MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tan4thpi Structured version   Unicode version

Theorem tan4thpi 22637
Description: The tangent of  pi  / 
4. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tan4thpi  |-  ( tan `  ( pi  /  4
) )  =  1

Proof of Theorem tan4thpi
StepHypRef Expression
1 pire 22582 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
2 4nn 10691 . . . . 5  |-  4  e.  NN
3 nndivre 10567 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  ( pi  /  4
)  e.  RR )
41, 2, 3mp2an 672 . . . 4  |-  ( pi 
/  4 )  e.  RR
54recni 9604 . . 3  |-  ( pi 
/  4 )  e.  CC
6 sincos4thpi 22636 . . . . 5  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  =  ( 1  / 
( sqr `  2
) )  /\  ( cos `  ( pi  / 
4 ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) ) )
76simpri 462 . . . 4  |-  ( cos `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
8 sqrt2re 13837 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
98recni 9604 . . . . 5  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
10 2re 10601 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
11 0le2 10622 . . . . . . . 8  |-  0  <_  2
12 resqrtth 13046 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( ( sqr `  2
) ^ 2 )  =  2 )
1310, 11, 12mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  2 ) ^ 2 )  =  2
14 2ne0 10624 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
1513, 14eqnetri 2763 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  2 ) ^ 2 )  =/=  0
16 sqne0 12196 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  ->  (
( ( sqr `  2
) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( sqr `  2 )  =/=  0
) )
179, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  2
) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( sqr `  2 )  =/=  0
)
1815, 17mpbi 208 . . . . 5  |-  ( sqr `  2 )  =/=  0
19 recne0 10216 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( sqr `  2 ) )  =/=  0 )
209, 18, 19mp2an 672 . . . 4  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  =/=  0
217, 20eqnetri 2763 . . 3  |-  ( cos `  ( pi  /  4
) )  =/=  0
22 tanval 13717 . . 3  |-  ( ( ( pi  /  4
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( pi 
/  4 ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
pi  /  4 ) )  =  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  /  ( cos `  (
pi  /  4 ) ) ) )
235, 21, 22mp2an 672 . 2  |-  ( tan `  ( pi  /  4
) )  =  ( ( sin `  (
pi  /  4 ) )  /  ( cos `  ( pi  /  4
) ) )
246simpli 458 . . 3  |-  ( sin `  ( pi  /  4
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  2 ) )
2524, 7oveq12i 6294 . 2  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  4 ) )  /  ( cos `  (
pi  /  4 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( sqr `  2 ) )  /  ( 1  / 
( sqr `  2
) ) )
269, 18reccli 10270 . . 3  |-  ( 1  /  ( sqr `  2
) )  e.  CC
2726, 20dividi 10273 . 2  |-  ( ( 1  /  ( sqr `  2 ) )  /  ( 1  / 
( sqr `  2
) ) )  =  1
2823, 25, 273eqtri 2500 1  |-  ( tan `  ( pi  /  4
) )  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    <_ cle 9625    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   4c4 10583   ^cexp 12129   sqrcsqrt 13023   sincsin 13654   cosccos 13655   tanctan 13656   picpi 13657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12071  df-exp 12130  df-fac 12316  df-bc 12343  df-hash 12368  df-shft 12857  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-limsup 13250  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-ef 13658  df-sin 13660  df-cos 13661  df-tan 13662  df-pi 13663  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-nei 19362  df-lp 19400  df-perf 19401  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-haus 19579  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-cncf 21114  df-limc 22002  df-dv 22003
This theorem is referenced by:  atan1  22984
  Copyright terms: Public domain W3C validator