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Theorem tan2h 31937
Description: Half-angle rule for tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
tan2h  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  ( 1  +  ( cos `  A
) ) ) ) )

Proof of Theorem tan2h
StepHypRef Expression
1 0re 9643 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2 pire 23413 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
32rexri 9693 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR*
4 icossre 11715 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
0 [,) pi ) 
C_  RR )
51, 3, 4mp2an 678 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) pi )  C_  RR
65sseli 3428 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  RR )
76recnd 9669 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  CC )
87halfcld 10857 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
96rehalfcld 10859 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
109rered 13287 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
Re `  ( A  /  2 ) )  =  ( A  / 
2 ) )
11 elico2 11698 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) ) )
121, 3, 11mp2an 678 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) )
13 pipos 23415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  pi
14 lt0neg2 10121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
0  <  pi  <->  -u pi  <  0 ) )
152, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <  pi  <->  -u pi  <  0 )
1613, 15mpbi 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  <  0
172renegcli 9935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
18 ltletr 9725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( -u pi  <  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <  A ) )
1917, 1, 18mp3an12 1354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -u pi  <  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <  A
) )
2016, 19mpani 682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  -u pi  <  A ) )
21 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
22 2pos 10701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
2321, 22pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
24 ltdiv1 10469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( -u pi  <  A  <->  ( -u pi  /  2 )  <  ( A  /  2 ) ) )
2517, 23, 24mp3an13 1355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u pi  <  A  <->  ( -u pi  /  2 )  <  ( A  /  2 ) ) )
26 picn 23414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  CC
27 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
28 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
29 divneg 10302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
3026, 27, 28, 29mp3an 1364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
3130breq1i 4409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u ( pi  /  2
)  <  ( A  /  2 )  <->  ( -u pi  /  2 )  <  ( A  /  2 ) )
3225, 31syl6bbr 267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u pi  <  A  <->  -u ( pi 
/  2 )  < 
( A  /  2
) ) )
3320, 32sylibd 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  -u ( pi  /  2
)  <  ( A  /  2 ) ) )
34 ltdiv1 10469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  < 
pi 
<->  ( A  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
352, 23, 34mp3an23 1356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  pi  <->  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) )
3635biimpd 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  pi  ->  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) )
3733, 36anim12d 566 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
38 rehalfcl 10839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
3938rexrd 9690 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e. 
RR* )
40 halfpire 23419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
4140renegcli 9935 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
4241rexri 9693 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
4340rexri 9693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
44 elioo5 11692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  ( A  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
4542, 43, 44mp3an12 1354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR*  ->  ( ( A  /  2 )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
4639, 45syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
4737, 46sylibrd 238 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  ( A  / 
2 )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) ) )
48473impib 1206 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
4912, 48sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
5010, 49eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
Re `  ( A  /  2 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
51 cosne0 23479 . . . . 5  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( A  /  2 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  ( A  /  2 ) )  =/=  0 )
528, 50, 51syl2anc 667 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =/=  0 )
53 tanval 14182 . . . 4  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( A  /  2 ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  ( A  /  2 ) )  =  ( ( sin `  ( A  /  2
) )  /  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) )
548, 52, 53syl2anc 667 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  /  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )
55 0xr 9687 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
56 elico1 11679 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) ) )
5755, 3, 56mp2an 678 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) )
5821, 2remulcli 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5958rexri 9693 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  e. 
