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Theorem tan2h 28450
Description: Half-angle rule for tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
tan2h  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  ( 1  +  ( cos `  A
) ) ) ) )

Proof of Theorem tan2h
StepHypRef Expression
1 0re 9407 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2 pire 21943 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
32rexri 9457 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR*
4 icossre 11397 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
0 [,) pi ) 
C_  RR )
51, 3, 4mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) pi )  C_  RR
65sseli 3373 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  RR )
76recnd 9433 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  CC )
87halfcld 10590 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
96rehalfcld 10592 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
109rered 12734 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
Re `  ( A  /  2 ) )  =  ( A  / 
2 ) )
11 elico2 11380 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) ) )
121, 3, 11mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) )
13 pipos 21945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  pi
14 lt0neg2 9867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
0  <  pi  <->  -u pi  <  0 ) )
152, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <  pi  <->  -u pi  <  0 )
1613, 15mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  <  0
172renegcli 9691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
18 ltletr 9487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( -u pi  <  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <  A ) )
1917, 1, 18mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -u pi  <  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <  A
) )
2016, 19mpani 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  -u pi  <  A ) )
21 2re 10412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
22 2pos 10434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
2321, 22pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
24 ltdiv1 10214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( -u pi  <  A  <->  ( -u pi  /  2 )  <  ( A  /  2 ) ) )
2517, 23, 24mp3an13 1305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u pi  <  A  <->  ( -u pi  /  2 )  <  ( A  /  2 ) ) )
262recni 9419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  CC
27 2cn 10413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
28 2ne0 10435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
29 divneg 10047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
3026, 27, 28, 29mp3an 1314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
3130breq1i 4320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u ( pi  /  2
)  <  ( A  /  2 )  <->  ( -u pi  /  2 )  <  ( A  /  2 ) )
3225, 31syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u pi  <  A  <->  -u ( pi 
/  2 )  < 
( A  /  2
) ) )
3320, 32sylibd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  -u ( pi  /  2
)  <  ( A  /  2 ) ) )
34 ltdiv1 10214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  < 
pi 
<->  ( A  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
352, 23, 34mp3an23 1306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  pi  <->  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) )
3635biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  pi  ->  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) )
3733, 36anim12d 563 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
38 rehalfcl 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
3938rexrd 9454 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e. 
RR* )
40 halfpire 21948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
4140renegcli 9691 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
4241rexri 9457 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
4340rexri 9457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
44 elioo5 11374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  ( A  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
4542, 43, 44mp3an12 1304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR*  ->  ( ( A  /  2 )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
4639, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
4737, 46sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  ( A  / 
2 )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) ) )
48473impib 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
4912, 48sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
5010, 49eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
Re `  ( A  /  2 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
51 cosne0 22008 . . . . 5  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( A  /  2 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  ( A  /  2 ) )  =/=  0 )
528, 50, 51syl2anc 661 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =/=  0 )
53 tanval 13433 . . . 4  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( A  /  2 ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  ( A  /  2 ) )  =  ( ( sin `  ( A  /  2
) )  /  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) )
548, 52, 53syl2anc 661 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  /  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )
55 0xr 9451 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
56 elico1 11364 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) ) )
5755, 3, 56mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) )
5821, 2remulcli 9421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5958rexri 9457 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  e. 
