MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tan0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem tan0 14198
Description: The value of the tangent function at zero is zero. (Contributed by David A. Wheeler, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
tan0  |-  ( tan `  0 )  =  0

Proof of Theorem tan0
StepHypRef Expression
1 0cn 9632 . . 3  |-  0  e.  CC
2 cos0 14197 . . . 4  |-  ( cos `  0 )  =  1
3 ax-1ne0 9605 . . . 4  |-  1  =/=  0
42, 3eqnetri 2693 . . 3  |-  ( cos `  0 )  =/=  0
5 tanval 14175 . . 3  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( cos `  0 )  =/=  0 )  -> 
( tan `  0
)  =  ( ( sin `  0 )  /  ( cos `  0
) ) )
61, 4, 5mp2an 677 . 2  |-  ( tan `  0 )  =  ( ( sin `  0
)  /  ( cos `  0 ) )
7 sin0 14196 . . 3  |-  ( sin `  0 )  =  0
87oveq1i 6298 . 2  |-  ( ( sin `  0 )  /  ( cos `  0
) )  =  ( 0  /  ( cos `  0 ) )
9 ax-1cn 9594 . . . 4  |-  1  e.  CC
102, 9eqeltri 2524 . . 3  |-  ( cos `  0 )  e.  CC
1110, 4div0i 10338 . 2  |-  ( 0  /  ( cos `  0
) )  =  0
126, 8, 113eqtri 2476 1  |-  ( tan `  0 )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   0cc0 9536   1c1 9537    / cdiv 10266   sincsin 14109   cosccos 14110   tanctan 14111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-ico 11638  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-tan 14118
This theorem is referenced by:  tanabsge  23454
  Copyright terms: Public domain W3C validator