RR*
60 1lt2 10776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  2
61 ltmulgt12 10466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  pi )  ->  (
1  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  pi ) ) )
622, 21, 13, 61mp3an 1364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
6360, 62mpbi 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
64 xrlttr 11439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( 2  x.  pi )  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  pi  /\  pi  <  ( 2  x.  pi ) )  ->  A  <  (
2  x.  pi ) ) )
653, 64mp3an2 1352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  (
( A  <  pi  /\  pi  <  ( 2  x.  pi ) )  ->  A  <  (
2  x.  pi ) ) )
6663, 65mpan2i 683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  <  pi  ->  A  <  ( 2  x.  pi ) ) )
67 xrltle 11448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  <  ( 2  x.  pi )  ->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
6866, 67syld 45 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
6959, 68mpan2 677 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
7069anim2d 569 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  -> 
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
71 elicc4 11701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
7255, 59, 71mp3an12 1354 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
7370, 72sylibrd 238 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) ) ) )
74733impib 1206 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  < 
pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] (
2  x.  pi ) ) )
7557, 74sylbi 199 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] (
2  x.  pi ) ) )
76 sin2h 31935 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
7775, 76syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
781, 2, 13ltleii 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  pi
79 le0neg2 10123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
0  <_  pi  <->  -u pi  <_  0 ) )
802, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  pi  <->  -u pi  <_  0 )
8178, 80mpbi 212 . . . . . . . . . 10  |-  -u pi  <_  0
8217rexri 9693 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR*
83 xrletr 11455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( -u pi  <_  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <_  A
) )
8482, 55, 83mp3an12 1354 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( (
-u pi  <_  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <_  A
) )
8581, 84mpani 682 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  A  ->  -u pi  <_  A ) )
86 xrltle 11448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  pi ) )
873, 86mpan2 677 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  pi ) )
8885, 87anim12d 566 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  -> 
( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) ) )
89 elicc4 11701 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) ) )
9082, 3, 89mp3an12 1354 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) ) )
9188, 90sylibrd 238 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) ) )
92913impib 1206 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  < 
pi )  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
9357, 92sylbi 199 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
94 cos2h 31936 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
9593, 94syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
9677, 95oveq12d 6308 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  /  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
2 ) )  / 
( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ) )
9754, 96eqtrd 2485 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) )  /  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ) )
98 1re 9642 . . . . 5  |-  1  e.  RR
996recoscld 14198 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
100 resubcl 9938 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
10198, 99, 100sylancr 669 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
102101rehalfcld 10859 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
103 cosbnd 14235 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )
104103simprd 465 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  <_ 
1 )
105 recoscl 14195 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
106 subge0 10127 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( cos `  A ) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
107 halfnneg2 10844 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
108100, 107syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( cos `  A ) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
109106, 108bitr3d 259 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( ( cos `  A
)  <_  1  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
11098, 105, 109sylancr 669 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <_  1  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
111104, 110mpbid 214 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
1126, 111syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
113 readdcl 9622 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR )
11498, 99, 113sylancr 669 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR )
115103simpld 461 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  -u 1  <_  ( cos `  A
) )
11698renegcli 9935 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  RR
117 subge0 10127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  -u 1  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  <->  -u 1  <_  ( cos `  A ) ) )
118105, 116, 117sylancl 668 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( ( cos `  A )  -  -u 1 )  <->  -u 1  <_ 
( cos `  A
) ) )
119 recn 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
120119coscld 14185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
121 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
122 subneg 9923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( ( cos `  A )  +  1 ) )
123 addcom 9819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
124122, 123eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
125120, 121, 124sylancl 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
126125breq2d 4414 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( ( cos `  A )  -  -u 1 )  <->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) ) )
127118, 126bitr3d 259 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  <->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) ) )
128115, 127mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) )
1296, 128syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) )
130 snunioo 11758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  < 
pi )  ->  ( { 0 }  u.  ( 0 (,) pi ) )  =  ( 0 [,) pi ) )
13155, 3, 13, 130mp3an 1364 . . . . . . . . 9  |-  ( { 0 }  u.  (
0 (,) pi ) )  =  ( 0 [,) pi )
132131eleq2i 2521 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( { 0 }  u.  ( 0 (,) pi ) )  <-> 
A  e.  ( 0 [,) pi ) )
