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Theorem tan2h 31850
Description: Half-angle rule for tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
tan2h  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  ( 1  +  ( cos `  A
) ) ) ) )

Proof of Theorem tan2h
StepHypRef Expression
1 0re 9643 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2 pire 23399 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
32rexri 9693 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR*
4 icossre 11715 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
0 [,) pi ) 
C_  RR )
51, 3, 4mp2an 676 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) pi )  C_  RR
65sseli 3460 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  RR )
76recnd 9669 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  CC )
87halfcld 10857 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
96rehalfcld 10859 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
109rered 13275 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
Re `  ( A  /  2 ) )  =  ( A  / 
2 ) )
11 elico2 11698 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) ) )
121, 3, 11mp2an 676 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) )
13 pipos 23401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  pi
14 lt0neg2 10121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
0  <  pi  <->  -u pi  <  0 ) )
152, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <  pi  <->  -u pi  <  0 )
1613, 15mpbi 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  <  0
172renegcli 9935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
18 ltletr 9725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( -u pi  <  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <  A ) )
1917, 1, 18mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -u pi  <  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <  A
) )
2016, 19mpani 680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  -u pi  <  A ) )
21 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
22 2pos 10701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
2321, 22pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
24 ltdiv1 10469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( -u pi  <  A  <->  ( -u pi  /  2 )  <  ( A  /  2 ) ) )
2517, 23, 24mp3an13 1351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u pi  <  A  <->  ( -u pi  /  2 )  <  ( A  /  2 ) ) )
26 picn 23400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  CC
27 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
28 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
29 divneg 10302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
3026, 27, 28, 29mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
3130breq1i 4427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u ( pi  /  2
)  <  ( A  /  2 )  <->  ( -u pi  /  2 )  <  ( A  /  2 ) )
3225, 31syl6bbr 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u pi  <  A  <->  -u ( pi 
/  2 )  < 
( A  /  2
) ) )
3320, 32sylibd 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  -u ( pi  /  2
)  <  ( A  /  2 ) ) )
34 ltdiv1 10469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  < 
pi 
<->  ( A  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
352, 23, 34mp3an23 1352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  pi  <->  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) )
3635biimpd 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  pi  ->  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) )
3733, 36anim12d 565 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
38 rehalfcl 10839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
3938rexrd 9690 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e. 
RR* )
40 halfpire 23405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
4140renegcli 9935 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
4241rexri 9693 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
4340rexri 9693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
44 elioo5 11692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  ( A  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
4542, 43, 44mp3an12 1350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR*  ->  ( ( A  /  2 )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
4639, 45syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
4737, 46sylibrd 237 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  ( A  / 
2 )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) ) )
48473impib 1203 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
4912, 48sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
5010, 49eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
Re `  ( A  /  2 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
51 cosne0 23465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( A  /  2 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  ( A  /  2 ) )  =/=  0 )
528, 50, 51syl2anc 665 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =/=  0 )
53 tanval 14169 . . . 4  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( A  /  2 ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  ( A  /  2 ) )  =  ( ( sin `  ( A  /  2
) )  /  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) )
548, 52, 53syl2anc 665 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  /  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )
55 0xr 9687 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
56 elico1 11679 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) ) )
5755, 3, 56mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) )
5821, 2remulcli 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5958rexri 9693 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  e. 
