Theorem tangtx 23325

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tangtx	|- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( tan ` A ) )

Proof of Theorem tangtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 11666	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
2	1	recoscld 14176	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) e. RR )
3	1, 2	remulcld 9670	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) e. RR )
4		1re 9641	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
5		rehalfcl 10839	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR )
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) e. RR )
7	6	resqcld 12439	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
8		3nn 10768	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN
9		nndivre 10645	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR )
10	7, 8, 9	sylancl 666	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR )
11		resubcl 9937	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
12	4, 10, 11	sylancr 667	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
13	1, 12	remulcld 9670	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR )
14		2re 10679	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
15		remulcl 9623	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
16	14, 10, 15	sylancr 667	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
17		resubcl 9937	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR )
18	4, 16, 17	sylancr 667	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR )
19	13, 18	remulcld 9670	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) e. RR )
20	1	resincld 14175	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` A ) e. RR )
21	12	resqcld 12439	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) e. RR )
22		remulcl 9623	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
23	14, 21, 22	sylancr 667	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
24		resubcl 9937	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) e. RR )
25	23, 4, 24	sylancl 666	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) e. RR )
26	12, 18	remulcld 9670	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) e. RR )
27	1	recnd 9668	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
28		2cn 10680	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 2 e. CC )
30		2ne0 10702	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 2 =/= 0 )
32	27, 29, 31	divcan2d 10384	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( A / 2 ) ) = A )
33	32	fveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( cos ` A ) )
34	6	recnd 9668	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) e. CC )
35		cos2t 14210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
37	33, 36	eqtr3d 2472	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
38	6	recoscld 14176	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR )
39	38	resqcld 12439	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) e. RR )
40		remulcl 9623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
41	14, 39, 40	sylancr 667	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
42	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 1 e. RR )
43	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 2 e. RR )
44		eliooord 11694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
45	44	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < A )
46		2pos 10701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < 2 )
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 10542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( A / 2 ) )
49		pire 23278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- pi e. RR
50		rehalfcl 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( pi e. RR -> ( pi / 2 ) e. RR )
51	49, 50	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( pi / 2 ) e. RR )
52	44	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( pi / 2 ) )
53		pigt2lt4 23276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
54	53	simpri 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- pi < 4
55		2t2e4 10759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 x. 2 ) = 4
56	54, 55	breqtrri 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- pi < ( 2 x. 2 )
57	14, 46	pm3.2i 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
58		ltdivmul 10479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) < 2 <-> pi < ( 2 x. 2 ) ) )
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( pi / 2 ) < 2 <-> pi < ( 2 x. 2 ) )
60	56, 59	mpbir 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( pi / 2 ) < 2
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( pi / 2 ) < 2 )
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 9795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < 2 )
63	28	mulid2i 9645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 x. 2 ) = 2
64	62, 63	syl6breqr 4466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( 1 x. 2 ) )
65		ltdivmul2 10481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) < 1 <-> A < ( 1 x. 2 ) ) )
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) < 1 <-> A < ( 1 x. 2 ) ) )
67	64, 66	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) < 1 )
68	6, 42, 67	ltled 9782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) <_ 1 )
69		0xr 9686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
70		elioc2 11697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( A / 2 ) e. RR /\ 0 < ( A / 2 ) /\ ( A / 2 ) <_ 1 ) ) )
71	69, 4, 70	mp2an 676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( A / 2 ) e. RR /\ 0 < ( A / 2 ) /\ ( A / 2 ) <_ 1 ) )
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) )
73		cos01bnd 14218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
75	74	simprd 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
76		cos01gt0 14223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) )
77	72, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) )
78		0re 9642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
79		ltle 9721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
80	78, 38, 79	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
81	77, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( A / 2 ) ) )
82	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 e. RR )
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 9795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
84	82, 12, 83	ltled 9782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 12447	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) < ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) <-> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) )
86	75, 85	mpbid 213	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) )
87		ltmul2 10455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) e. RR /\ ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) <-> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) < ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) ) )
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) <-> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) < ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) ) )
89	86, 88	mpbid 213	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) < ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) )
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 10224	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) < ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
91	37, 90	eqbrtrd 4446	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) < ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
92		3re 10683	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
93		remulcl 9623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 3 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
94	92, 10, 93	sylancr 667	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
95		4re 10686	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
96		remulcl 9623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
97	95, 10, 96	sylancr 667	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
