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Theorem t1t0 20357
Description: A T1 space is a T0 space. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
t1t0  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )

Proof of Theorem t1t0
Dummy variables  x  y  o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 20339 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2450 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 19941 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 200 . 2  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 biimp 197 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o ) )
65ralimi 2780 . . . . . . 7  |-  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
76imim1i 60 . . . . . 6  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
87ralimi 2780 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
98ralimi 2780 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
109a1i 11 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
11 ist1-2 20356 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
12 ist0-2 20353 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
1310, 11, 123imtr4d 272 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 ) )
144, 13mpcom 37 1  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    e. wcel 1886   A.wral 2736   U.cuni 4197   ` cfv 5581   Topctop 19910  TopOnctopon 19911   Kol2ct0 20315   Frect1 20316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fv 5589  df-topgen 15335  df-top 19914  df-topon 19916  df-cld 20027  df-t0 20322  df-t1 20323
This theorem is referenced by:  t1r0  20829  ist1-5  20830  ishaus3  20831  reghaus  20833  nrmhaus  20834  tgpt0  21126
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