 ) )
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) )
73		cos01bnd 13778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
75	74	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
76		cos01gt0 13783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) )
77	72, 76	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) )
78		0re 9592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
79		ltle 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
80	78, 38, 79	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
81	77, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( A / 2 ) ) )
82	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 e. RR )
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 9738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
84	82, 12, 83	ltled 9728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 12308	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) <-> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) )
86	75, 85	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) )
87		ltmul2 10389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) e. RR /\ ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) <-> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) < ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) ) )
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1232	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) <-> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) < ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) ) )
89	86, 88	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) < ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) )
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 10160	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) < ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
91	37, 90	eqbrtrd 4467	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) < ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
92		3re 10605	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
93		remulcl 9573	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 3 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
94	92, 10, 93	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
95		4re 10608	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
96		remulcl 9573	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
97	95, 10, 96	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
98	10	resqcld 12300	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. RR )
99		remulcl 9573	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR )
100	14, 98, 99	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR )
101		readdcl 9571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
102	4, 100, 101	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
103		3lt4 10701	. . . . . . . . . 10 |- 3 < 4
104	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 3 e. RR )
105	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 4 e. RR )
106	48	gt0ne0d 10113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) =/= 0 )
107	6, 106	sqgt0d 12302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( A / 2 ) ^ 2 ) )
108		3pos 10625	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 3
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < 3 )
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 10477	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
111		ltmul1 10388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR /\ ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR /\ 0 < ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) -> ( 3 < 4 <-> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1232	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 < 4 <-> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
113	103, 112	mpbii 211	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 10161	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
115		sq1 12226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
117	10	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. CC )
118	117	mulid2d 9610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
119	118	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
120	116, 119	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
121	120	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
122		ax-1cn 9546	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
123		binom2sub 12249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
124	122, 117, 123	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
125	42	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 1 e. CC )
126	98	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. CC )
127	16	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
128	125, 126, 127	addsubd 9947	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
129	121, 124, 128	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
130	129	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
131		addcl 9570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC )
132	122, 126, 131	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC )
133	29, 132, 127	subdid 10008	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
134	29, 125, 126	adddid 9616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
135	122	2timesi 10652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
136	135	oveq1i 6292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 x. 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 + 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
137	100	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC )
138	125, 125, 137	addassd 9614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
139	136, 138	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
140	134, 139	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
141	55	oveq1i 6292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
142	29, 29, 117	mulassd 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
143	141, 142	syl5reqr 2523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
144	140, 143	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
145		addcl 9570	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
146	122, 137, 145	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
147	97	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
148	125, 146, 147	addsubassd 9946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
149	144, 148	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
150	130, 133, 149	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
151	150	oveq1d 6297	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) - 1 ) )
152	146, 147	subcld 9926	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. CC )
153		pncan2 9823	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. CC ) -> ( ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) - 1 ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
154	122, 152, 153	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) - 1 ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
155	151, 154	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
156		subcl 9815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. CC ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
157	122, 117, 156	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
158	157, 125, 127	subdid 10008	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. 1 ) - ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
159	157	mulid1d 9609	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. 1 ) = ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
160	125, 117, 127	subdird 10009	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
161	127	mulid2d 9610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
162	117, 29, 117	mul12d 9784	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
163	117	sqvald 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
164	163	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
165	162, 164	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
166	161, 165	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
167	160, 166	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
168	159, 167	oveq12d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. 1 ) - ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
169	125, 117, 127, 137	subadd4d 9974	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
170		df-3 10591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 = ( 2 + 1 )
171	28, 122	addcomi 9766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 + 1 ) = ( 1 + 2 )
172	170, 171	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 = ( 1 + 2 )
