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Theorem tan2h 30212
Description: Half-angle rule for tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
tan2h  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  ( 1  +  ( cos `  A
) ) ) ) )

Proof of Theorem tan2h
StepHypRef Expression
1 0re 9507 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2 pire 22936 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
32rexri 9557 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR*
4 icossre 11526 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
0 [,) pi ) 
C_  RR )
51, 3, 4mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) pi )  C_  RR
65sseli 3413 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  RR )
76recnd 9533 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  CC )
87halfcld 10700 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
96rehalfcld 10702 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
109rered 13059 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
Re `  ( A  /  2 ) )  =  ( A  / 
2 ) )
11 elico2 11509 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) ) )
121, 3, 11mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) )
13 pipos 22938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  pi
14 lt0neg2 9977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
0  <  pi  <->  -u pi  <  0 ) )
152, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <  pi  <->  -u pi  <  0 )
1613, 15mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  <  0
172renegcli 9793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
18 ltletr 9587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( -u pi  <  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <  A ) )
1917, 1, 18mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -u pi  <  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <  A
) )
2016, 19mpani 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  -u pi  <  A ) )
21 2re 10522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
22 2pos 10544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
2321, 22pm3.2i 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
24 ltdiv1 10323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( -u pi  <  A  <->  ( -u pi  /  2 )  <  ( A  /  2 ) ) )
2517, 23, 24mp3an13 1313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u pi  <  A  <->  ( -u pi  /  2 )  <  ( A  /  2 ) ) )
26 picn 22937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  CC
27 2cn 10523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
28 2ne0 10545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
29 divneg 10156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
3026, 27, 28, 29mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
3130breq1i 4374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u ( pi  /  2
)  <  ( A  /  2 )  <->  ( -u pi  /  2 )  <  ( A  /  2 ) )
3225, 31syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u pi  <  A  <->  -u ( pi 
/  2 )  < 
( A  /  2
) ) )
3320, 32sylibd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  -u ( pi  /  2
)  <  ( A  /  2 ) ) )
34 ltdiv1 10323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  < 
pi 
<->  ( A  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
352, 23, 34mp3an23 1314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  pi  <->  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) )
3635biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  pi  ->  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) )
3733, 36anim12d 561 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
38 rehalfcl 10682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
3938rexrd 9554 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e. 
RR* )
40 halfpire 22942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
4140renegcli 9793 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
4241rexri 9557 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
4340rexri 9557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
44 elioo5 11503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  ( A  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
4542, 43, 44mp3an12 1312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR*  ->  ( ( A  /  2 )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
4639, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
4737, 46sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  ( A  / 
2 )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) ) )
48473impib 1192 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
4912, 48sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
5010, 49eqeltrd 2470 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
Re `  ( A  /  2 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
51 cosne0 23002 . . . . 5  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( A  /  2 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  ( A  /  2 ) )  =/=  0 )
528, 50, 51syl2anc 659 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =/=  0 )
53 tanval 13865 . . . 4  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( A  /  2 ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  ( A  /  2 ) )  =  ( ( sin `  ( A  /  2
) )  /  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) )
548, 52, 53syl2anc 659 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  /  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )
55 0xr 9551 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
56 elico1 11493 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) ) )
5755, 3, 56mp2an 670 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <  pi ) )
5821, 2remulcli 9521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5958rexri 9557 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  e. 