98	10	resqcld 12439	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. RR )
99		remulcl 9623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR )
100	14, 98, 99	sylancr 667	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR )
101		readdcl 9621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
102	4, 100, 101	sylancr 667	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
103		3lt4 10779	. . . . . . . . . 10 |- 3 < 4
104	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 3 e. RR )
105	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 4 e. RR )
106	48	gt0ne0d 10177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A / 2 ) =/= 0 )
107	6, 106	sqgt0d 12441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( A / 2 ) ^ 2 ) )
108		3pos 10703	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 3
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < 3 )
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 10542	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
111		ltmul1 10454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR /\ ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR /\ 0 < ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) -> ( 3 < 4 <-> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 < 4 <-> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
113	103, 112	mpbii 214	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 10225	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
115		sq1 12366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
117	10	recnd 9668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. CC )
118	117	mulid2d 9660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
119	118	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
120	116, 119	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
121	120	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
122		ax-1cn 9596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
123		binom2sub 12388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
124	122, 117, 123	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 ^ 2 ) - ( 2 x. ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
125	42	recnd 9668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 1 e. CC )
126	98	recnd 9668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. CC )
127	16	recnd 9668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
128	125, 126, 127	addsubd 10006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
129	121, 124, 128	3eqtr4d 2480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
130	129	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
131		addcl 9620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC )
132	122, 126, 131	sylancr 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC )
133	29, 132, 127	subdid 10073	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
134	29, 125, 126	adddid 9666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
135	122	2timesi 10730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
136	135	oveq1i 6315	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 x. 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 + 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
137	100	recnd 9668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC )
138	125, 125, 137	addassd 9664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
139	136, 138	syl5eq 2482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
140	134, 139	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
141	55	oveq1i 6315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
142	29, 29, 117	mulassd 9665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
143	141, 142	syl5reqr 2485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
144	140, 143	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
145		addcl 9620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
146	122, 137, 145	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
147	97	recnd 9668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
148	125, 146, 147	addsubassd 10005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
149	144, 148	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 + ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
150	130, 133, 149	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
151	150	oveq1d 6320	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) - 1 ) )
152	146, 147	subcld 9985	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. CC )
153		pncan2 9881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. CC ) -> ( ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) - 1 ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
154	122, 152, 153	sylancr 667	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) - 1 ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
155	151, 154	eqtrd 2470	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 4 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
156		subcl 9873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) e. CC ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
157	122, 117, 156	sylancr 667	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
158	157, 125, 127	subdid 10073	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. 1 ) - ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
159	157	mulid1d 9659	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. 1 ) = ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
160	125, 117, 127	subdird 10074	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
161	127	mulid2d 9660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
162	117, 29, 117	mul12d 9841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
163	117	sqvald 12410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
164	163	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
165	162, 164	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
166	161, 165	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
167	160, 166	eqtrd 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
168	159, 167	oveq12d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. 1 ) - ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
169	125, 117, 127, 137	subadd4d 10033	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
170		df-3 10669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 = ( 2 + 1 )
171	28, 122	addcomi 9823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 + 1 ) = ( 1 + 2 )
172	170, 171	eqtri 2458	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 = ( 1 + 2 )
173	172	oveq1i 6315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( 1 + 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) )
174	125, 29, 117	adddird 9667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
175	118	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
176	174, 175	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
177	173, 176	syl5eq 2482	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
178	177	oveq2d 6321	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) + ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
179	169, 178	eqtr4d 2473	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
180	158, 168, 179	3eqtrd 2474	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 x. ( ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) - ( 3 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
181	114, 155, 180	3brtr4d 4456	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
182	2, 25, 26, 91, 181	lttrd 9795	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
183		ltmul2 10455	. . . . . . 7 |- ( ( ( cos ` A ) e. RR /\ ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) <-> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) ) )
184	2, 26, 1, 45, 183	syl112anc 1268	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) <-> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) ) )
185	182, 184	mpbid 213	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) )
186	18	recnd 9668	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. CC )
187	27, 157, 186	mulassd 9665	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( A x. ( ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) )