RR*
60 1lt2 10776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  2
61 ltmulgt12 10466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  pi )  ->  (
1  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  pi ) ) )
622, 21, 13, 61mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
6360, 62mpbi 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
64 xrlttr 11439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( 2  x.  pi )  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  pi  /\  pi  <  ( 2  x.  pi ) )  ->  A  <  (
2  x.  pi ) ) )
653, 64mp3an2 1348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  (
( A  <  pi  /\  pi  <  ( 2  x.  pi ) )  ->  A  <  (
2  x.  pi ) ) )
6663, 65mpan2i 681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  <  pi  ->  A  <  ( 2  x.  pi ) ) )
67 xrltle 11448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  <  ( 2  x.  pi )  ->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
6866, 67syld 45 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
6959, 68mpan2 675 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
7069anim2d 567 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  -> 
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
71 elicc4 11701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
7255, 59, 71mp3an12 1350 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
7370, 72sylibrd 237 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) ) ) )
74733impib 1203 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  < 
pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] (
2  x.  pi ) ) )
7557, 74sylbi 198 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] (
2  x.  pi ) ) )
76 sin2h 31848 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
7775, 76syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
781, 2, 13ltleii 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  pi
79 le0neg2 10123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
0  <_  pi  <->  -u pi  <_  0 ) )
802, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  pi  <->  -u pi  <_  0 )
8178, 80mpbi 211 . . . . . . . . . 10  |-  -u pi  <_  0
8217rexri 9693 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR*
83 xrletr 11455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( -u pi  <_  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <_  A
) )
8482, 55, 83mp3an12 1350 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( (
-u pi  <_  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <_  A
) )
8581, 84mpani 680 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  A  ->  -u pi  <_  A ) )
86 xrltle 11448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  pi ) )
873, 86mpan2 675 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  pi ) )
8885, 87anim12d 565 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  -> 
( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) ) )
89 elicc4 11701 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) ) )
9082, 3, 89mp3an12 1350 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) ) )
9188, 90sylibrd 237 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) ) )
92913impib 1203 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  < 
pi )  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
9357, 92sylbi 198 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
94 cos2h 31849 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
9593, 94syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
9677, 95oveq12d 6319 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  /  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
2 ) )  / 
( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ) )
9754, 96eqtrd 2463 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) )  /  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ) )
98 1re 9642 . . . . 5  |-  1  e.  RR
996recoscld 14185 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
100 resubcl 9938 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
10198, 99, 100sylancr 667 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
102101rehalfcld 10859 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
103 cosbnd 14222 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )
104103simprd 464 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  <_ 
1 )
105 recoscl 14182 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
106 subge0 10127 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( cos `  A ) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
107 halfnneg2 10844 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
108100, 107syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( cos `  A ) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
109106, 108bitr3d 258 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( ( cos `  A
)  <_  1  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
11098, 105, 109sylancr 667 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <_  1  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
111104, 110mpbid 213 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
1126, 111syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
113 readdcl 9622 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR )
11498, 99, 113sylancr 667 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR )
115103simpld 460 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  -u 1  <_  ( cos `  A
) )
11698renegcli 9935 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  RR
117 subge0 10127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  -u 1  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  <->  -u 1  <_  ( cos `  A ) ) )
118105, 116, 117sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( ( cos `  A )  -  -u 1 )  <->  -u 1  <_ 
( cos `  A
) ) )
119 recn 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
120119coscld 14172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
121 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
122 subneg 9923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( ( cos `  A )  +  1 ) )
123 addcom 9819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
124122, 123eqtrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
125120, 121, 124sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
126125breq2d 4432 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( ( cos `  A )  -  -u 1 )  <->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) ) )
127118, 126bitr3d 258 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  <->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) ) )
128115, 127mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) )
1296, 128syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) )
130 snunioo 11758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  < 
pi )  ->  ( { 0 }  u.  ( 0 (,) pi ) )  =  ( 0 [,) pi ) )
13155, 3, 13, 130mp3an 1360 . . . . . . . . 9  |-  ( { 0 }  u.  (
0 (,) pi ) )  =  ( 0 [,) pi )
132131eleq2i 2500 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( { 0 }  u.  ( 0 (,) pi ) )  <-> 
A  e.  ( 0 [,) pi ) )
133 elun 3606 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( { 0 }  u.  ( 0 (,) pi ) )  <-> 