RR*
60 1lt2 10619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  2
61 ltmulgt12 10320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  pi )  ->  (
1  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  pi ) ) )
622, 21, 13, 61mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  <  2  <->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
6360, 62mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
64 xrlttr 11267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( 2  x.  pi )  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  pi  /\  pi  <  ( 2  x.  pi ) )  ->  A  <  (
2  x.  pi ) ) )
653, 64mp3an2 1310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  (
( A  <  pi  /\  pi  <  ( 2  x.  pi ) )  ->  A  <  (
2  x.  pi ) ) )
6663, 65mpan2i 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  <  pi  ->  A  <  ( 2  x.  pi ) ) )
67 xrltle 11276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  <  ( 2  x.  pi )  ->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
6866, 67syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
6959, 68mpan2 669 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
7069anim2d 563 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  -> 
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
71 elicc4 11512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
7255, 59, 71mp3an12 1312 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
7370, 72sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) ) ) )
74733impib 1192 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  < 
pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] (
2  x.  pi ) ) )
7557, 74sylbi 195 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] (
2  x.  pi ) ) )
76 sin2h 30210 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  pi ) )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
7775, 76syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
781, 2, 13ltleii 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  pi
79 le0neg2 9979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
0  <_  pi  <->  -u pi  <_  0 ) )
802, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  pi  <->  -u pi  <_  0 )
8178, 80mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  -u pi  <_  0
8217rexri 9557 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR*
83 xrletr 11282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( -u pi  <_  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <_  A
) )
8482, 55, 83mp3an12 1312 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( (
-u pi  <_  0  /\  0  <_  A )  ->  -u pi  <_  A
) )
8581, 84mpani 674 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <_  A  ->  -u pi  <_  A ) )
86 xrltle 11276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  pi ) )
873, 86mpan2 669 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <  pi  ->  A  <_  pi ) )
8885, 87anim12d 561 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  -> 
( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) ) )
89 elicc4 11512 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) ) )
9082, 3, 89mp3an12 1312 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) ) )
9188, 90sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  pi )  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) ) )
92913impib 1192 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  < 
pi )  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
9357, 92sylbi 195 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
94 cos2h 30211 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
9593, 94syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
9677, 95oveq12d 6214 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  /  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
2 ) )  / 
( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ) )
9754, 96eqtrd 2423 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) )  /  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ) )
98 1re 9506 . . . . 5  |-  1  e.  RR
996recoscld 13881 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
100 resubcl 9796 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
10198, 99, 100sylancr 661 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR )
102101rehalfcld 10702 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
103 cosbnd 13918 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )
104103simprd 461 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  <_ 
1 )
105 recoscl 13878 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
106 subge0 9983 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( cos `  A ) )  <->  ( cos `  A )  <_  1
) )
107 halfnneg2 10687 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( 1  -  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
108100, 107syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( cos `  A ) )  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
109106, 108bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( ( cos `  A
)  <_  1  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
11098, 105, 109sylancr 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <_  1  <->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
111104, 110mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
1126, 111syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
) )
113 readdcl 9486 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR )
11498, 99, 113sylancr 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR )
115103simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  -u 1  <_  ( cos `  A
) )
11698renegcli 9793 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  RR
117 subge0 9983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  -u 1  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  <->  -u 1  <_  ( cos `  A ) ) )
118105, 116, 117sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( ( cos `  A )  -  -u 1 )  <->  -u 1  <_ 
( cos `  A
) ) )
119 recn 9493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
120119coscld 13868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
121 ax-1cn 9461 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
122 subneg 9781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( ( cos `  A )  +  1 ) )
123 addcom 9677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
124122, 123eqtrd 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
125120, 121, 124sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
126125breq2d 4379 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( ( cos `  A )  -  -u 1 )  <->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) ) )
127118, 126bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  <->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) ) )
128115, 127mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) )
1296, 128syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  0  <_  ( 1  +  ( cos `  A ) ) )
130 snunioo 11567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  < 
pi )  ->  ( { 0 }  u.  ( 0 (,) pi ) )  =  ( 0 [,) pi ) )
13155, 3, 13, 130mp3an 1322 . . . . . . . . 9  |-  ( { 0 }  u.  (
0 (,) pi ) )  =  ( 0 [,) pi )
132131eleq2i 2460 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( { 0 }  u.  ( 0 (,) pi ) )  <-> 
A  e.  ( 0 [,) pi ) )
133 elun 3559 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( { 0 }  u.  ( 0 (,) pi ) )  <-> 
( A  e.  {
0 }  \/  A  e.  ( 0 (,) pi ) ) )