188	185, 187	breqtrrd 4452	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
189	13, 38	remulcld 9670	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
190	74	simpld 460	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) )
191	1, 12, 45, 83	mulgt0d 9789	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
192		ltmul2 10455	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR /\ ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR /\ 0 < ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
193	18, 38, 13, 191, 192	syl112anc 1268	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` ( A / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
194	190, 193	mpbid 213	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
195	29, 34, 157	mulassd 9665	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
196	32	oveq1d 6320	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
197	34, 125, 117	subdid 10073	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( ( A / 2 ) x. 1 ) - ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
198	34	mulid1d 9659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. 1 ) = ( A / 2 ) )
199	170	oveq2i 6316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A / 2 ) ^ 3 ) = ( ( A / 2 ) ^ ( 2 + 1 ) )
200		2nn0 10886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. NN0
201		expp1 12276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A / 2 ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( A / 2 ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) )
202	34, 200, 201	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) )
203	199, 202	syl5eq 2482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) )
204	7	recnd 9668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 2 ) e. CC )
205	204, 34	mulcomd 9663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) )
206	203, 205	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) = ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) )
207	206	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) = ( ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) / 3 ) )
208		3cn 10684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. CC
209	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 3 e. CC )
210		3ne0 10704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 =/= 0
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 3 =/= 0 )
212	34, 204, 209, 211	divassd 10417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) x. ( ( A / 2 ) ^ 2 ) ) / 3 ) = ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
213	207, 212	eqtr2d 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) )
214	198, 213	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) x. 1 ) - ( ( A / 2 ) x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) )
215	197, 214	eqtrd 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) )
216	215	oveq2d 6321	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( A / 2 ) x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) )
217	195, 196, 216	3eqtr3d 2478	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) )
218		sin01bnd 14217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A / 2 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) < ( A / 2 ) ) )
219	72, 218	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) < ( A / 2 ) ) )
220	219	simpld 460	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) )
221		3nn0 10887	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. NN0
222		reexpcl 12286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A / 2 ) e. RR /\ 3 e. NN0 ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) e. RR )
223	6, 221, 222	sylancl 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) ^ 3 ) e. RR )
224		nndivre 10645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
225	223, 8, 224	sylancl 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
226	6, 225	resubcld 10046	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) e. RR )
227	6	resincld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( A / 2 ) ) e. RR )
228		ltmul2 10455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) e. RR /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) <-> ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
229	226, 227, 43, 47, 228	syl112anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( A / 2 ) ) <-> ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
230	220, 229	mpbid 213	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( A / 2 ) - ( ( ( A / 2 ) ^ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) )
231	217, 230	eqbrtrd 4446	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) )
232		remulcl 9623	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sin ` ( A / 2 ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
233	14, 227, 232	sylancr 667	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
234		ltmul1 10454	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ( cos ` ( A / 2 ) ) e. RR /\ 0 < ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
235	13, 233, 38, 77, 234	syl112anc 1268	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) <-> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
236	231, 235	mpbid 213	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
237	227	recnd 9668	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( A / 2 ) ) e. CC )
238	38	recnd 9668	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) e. CC )
239	29, 237, 238	mulassd 9665	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( A / 2 ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
240		sin2t 14209	. . . . . . . 8 |- ( ( A / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( A / 2 ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
241	34, 240	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( A / 2 ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) ) )
242	32	fveq2d 5885	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( sin ` A ) )
243	239, 241, 242	3eqtr2rd 2477	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` A ) = ( ( 2 x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
244	236, 243	breqtrrd 4452	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( cos ` ( A / 2 ) ) ) < ( sin ` A ) )
245	19, 189, 20, 194, 244	lttrd 9795	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( 1 - ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) x. ( 1 - ( 2 x. ( ( ( A / 2 ) ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( sin ` A ) )
246	3, 19, 20, 188, 245	lttrd 9795	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A x. ( cos ` A ) ) < ( sin ` A ) )
247		sincosq1sgn 23318	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
248	247	simprd 464	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )
249		ltmuldiv 10477	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( sin ` A ) e. RR /\ ( ( cos ` A ) e. RR /\ 0 < ( cos ` A ) ) ) -> ( ( A x. ( cos ` A ) ) < ( sin ` A ) <-> A < ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) )
250	1, 20, 2, 248, 249	syl112anc 1268	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( A x. ( cos ` A ) ) < ( sin ` A ) <-> A < ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) ) )
251	246, 250	mpbid 213	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
252	248	gt0ne0d 10177	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` A ) =/= 0 )
253		tanval 14160	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) =/= 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
254	27, 252, 253	syl2anc 665	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
255	251, 254	breqtrrd 4452	1 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( tan ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   + caddc 9541   x. cmul 9543   RR*cxr 9673   < clt 9674   <_ cle 9675   - cmin 9859   / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   NN0cn0 10869   (,)cioo 11635   (,]cioc 11636   ^cexp 12269   sincsin 14094   cosccos 14095   tanctan 14096   picpi 14097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-tan 14103  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699

This theorem is referenced by:  tanabsge  23326  basellem8  23877