RR*
60 1lt2 10509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  2
61 ltmulgt12 10211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  pi )  ->  (
1  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  pi ) ) )
622, 21, 13, 61mp3an 1314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
6360, 62mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
64 xrlttr 11138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( 2  x.  pi )  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  pi  /\  pi  <  ( 2  x.  pi ) )  ->  A  <  (
2  x.  pi ) ) )
653, 64mp3an2 1302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  (
( A  <  pi  /\  pi  <  ( 2  x.  pi ) )  ->  A  <  (
2  x.  pi ) ) )
6663, 65mpan2i 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  <  pi  ->  A  <  ( 2  x.  pi ) ) )
67 xrltle 11147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  <  ( 2  x.  pi )  ->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
6866, 67syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
6959, 68mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
7069anim2d 565 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  -> 
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
71 elicc4 11383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
7255, 59, 71mp3an12 1304 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
7370, 72sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) ) ) )
74733impib 1185 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  < 
pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] (
2  x.  pi ) ) )
7557, 74sylbi 195 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] (
2  x.  pi ) ) )
76 sin2h 28448 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
7775, 76syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
781, 2, 13ltleii 9518 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  pi
79 le0neg2 9869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
0  <_  pi  <->  -u pi  <_  0 ) )
802, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  pi  <->  -u pi  <_  0 )
8178, 80mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  -u pi  <_  0
8217rexri 9457 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR*
83 xrletr 11153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( -u pi  <_  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <_  A
) )
8482, 55, 83mp3an12 1304 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( (
-u pi  <_  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <_  A
) )
8581, 84mpani 676 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  A  ->  -u pi  <_  A ) )
86 xrltle 11147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  pi ) )
873, 86mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  pi ) )
8885, 87anim12d 563 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  -> 
( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) ) )
89 elicc4 11383 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) ) )
9082, 3, 89mp3an12 1304 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) ) )
9188, 90sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) ) )
92913impib 1185 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  < 
pi )  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
9357, 92sylbi 195 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
94 cos2h 28449 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
9593, 94syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
9677, 95oveq12d 6130 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  /  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
2 ) )  / 
( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ) )
9754, 96eqtrd 2475 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) )  /  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ) )
98 1re 9406 . . . . 5  |-  1  e.  RR
996recoscld 13449 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
100 resubcl 9694 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
10198, 99, 100sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
102101rehalfcld 10592 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
103 cosbnd 13486 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )
104103simprd 463 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  <_ 
1 )
105 recoscl 13446 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
106 subge0 9873 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( cos `  A ) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
107 halfnneg2 10577 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
108100, 107syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( cos `  A ) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
109106, 108bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( ( cos `  A
)  <_  1  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
11098, 105, 109sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <_  1  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
111104, 110mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
1126, 111syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
113 readdcl 9386 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR )
11498, 99, 113sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR )
115103simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  -u 1  <_  ( cos `  A
) )
11698renegcli 9691 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  RR
117 subge0 9873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  -u 1  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  <->  -u 1  <_  ( cos `  A ) ) )
118105, 116, 117sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( ( cos `  A )  -  -u 1 )  <->  -u 1  <_ 
( cos `  A
) ) )
119 recn 9393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
120119coscld 13436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
121 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
122 subneg 9679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( ( cos `  A )  +  1 ) )
123 addcom 9576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
124122, 123eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
125120, 121, 124sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
126125breq2d 4325 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( ( cos `  A )  -  -u 1 )  <->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) ) )
127118, 126bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  <->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) ) )
128115, 127mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) )
1296, 128syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) )
130 snunioo 11432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  < 
pi )  ->  ( { 0 }  u.  ( 0 (,) pi ) )  =  ( 0 [,) pi ) )
13155, 3, 13, 130mp3an 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( { 0 }  u.  (
0 (,) pi ) )  =  ( 0 [,) pi )
132131eleq2i 2507 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( { 0 }  u.  ( 0 (,) pi ) )  <-> 
A  e.  ( 0 [,) pi ) )
133 elun 3518 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( { 0 }  u.  ( 0 (,) pi ) )  <-> 