134132, 133bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  <->  ( A  e.  { 0 }  \/  A  e.  ( 0 (,) pi ) ) )
135 elsni 3969 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  { 0 }  ->  A  =  0 )
136 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  0  ->  ( cos `  A )  =  ( cos `  0
) )
137 cos0 13887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( cos `  0 )  =  1
138136, 137syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  0  ->  ( cos `  A )  =  1 )
139138oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  0  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =  ( 1  +  1 ) )
140 df-2 10511 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =  ( 1  +  1 )
141139, 140syl6eqr 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  0  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =  2 )
14228a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  0  ->  2  =/=  0 )
143141, 142eqnetrd 2675 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
144135, 143syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  { 0 }  ->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =/=  0
)
145 sinq12gt0 22985 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  A
) )
146 ltne 9592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( sin `  A
) )  ->  ( sin `  A )  =/=  0 )
1471, 146mpan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  ( sin `  A
)  ->  ( sin `  A )  =/=  0
)
148 elioore 11480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  A  e.  RR )
149148recnd 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  A  e.  CC )
150 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  =  ( cos `  A )  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  =  ( cos `  A )  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
152 df-neg 9721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
153152eqeq1i 2389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  =  ( cos `  A )  <->  ( 0  -  1 )  =  ( cos `  A
) )
154 coscl 13864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
155 0cn 9499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  CC
156 subadd 9736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  ->  (
( 0  -  1 )  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
157155, 121, 156mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( cos `  A )  e.  CC  ->  (
( 0  -  1 )  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
158154, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 0  -  1 )  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
159153, 158syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  =  ( cos `  A )  <->  ( 1  +  ( cos `  A
) )  =  0 ) )
160 sincl 13863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
161160sqcld 12210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
162 0cnd 9500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  CC )
163154sqcld 12210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
164161, 162, 163addcan2d 9695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  <->  ( ( sin `  A ) ^ 2 )  =  0 ) )
165 sincossq 13913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
166 neg1sqe1 12166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
167165, 166syl6eqr 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  (
-u 1 ^ 2 ) )
168163addid2d 9692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )
169167, 168eqeq12d 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  <->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )
170 sqeq0 12135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sin `  A )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sin `  A )  =  0 ) )
171160, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( sin `  A )  =  0 ) )
172164, 169, 1713bitr3d 283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( -u 1 ^ 2 )  =  ( ( cos `  A ) ^ 2 )  <->  ( sin `  A )  =  0 ) )
173151, 159, 1723imtr3d 267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  =  0  -> 
( sin `  A
)  =  0 ) )
174149, 173syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  =  0  -> 
( sin `  A
)  =  0 ) )
175174necon3d 2606 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( sin `  A
)  =/=  0  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 ) )
176147, 175syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 ) )
177145, 176mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
178144, 177jaoi 377 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  { 0 }  \/  A  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
179134, 178sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )
180114, 129, 179ne0gt0d 9633 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  0  <  ( 1  +  ( cos `  A ) ) )
181114, 180elrpd 11174 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR+ )
182181rphalfcld 11189 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR+ )
183102, 112, 182sqrtdivd 13257 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( sqr `  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
2 )  /  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 ) )  /  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ) )
1847coscld 13868 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
185 subcl 9732 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
186121, 184, 185sylancr 661 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC )
187 addcl 9485 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC )
188121, 184, 187sylancr 661 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC )
189 2cnne0 10667 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
190 divcan7 10170 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
)  /  ( ( 1  +  ( cos `  A ) )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  (
1  +  ( cos `  A ) ) ) )
191189, 190mp3an3 1311 . . . 4  |-  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( cos `  A ) )  =/=  0 ) )  ->  ( (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  2 )  / 
( ( 1  +  ( cos `  A
) )  /  2
) )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  /  ( 1  +  ( cos `  A
) ) ) )
192186, 188, 179, 191syl12anc 1224 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  (
( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  2
)  /  ( ( 1  +  ( cos `  A ) )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  -  ( cos `  A
) )  /  (
1  +  ( cos `  A ) ) ) )
193192fveq2d 5778 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( sqr `  ( ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
2 )  /  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1  -  ( cos `  A ) )  / 
( 1  +  ( cos `  A ) ) ) ) )
19497, 183, 1933eqtr2d 2429 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,) pi )  ->  ( tan `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  -  ( cos `  A ) )  /  ( 1  +  ( cos `  A
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577    u. cun 3387    C_ wss 3389   {csn 3944   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   -ucneg 9719    / cdiv 10123   2c2 10502   (,)cioo 11450   [,)cico 11452   [,]cicc 11453   ^cexp 12069   Recre 12932   sqrcsqrt 13068   sincsin 13801   cosccos 13802   tanctan 13803   picpi 13804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-tan 13809  df-pi 13810  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-limc 22355  df-dv 22356
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