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Theorem tanarg 23114
Description: The basic relation between the "arg" function 
Im  o.  log and the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanarg  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  A )  / 
( Re `  A
) ) )

Proof of Theorem tanarg
StepHypRef Expression
1 fveq2 5791 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  ( Re ` 
0 ) )
2 re0 13010 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  0 )  =  0
31, 2syl6eq 2453 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  0 )
43necon3i 2636 . . . . . 6  |-  ( ( Re `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
5 logcl 23064 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
64, 5sylan2 472 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
76imcld 13053 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
87recnd 9555 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
9 sqcl 12156 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
109adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
11 abscl 13136 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1211adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1312recnd 9555 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1413sqcld 12233 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
15 absrpcl 13146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
164, 15sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
1716rpne0d 11204 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
18 sqne0 12160 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( abs `  A )  =/=  0
) )
1913, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( abs `  A )  =/=  0 ) )
2017, 19mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =/=  0 )
2110, 14, 14, 20divdird 10297 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) ) )
22 ax-icn 9484 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
23 mulcl 9509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
2422, 8, 23sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
25 2z 10835 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
26 efexp 13861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ^ 2 ) )
2724, 25, 26sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ^ 2 ) )
28 efiarg 23102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
294, 28sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
3029oveq1d 6233 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  / 
( abs `  A
) ) ^ 2 ) )
31 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
3231, 13, 17sqdivd 12248 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A  / 
( abs `  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )
3327, 30, 323eqtrrd 2442 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
3414, 20dividd 10257 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
3533, 34oveq12d 6236 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) )
3621, 35eqtr2d 2438 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )
3710, 14addcld 9548 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
3822a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  _i  e.  CC )
39 2cn 10545 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
40 recl 12968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
4140adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
4241recnd 9555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  A
)  e.  CC )
4342sqcld 12233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
44 mulcl 9509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4539, 43, 44sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
4639a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
2  e.  CC )
47 imcl 12969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
4847adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  A
)  e.  RR )
4948recnd 9555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  A
)  e.  CC )
5042, 49mulcld 9549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
5138, 46, 50mul12d 9722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
5238, 42, 49mul12d 9722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) )  =  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
5352oveq2d 6234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
5451, 53eqtrd 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
55 mulcl 9509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
5622, 49, 55sylancr 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
5742, 56mulcld 9549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
58 mulcl 9509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  CC )
5939, 57, 58sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  CC )
6054, 59eqeltrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  CC )
6138, 45, 60adddid 9553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
62 mulcl 9509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  e.  CC )
6342, 22, 62sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  e.  CC )
6446, 63, 42mulassd 9552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
6542sqvald 12232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  A ) ) )
6665oveq1d 6233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  x.  _i )  =  ( (
( Re `  A
)  x.  ( Re
`  A ) )  x.  _i ) )
67 mulcom 9511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) )
6843, 22, 67sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) )
6942, 42, 38mul32d 9723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  A
) )  x.  _i )  =  ( (
( Re `  A
)  x.  _i )  x.  ( Re `  A ) ) )
7066, 68, 693eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  _i )  x.  ( Re `  A ) ) )
7170oveq2d 6234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( (
Re `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
7246, 38, 43mul12d 9722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
_i  x.  ( (
Re `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) ) )
7364, 71, 723eqtr2d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) ) )
74 ixi 10117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
7574oveq1i 6228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  A
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) )
76 mulcl 9509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
7739, 49, 76sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
7877, 42mulcld 9549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC )
7938, 38, 78mulassd 9552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) ) ) )
8075, 79syl5eqr 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) ) ) )
8178mulm1d 9948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  -u (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )
8246, 49, 42mulassd 9552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
8349, 42mulcomd 9550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) )
8483oveq2d 6234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
8582, 84eqtrd 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
