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Theorem t1sep2 18988
Description: Any two points in a T1 space which have no separation are equal. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
t1sep2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A  =  B ) )
Distinct variable groups:    A, o    B, o    o, J    o, X

Proof of Theorem t1sep2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 18949 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
2 t1sep.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
32toptopon 18553 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
41, 3sylib 196 . . . . 5  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
5 ist1-2 18966 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( J  e.  Fre  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
76ibi 241 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
8 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  o  <->  A  e.  o ) )
98imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  ( A  e.  o  ->  y  e.  o ) ) )
109ralbidv 2750 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o ) ) )
11 eqeq1 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  y  <->  A  =  y ) )
1210, 11imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A  =  y )
) )
13 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  o  <->  B  e.  o ) )
1413imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  ( A  e.  o  ->  B  e.  o ) ) )
1514ralbidv 2750 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o ) ) )
16 eqeq2 2452 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( A  =  y  <->  A  =  B ) )
1715, 16imbi12d 320 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A  =  y )  <->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A  =  B )
) )
1812, 17rspc2v 3094 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A  =  B ) ) )
197, 18mpan9 469 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A  =  B ) )
20193impb 1183 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2730   U.cuni 4106   ` cfv 5433   Topctop 18513  TopOnctopon 18514   Frect1 18926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fv 5441  df-topgen 14397  df-top 18518  df-topon 18521  df-cld 18638  df-t1 18933
This theorem is referenced by:  t1sep  18989  isr0  19325
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