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Theorem t1t0 17366
Description: A T1 space is a T0 space. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
t1t0  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )

Proof of Theorem t1t0
Dummy variables  x  y  o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 17348 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2404 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 16953 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 189 . 2  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 bi1 179 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o ) )
65ralimi 2741 . . . . . . 7  |-  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
76imim1i 56 . . . . . 6  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
87ralimi 2741 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
98ralimi 2741 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
109a1i 11 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
11 ist1-2 17365 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
12 ist0-2 17362 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
1310, 11, 123imtr4d 260 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 ) )
144, 13mpcom 34 1  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1721   A.wral 2666   U.cuni 3975   ` cfv 5413   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   Kol2ct0 17324   Frect1 17325
This theorem is referenced by:  t1r0  17806  ist1-5  17807  ishaus3  17808  reghaus  17810  nrmhaus  17811  tgpt0  18101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-topgen 13622  df-top 16918  df-topon 16921  df-cld 17038  df-t0 17331  df-t1 17332
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