( A  e.  {
0 }  \/  A  e.  ( 0 (,) pi ) ) )
134132, 133bitr3i 254 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  { 0 }  \/  A  e.  ( 0 (,) pi ) ) )
135 elsni 4021 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  { 0 }  ->  A  =  0 )
136 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  0  ->  ( cos `  A )  =  ( cos `  0
) )
137 cos0 14191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( cos `  0 )  =  1
138136, 137syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  0  ->  ( cos `  A )  =  1 )
139138oveq2d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  0  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =  ( 1  +  1 ) )
140 df-2 10668 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =  ( 1  +  1 )
141139, 140syl6eqr 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  0  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =  2 )
14228a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  0  ->  2  =/=  0 )
143141, 142eqnetrd 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
144135, 143syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  { 0 }  ->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =/=  0
)
145 sinq12gt0 23448 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  A
) )
146 ltne 9730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( sin `  A
) )  ->  ( sin `  A )  =/=  0 )
1471, 146mpan 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  ( sin `  A
)  ->  ( sin `  A )  =/=  0
)
148 elioore 11666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  A  e.  RR )
149148recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  A  e.  CC )
150 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  =  ( cos `  A )  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  =  ( cos `  A )  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
152 df-neg 9863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
153152eqeq1i 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  =  ( cos `  A )  <->  ( 0  -  1 )  =  ( cos `  A
) )
154 coscl 14168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
155 0cn 9635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  CC
156 subadd 9878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  ->  (
( 0  -  1 )  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
157155, 121, 156mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( cos `  A )  e.  CC  ->  (
( 0  -  1 )  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
158154, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 0  -  1 )  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
159153, 158syl5bb 260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
160 sincl 14167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
161160sqcld 12413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
162 0cnd 9636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  CC )
163154sqcld 12413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
164161, 162, 163addcan2d 9837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  <->  ( ( sin `  A ) ^ 2 )  =  0 ) )
165 sincossq 14217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
166 neg1sqe1 12369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
167165, 166syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  (
-u 1 ^ 2 ) )
168163addid2d 9834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )
169167, 168eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  <->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )
170 sqeq0 12338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sin `  A )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sin `  A )  =  0 ) )
171160, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sin `  A )  =  0 ) )
172164, 169, 1713bitr3d 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 )  <->  ( sin `  A )  =  0 ) )
173151, 159, 1723imtr3d 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  =  0  -> 
( sin `  A
)  =  0 ) )
174149, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  =  0  -> 
( sin `  A
)  =  0 ) )
175174necon3d 2648 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( sin `  A
)  =/=  0  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 ) )
176147, 175syl5 33 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 ) )
177145, 176mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
178144, 177jaoi 380 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  { 0 }  \/  A  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
179134, 178sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
180114, 129, 179ne0gt0d 9772 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  0  <  ( 1  +  ( cos `  A ) ) )
181114, 180elrpd 11338 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR+ )
182181rphalfcld 11353 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )
183102, 112, 182sqrtdivd 13473 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( sqr `  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
2 )  /  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) )  /  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ) )
1847coscld 14172 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
185 subcl 9874 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
186121, 184, 185sylancr 667 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
187 addcl 9621 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC )
188121, 184, 187sylancr 667 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC )
189 2cnne0 10824 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
190 divcan7 10316 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
)  /  ( ( 1  +  ( cos `  A ) )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  (
1  +  ( cos `  A ) ) ) )
191189, 190mp3an3 1349 . . . 4  |-  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 ) )  ->  ( (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  / 
( ( 1  +  ( cos `  A
) )  /  2
) )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  ( 1  +  ( cos `  A
) ) ) )
192186, 188, 179, 191syl12anc 1262 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
)  /  ( ( 1  +  ( cos `  A ) )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  (
1  +  ( cos `  A ) ) ) )
193192fveq2d 5881 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( sqr `  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
2 )  /  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
( 1  +  ( cos `  A ) ) ) ) )
19497, 183, 1933eqtr2d 2469 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  ( 1  +  ( cos `  A
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618    u. cun 3434    C_ wss 3436   {csn 3996   class class class wbr 4420   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   2c2 10659   (,)cioo 11635   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   ^cexp 12271   Recre 13148   sqrcsqrt 13284   sincsin 14103   cosccos 14104   tanctan 14105   picpi 14106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-ef 14108  df-sin 14110  df-cos 14111  df-tan 14112  df-pi 14113  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808
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