MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tan4thpi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem tan4thpi 23462
Description: The tangent of  pi  / 
4. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tan4thpi  |-  ( tan `  ( pi  /  4
) )  =  1

Proof of Theorem tan4thpi
StepHypRef Expression
1 pire 23406 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
2 4nn 10766 . . . . 5  |-  4  e.  NN
3 nndivre 10642 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  ( pi  /  4
)  e.  RR )
41, 2, 3mp2an 677 . . . 4  |-  ( pi 
/  4 )  e.  RR
54recni 9652 . . 3  |-  ( pi 
/  4 )  e.  CC
6 sincos4thpi 23461 . . . . 5  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  =  ( 1  / 
( sqr `  2
) )  /\  ( cos `  ( pi  / 
4 ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) ) )
76simpri 464 . . . 4  |-  ( cos `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
8 sqrt2re 14295 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
98recni 9652 . . . . 5  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
10 2re 10676 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
11 0le2 10697 . . . . . . . 8  |-  0  <_  2
12 resqrtth 13312 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( ( sqr `  2
) ^ 2 )  =  2 )
1310, 11, 12mp2an 677 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  2 ) ^ 2 )  =  2
14 2ne0 10699 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
1513, 14eqnetri 2693 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  2 ) ^ 2 )  =/=  0
16 sqne0 12338 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sqr `  2
) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( sqr `  2 )  =/=  0
) )
179, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  2
) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( sqr `  2 )  =/=  0
)
1815, 17mpbi 212 . . . . 5  |-  ( sqr `  2 )  =/=  0
19 recne0 10280 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( sqr `  2 ) )  =/=  0 )
209, 18, 19mp2an 677 . . . 4  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  =/=  0
217, 20eqnetri 2693 . . 3  |-  ( cos `  ( pi  /  4
) )  =/=  0
22 tanval 14175 . . 3  |-  ( ( ( pi  /  4
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi 
/  4 ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
pi  /  4 ) )  =  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  /  ( cos `  (
pi  /  4 ) ) ) )
235, 21, 22mp2an 677 . 2  |-  ( tan `  ( pi  /  4
) )  =  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  /  ( cos `  ( pi  /  4
) ) )
246simpli 460 . . 3  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
2524, 7oveq12i 6300 . 2  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  /  ( cos `  (
pi  /  4 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( sqr `  2 ) )  /  ( 1  / 
( sqr `  2
) ) )
269, 18reccli 10334 . . 3  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  e.  CC
2726, 20dividi 10337 . 2  |-  ( ( 1  /  ( sqr `  2 ) )  /  ( 1  / 
( sqr `  2
) ) )  =  1
2823, 25, 273eqtri 2476 1  |-  ( tan `  ( pi  /  4
) )  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    <_ cle 9673    / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   4c4 10658   ^cexp 12269   sqrcsqrt 13289   sincsin 14109   cosccos 14110   tanctan 14111   picpi 14112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-tan 14118  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815
This theorem is referenced by:  atan1  23847
  Copyright terms: Public domain W3C validator