Theorem t1sncld 15545

Description: In a T1 space, one-point sets are closed.

Hypothesis

Ref	Expression
t1sncld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
t1sncld	|- ((J e. Fre /\ A e. X) -> {A} e. (Clsd` J))

Proof of Theorem t1sncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1sncld.1	. . . . 5 |- X = U.J
2	1	ist1 10336	. . . 4 |- (J e. Fre <-> (J e. Top /\ A.x e. X {x} e. (Clsd` J)))
3	2	simprbi 353	. . 3 |- (J e. Fre -> A.x e. X {x} e. (Clsd` J))
4		sneq 3054	. . . . 5 |- (x = A -> {x} = {A})
5	4	eleq1d 1963	. . . 4 |- (x = A -> ({x} e. (Clsd` J) <-> {A} e. (Clsd` J)))
6	5	rcla4cv 2377	. . 3 |- (A.x e. X {x} e. (Clsd` J) -> (A e. X -> {A} e. (Clsd` J)))
7	3, 6	syl 12	. 2 |- (J e. Fre -> (A e. X -> {A} e. (Clsd` J)))
8	7	imp 377	1 |- ((J e. Fre /\ A e. X) -> {A} e. (Clsd` J))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {csn 3044  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  Clsdccld 8936  Frect1 10334

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-t1 10335

Copyright terms: Public domain