8685oveq2d 6234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
8786oveq2d 6234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( Re `  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) )
8880, 81, 873eqtr3d 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  -u ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) )
8973, 88oveq12d 6236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  x.  ( Re `  A
) )  +  -u ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) )  =  ( ( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) ) )
90 mulcl 9509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( Re `  A )  x.  _i )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  e.  CC )
9139, 63, 90sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  e.  CC )
9291, 42mulcld 9549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC )
9392, 78negsubd 9872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  x.  ( Re `  A
) )  +  -u ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Re `  A )
) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Re `  A )
)  -  ( ( 2  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( Re `  A ) ) ) )
9461, 89, 933eqtr2d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  A )
) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  x.  ( Re
`  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
9549sqcld 12233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
9659, 95subcld 9866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
9743, 96, 43, 95add4d 9738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
98 replim 12974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
9998adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
10099oveq1d 6233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ^ 2 ) )
101 binom2 12208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^
2 ) ) )
10242, 56, 101syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^
2 ) ) )
103 sqmul 12157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
10422, 49, 103sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( _i
^ 2 )  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
105 i2 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
106105oveq1i 6228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )
107104, 106syl6eq 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
10895mulm1d 9948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  -u (
( Im `  A
) ^ 2 ) )
109107, 108eqtrd 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ^ 2 )  =  -u ( ( Im
`  A ) ^
2 ) )
110109oveq2d 6234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  +  -u ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
11143, 59addcld 9548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
112111, 95negsubd 9872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  +  -u ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  -  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
113102, 110, 1123eqtrd 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  -  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
11443, 59, 95addsubassd 9886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) )
115100, 113, 1143eqtrd 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) )
116 absvalsq2 13139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
117116adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
118115, 117oveq12d 6236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
119432timesd 10720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) ) )
12059, 95npcand 9870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
12153, 51, 1203eqtr4d 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
122119, 121oveq12d 6236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
12397, 118, 1223eqtr4d 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) ) )
124123oveq2d 6234 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) ) )
12591, 77, 42subdird 9953 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Re `  A )
)  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  x.  ( Re
`  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  A
) ) ) )
12694, 124, 1253eqtr4d 2447 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( Re `  A ) ) )
12791, 77subcld 9866 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  e.  CC )
128 mulcom 9511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( Re `  A
) ) )
12942, 22, 128sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( _i  x.  ( Re `  A
) ) )
130 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  A
)  =/=  0 )
131 eleq1 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  x.  ( Re
`  A ) )  =  ( Im `  A )  ->  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR  <->  ( Im `  A )  e.  RR ) )
13248, 131syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  =  ( Im
`  A )  -> 
( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR ) )
133 rimul 10465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )  ->  ( Re `  A )  =  0 )
13441, 132, 133syl6an 543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  =  ( Im
`  A )  -> 
( Re `  A
)  =  0 ) )
135134necon3d 2620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  =/=  0  ->  ( _i  x.  (
Re `  A )
)  =/=  ( Im
`  A ) ) )
136130, 135mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
Re `  A )
)  =/=  ( Im
`  A ) )
137129, 136eqnetrd 2689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =/=  ( Im `  A ) )
13891, 77subeq0ad 9876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  =  0  <-> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) ) )
139 2ne0 10567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
2  =/=  0 )
14163, 49, 46, 140mulcand 10121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( Im
`  A ) )  <-> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( Im `  A ) ) )
142138, 141bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  =  0  <-> 
( ( Re `  A )  x.  _i )  =  ( Im `  A ) ) )
143142necon3bid 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  =/=  0  <->  ( ( Re `  A
)  x.  _i )  =/=  ( Im `  A ) ) )
144137, 143mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  =/=  0 )
145127, 42, 144, 130mulne0d 10140 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Re `  A )
)  =/=  0 )
146126, 145eqnetrd 2689 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
147 oveq2 6226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  0  ->  (
_i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
148 it0e0 10700 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
149147, 148syl6eq 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  0  ->  (
_i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  0 )
150149necon3i 2636 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =/=  0  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =/=  0 )
151146, 150syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  =/=  0 )
15237, 14, 151, 20divne0d 10275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =/=  0 )