( A  e.  {
0 }  \/  A  e.  ( 0 (,) pi ) ) )
134132, 133bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  { 0 }  \/  A  e.  ( 0 (,) pi ) ) )
135 elsni 3923 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  { 0 }  ->  A  =  0 )
136 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  0  ->  ( cos `  A )  =  ( cos `  0
) )
137 cos0 13455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( cos `  0 )  =  1
138136, 137syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  0  ->  ( cos `  A )  =  1 )
139138oveq2d 6128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  0  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =  ( 1  +  1 ) )
140 df-2 10401 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =  ( 1  +  1 )
141139, 140syl6eqr 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  0  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =  2 )
14228a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  0  ->  2  =/=  0 )
143141, 142eqnetrd 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
144135, 143syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  { 0 }  ->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =/=  0
)
145 sinq12gt0 21991 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  A
) )
146 ltne 9492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( sin `  A
) )  ->  ( sin `  A )  =/=  0 )
1471, 146mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  ( sin `  A
)  ->  ( sin `  A )  =/=  0
)
148 elioore 11351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  A  e.  RR )
149148recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  A  e.  CC )
150 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  =  ( cos `  A )  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  =  ( cos `  A )  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
152 df-neg 9619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
153152eqeq1i 2450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  =  ( cos `  A )  <->  ( 0  -  1 )  =  ( cos `  A
) )
154 coscl 13432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
155 0cn 9399 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  CC
156 subadd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  ->  (
( 0  -  1 )  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
157155, 121, 156mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( cos `  A )  e.  CC  ->  (
( 0  -  1 )  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
158154, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 0  -  1 )  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
159153, 158syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
160 sincl 13431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
161160sqcld 12027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
162 0cnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  CC )
163154sqcld 12027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
164161, 162, 163addcan2d 9594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  <->  ( ( sin `  A ) ^ 2 )  =  0 ) )
165 sincossq 13481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
166 neg1sqe1 11982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
167165, 166syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  (
-u 1 ^ 2 ) )
168163addid2d 9591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )
169167, 168eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  <->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )
170 sqeq0 11951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sin `  A )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sin `  A )  =  0 ) )
171160, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sin `  A )  =  0 ) )
172164, 169, 1713bitr3d 283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 )  <->  ( sin `  A )  =  0 ) )
173151, 159, 1723imtr3d 267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  =  0  -> 
( sin `  A
)  =  0 ) )
174149, 173syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  =  0  -> 
( sin `  A
)  =  0 ) )
175174necon3d 2670 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( sin `  A
)  =/=  0  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 ) )
176147, 175syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 ) )
177145, 176mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
178144, 177jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  { 0 }  \/  A  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
179134, 178sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
180114, 129, 179ne0gt0d 9532 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  0  <  ( 1  +  ( cos `  A ) ) )
181114, 180elrpd 11046 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR+ )
182181rphalfcld 11060 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )
183102, 112, 182sqrdivd 12931 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( sqr `  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
2 )  /  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) )  /  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ) )
1847coscld 13436 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
185 subcl 9630 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
186121, 184, 185sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
187 addcl 9385 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC )
188121, 184, 187sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC )
189 2cnne0 10557 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
190 divcan7 10061 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
)  /  ( ( 1  +  ( cos `  A ) )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  (
1  +  ( cos `  A ) ) ) )
191189, 190mp3an3 1303 . . . 4  |-  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 ) )  ->  ( (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  / 
( ( 1  +  ( cos `  A
) )  /  2
) )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  ( 1  +  ( cos `  A
) ) ) )
192186, 188, 179, 191syl12anc 1216 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
)  /  ( ( 1  +  ( cos `  A ) )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  (
1  +  ( cos `  A ) ) ) )
193192fveq2d 5716 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( sqr `  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
2 )  /  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
( 1  +  ( cos `  A ) ) ) ) )
19497, 183, 1933eqtr2d 2481 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  ( 1  +  ( cos `  A
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    u. cun 3347    C_ wss 3349   {csn 3898   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616   -ucneg 9617    / cdiv 10014   2c2 10392   (,)cioo 11321   [,)cico 11323   [,]cicc 11324   ^cexp 11886   Recre 12607   sqrcsqr 12743   sincsin 13370   cosccos 13371   tanctan 13372   picpi 13373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-sin 13376  df-cos 13377  df-tan 13378  df-pi 13379  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364
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