173	172	oveq1i 6292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( 1 + 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
174	125, 29, 117	adddird 9617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
175	118	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
176	174, 175	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
177	173, 176	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
178	177	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
179	169, 178	eqtr4d 2511	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
180	158, 168, 179	3eqtrd 2512	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
181	114, 155, 180	3brtr4d 4477	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
182	2, 25, 26, 91, 181	lttrd 9738	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
183		ltmul2 10389	. . . . . . 7 |- ( ( ( cos ` A ) e. RR /\ ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) <-> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) ) )
184	2, 26, 1, 45, 183	syl112anc 1232	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) <-> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) ) )
185	182, 184	mpbid 210	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) )
186	18	recnd 9618	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. CC )
187	27, 157, 186	mulassd 9615	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) )
188	185, 187	breqtrrd 4473	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
189	13, 38	remulcld 9620	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
190	74	simpld 459	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) )
191	1, 12, 45, 83	mulgt0d 9732	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
192		ltmul2 10389	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR /\ ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR /\ 0 < ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
193	18, 38, 13, 191, 192	syl112anc 1232	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
194	190, 193	mpbid 210	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
195	29, 34, 157	mulassd 9615	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
196	32	oveq1d 6297	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
197	34, 125, 117	subdid 10008	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( ( A / 2 ) x. 1 ) - ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
198	34	mulid1d 9609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. 1 ) = ( A / 2 ) )
199	170	oveq2i 6293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A / 2 ) ^ 3 ) = ( ( A / 2 ) ^ ( 2 + 1 ) )
200		2nn0 10808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. NN0
201		expp1 12137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A / 2 ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( A / 2 ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) )
202	34, 200, 201	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) )
203	199, 202	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) )
204	7	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 2 ) e. CC )
205	204, 34	mulcomd 9613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) )
206	203, 205	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) = ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) )
207	206	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) = ( ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) / 3 ) )
208		3cn 10606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. CC
209	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 3 e. CC )
210		3ne0 10626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 =/= 0
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 3 =/= 0 )
212	34, 204, 209, 211	divassd 10351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) / 3 ) = ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
213	207, 212	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) )
214	198, 213	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) x. 1 ) - ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) )
215	197, 214	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) )
216	215	oveq2d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) )
217	195, 196, 216	3eqtr3d 2516	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) )
218		sin01bnd 13777	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) < ( A / 2 ) ) )
219	72, 218	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) < ( A / 2 ) ) )
220	219	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) )
221		3nn0 10809	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. NN0
222		reexpcl 12147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A / 2 ) e. RR /\ 3 e. NN0 ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) e. RR )
223	6, 221, 222	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) e. RR )
224		nndivre 10567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
225	223, 8, 224	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
226	6, 225	resubcld 9983	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) e. RR )
227	6	resincld 13735	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( A / 2 ) ) e. RR )
228		ltmul2 10389	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) e. RR /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) <-> ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
229	226, 227, 43, 47, 228	syl112anc 1232	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) <-> ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
230	220, 229	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) )
231	217, 230	eqbrtrd 4467	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) )
232		remulcl 9573	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
233	14, 227, 232	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
234		ltmul1 10388	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR /\ 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
235	13, 233, 38, 77, 234	syl112anc 1232	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
236	231, 235	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
237	227	recnd 9618	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( A / 2 ) ) e. CC )
238	38	recnd 9618	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) e. CC )
239	29, 237, 238	mulassd 9615	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( A / 2 ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
240		sin2t 13769	. . . . . . . 8 |- ( ( A / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( A / 2 ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
241	34, 240	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( A / 2 ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
242	32	fveq2d 5868	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( sin ` A ) )
243	239, 241, 242	3eqtr2rd 2515	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` A ) = ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
244	236, 243	breqtrrd 4473	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( sin ` A ) )
245	19, 189, 20, 194, 244	lttrd 9738	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( sin ` A ) )
246	3, 19, 20, 188, 245	lttrd 9738	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( sin ` A ) )
247		sincosq1sgn 22624	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
248	247	simprd 463	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )
249		ltmuldiv 10411	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( sin ` A ) e. RR /\ ( ( cos ` A ) e. RR /\ 0 < ( cos ` A ) ) ) -> ( ( A x. ( cos ` A ) ) < ( sin ` A ) <-> A < ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) )
250	1, 20, 2, 248, 249	syl112anc 1232	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( cos ` A ) ) < ( sin ` A ) <-> A < ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) )
251	246, 250	mpbid 210	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
252	248	gt0ne0d 10113	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) =/= 0 )
253		tanval 13720	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) =/= 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
254	27, 252, 253	syl2anc 661	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
255	251, 254	breqtrrd 4473	1 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( tan ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   NN0cn0 10791   (,)cioo 11525   (,]cioc 11526   ^cexp 12130   sincsin 13657   cosccos 13658   tanctan 13659   picpi 13660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-tan 13665  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006

This theorem is referenced by:  tanabsge  22632  basellem8  23089