15336, 152eqnetrd 2689 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 )  =/=  0 )
154 tanval3 13894 . . 3  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  /\  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 )  =/=  0 )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 )  / 
( _i  x.  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) ) ) )
1558, 153, 154syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 )  /  ( _i  x.  ( ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) )  +  1 ) ) ) )
15610, 14, 14, 20divsubdird 10298 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) ) )
15733, 34oveq12d 6236 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  -  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 ) )
158156, 157eqtr2d 2438 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )
15936oveq2d 6234 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) ) )
16038, 37, 14, 20divassd 10294 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  ( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) )
161159, 160eqtr4d 2440 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
162158, 161oveq12d 6236 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( exp `  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) )  -  1 )  /  ( _i  x.  ( ( exp `  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) )
16310, 14subcld 9866 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
164 mulcl 9509 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( A ^
2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
16522, 37, 164sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
166163, 165, 14, 146, 20divcan7d 10287 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) ) )
167115, 117oveq12d 6236 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
16843, 96, 95pnpcand 9903 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) ) )
16959, 95, 95subsub4d 9897 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
170952timesd 10720 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Im `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
171170oveq2d 6234 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) )
17246, 63, 49mulassd 9552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
17342, 38, 49mulassd 9552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A )  x.  _i )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
174173oveq2d 6234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( ( Re `  A )  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
175172, 174eqtr2d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
17649sqvald 12232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  A ) ) )
177176oveq2d 6234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
17846, 49, 49mulassd 9552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( 2  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
179177, 178eqtr4d 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
180175, 179oveq12d 6236 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  x.  ( Im `  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A
) )  x.  (
Im `  A )
) ) )
18191, 77, 49subdird 9953 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Im `  A )
)  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  x.  ( Im
`  A ) )  -  ( ( 2  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Im `  A
) ) ) )
182180, 181eqtr4d 2440 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A
) ) )  x.  ( Im `  A
) ) )
183169, 171, 1823eqtr2d 2443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  -  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  -  (
( Im `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
184167, 168, 1833eqtrd 2441 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  -  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( Re `  A
)  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( Im `  A ) ) )
185184, 126oveq12d 6236 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A
) ) )  x.  ( Im `  A
) )  /  (
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
18649, 42, 127, 130, 144divcan5d 10285 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  ( 2  x.  ( Im `  A
) ) )  x.  ( Im `  A
) )  /  (
( ( 2  x.  ( ( Re `  A )  x.  _i ) )  -  (
2  x.  ( Im
`  A ) ) )  x.  ( Re
`  A ) ) )  =  ( ( Im `  A )  /  ( Re `  A ) ) )
187166, 185, 1863eqtrd 2441 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )  /  (
( abs `  A
) ^ 2 ) )  /  ( ( _i  x.  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( Im `  A
)  /  ( Re
`  A ) ) )
188155, 162, 1873eqtrd 2441 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  A )  / 
( Re `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2591   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   CCcc 9423   RRcr 9424   0cc0 9425   1c1 9426   _ici 9427    + caddc 9428    x. cmul 9430    - cmin 9740   -ucneg 9741    / cdiv 10145   2c2 10524   ZZcz 10803   RR+crp 11161   ^cexp 12092   Recre 12955   Imcim 12956   abscabs 13092   expce 13822   tanctan 13826   logclog 23050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503  ax-addf 9504  ax-mulf 9505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-supp 6840  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-2o 7071  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-pm 7363  df-ixp 7411  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fsupp 7767  df-fi 7808  df-sup 7838  df-oi 7872  df-card 8255  df-cda 8483  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-ioo 11476  df-ioc 11477  df-ico 11478  df-icc 11479  df-fz 11616  df-fzo 11740  df-fl 11851  df-mod 11920  df-seq 12034  df-exp 12093  df-fac 12279  df-bc 12306  df-hash 12331  df-shft 12925  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-limsup 13319  df-clim 13336  df-rlim 13337  df-sum 13534  df-ef 13828  df-sin 13830  df-cos 13831  df-tan 13832  df-pi 13833  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-starv 14740  df-sca 14741  df-vsca 14742  df-ip 14743  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-unif 14748  df-hom 14749  df-cco 14750  df-rest 14853  df-topn 14854  df-0g 14872  df-gsum 14873  df-topgen 14874  df-pt 14875  df-prds 14878  df-xrs 14932  df-qtop 14937  df-imas 14938  df-xps 14940  df-mre 15016  df-mrc 15017  df-acs 15019  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-submnd 16107  df-mulg 16200  df-cntz 16495  df-cmn 16940  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-fbas 18552  df-fg 18553  df-cnfld 18557  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-topsp 19511  df-cld 19628  df-ntr 19629  df-cls 19630  df-nei 19708  df-lp 19746  df-perf 19747  df-cn 19837  df-cnp 19838  df-haus 19925  df-tx 20171  df-hmeo 20364  df-fil 20455  df-fm 20547  df-flim 20548  df-flf 20549  df-xms 20931  df-ms 20932  df-tms 20933  df-cncf 21490  df-limc 22378  df-dv 22379  df-log 23052
This theorem is referenced by:  logcnlem4  23136  atanlogsublem  23385
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