133 elun 3574 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( { 0 }  u.  ( 0 (,) pi ) )  <-> 
( A  e.  {
0 }  \/  A  e.  ( 0 (,) pi ) ) )
134132, 133bitr3i 255 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  { 0 }  \/  A  e.  ( 0 (,) pi ) ) )
135 elsni 3993 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  { 0 }  ->  A  =  0 )
136 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  0  ->  ( cos `  A )  =  ( cos `  0
) )
137 cos0 14204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( cos `  0 )  =  1
138136, 137syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  0  ->  ( cos `  A )  =  1 )
139138oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  0  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =  ( 1  +  1 ) )
140 df-2 10668 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =  ( 1  +  1 )
141139, 140syl6eqr 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  0  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =  2 )
14228a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  0  ->  2  =/=  0 )
143141, 142eqnetrd 2691 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
144135, 143syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  { 0 }  ->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =/=  0
)
145 sinq12gt0 23462 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  A
) )
146 ltne 9730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( sin `  A
) )  ->  ( sin `  A )  =/=  0 )
1471, 146mpan 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  ( sin `  A
)  ->  ( sin `  A )  =/=  0
)
148 elioore 11666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  A  e.  RR )
149148recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  A  e.  CC )
150 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  =  ( cos `  A )  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  =  ( cos `  A )  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
152 df-neg 9863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
153152eqeq1i 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  =  ( cos `  A )  <->  ( 0  -  1 )  =  ( cos `  A
) )
154 coscl 14181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
155 0cn 9635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  CC
156 subadd 9878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  ->  (
( 0  -  1 )  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
157155, 121, 156mp3an12 1354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( cos `  A )  e.  CC  ->  (
( 0  -  1 )  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
158154, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 0  -  1 )  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
159153, 158syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
160 sincl 14180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
161160sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
162 0cnd 9636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  CC )
163154sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
164161, 162, 163addcan2d 9837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  <->  ( ( sin `  A ) ^ 2 )  =  0 ) )
165 sincossq 14230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
166 neg1sqe1 12370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
167165, 166syl6eqr 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  (
-u 1 ^ 2 ) )
168163addid2d 9834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )
169167, 168eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  <->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )
170 sqeq0 12339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sin `  A )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sin `  A )  =  0 ) )
171160, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sin `  A )  =  0 ) )
172164, 169, 1713bitr3d 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 )  <->  ( sin `  A )  =  0 ) )
173151, 159, 1723imtr3d 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  =  0  -> 
( sin `  A
)  =  0 ) )
174149, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  =  0  -> 
( sin `  A
)  =  0 ) )
175174necon3d 2645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( sin `  A
)  =/=  0  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 ) )
176147, 175syl5 33 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 ) )
177145, 176mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
178144, 177jaoi 381 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  { 0 }  \/  A  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
179134, 178sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
180114, 129, 179ne0gt0d 9772 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  0  <  ( 1  +  ( cos `  A ) ) )
181114, 180elrpd 11338 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR+ )
182181rphalfcld 11353 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )
183102, 112, 182sqrtdivd 13485 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( sqr `  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
2 )  /  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) )  /  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ) )
1847coscld 14185 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
185 subcl 9874 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
186121, 184, 185sylancr 669 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
187 addcl 9621 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC )
188121, 184, 187sylancr 669 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC )
189 2cnne0 10824 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
190 divcan7 10316 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
)  /  ( ( 1  +  ( cos `  A ) )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  (
1  +  ( cos `  A ) ) ) )
191189, 190mp3an3 1353 . . . 4  |-  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 ) )  ->  ( (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  / 
( ( 1  +  ( cos `  A
) )  /  2
) )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  ( 1  +  ( cos `  A
) ) ) )
192186, 188, 179, 191syl12anc 1266 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
)  /  ( ( 1  +  ( cos `  A ) )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  (
1  +  ( cos `  A ) ) ) )
193192fveq2d 5869 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( sqr `  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
2 )  /  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
( 1  +  ( cos `  A ) ) ) ) )
19497, 183, 1933eqtr2d 2491 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  ( 1  +  ( cos `  A
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622    u. cun 3402    C_ wss 3404   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   2c2 10659   (,)cioo 11635   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   ^cexp 12272   Recre 13160   sqrcsqrt 13296   sincsin 14116   cosccos 14117   tanctan 14118   picpi 14119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-tan 14125  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
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