Theorem t1t0 15547

Description: A T1 space is a T0 space.

Assertion

Ref	Expression
t1t0	|- (J e. Fre -> J e. Kol2)

Proof of Theorem t1t0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . . . 7 |- U.J = U.J
2	1	t1sep 15546	. . . . . 6 |- ((J e. Fre /\ (x e. U.J /\ y e. U.J /\ x =/= y)) -> E.o e. J (x e. o /\ -. y e. o))
3		orc 291	. . . . . . 7 |- ((x e. o /\ -. y e. o) -> ((x e. o /\ -. y e. o) \/ (-. x e. o /\ y e. o)))
4	3	reximi 2198	. . . . . 6 |- (E.o e. J (x e. o /\ -. y e. o) -> E.o e. J ((x e. o /\ -. y e. o) \/ (-. x e. o /\ y e. o)))
5	2, 4	syl 12	. . . . 5 |- ((J e. Fre /\ (x e. U.J /\ y e. U.J /\ x =/= y)) -> E.o e. J ((x e. o /\ -. y e. o) \/ (-. x e. o /\ y e. o)))
6	5	3exp2 1086	. . . 4 |- (J e. Fre -> (x e. U.J -> (y e. U.J -> (x =/= y -> E.o e. J ((x e. o /\ -. y e. o) \/ (-. x e. o /\ y e. o))))))
7	6	imp3a 388	. . 3 |- (J e. Fre -> ((x e. U.J /\ y e. U.J) -> (x =/= y -> E.o e. J ((x e. o /\ -. y e. o) \/ (-. x e. o /\ y e. o)))))
8	7	r19.21aivv 2183	. 2 |- (J e. Fre -> A.x e. U.JA.y e. U.J(x =/= y -> E.o e. J ((x e. o /\ -. y e. o) \/ (-. x e. o /\ y e. o))))
9		t1top 15544	. . 3 |- (J e. Fre -> J e. Top)
10	1	ist0-2 15539	. . 3 |- (J e. Top -> (J e. Kol2 <-> A.x e. U.JA.y e. U.J(x =/= y -> E.o e. J ((x e. o /\ -. y e. o) \/ (-. x e. o /\ y e. o)))))
11	9, 10	syl 12	. 2 |- (J e. Fre -> (J e. Kol2 <-> A.x e. U.JA.y e. U.J(x =/= y -> E.o e. J ((x e. o /\ -. y e. o) \/ (-. x e. o /\ y e. o)))))
12	8, 11	mpbird 213	1 |- (J e. Fre -> J e. Kol2)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  U.cuni 3177  Topctop 8857  Frect1 10334  Kol2ct0ALT 15532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-t1 10335  df-t0ALT 15535

Copyright terms: Public domain