Theorem t1sep 15546

Description: Any two distinct points in a T1 space are separated by an open set.

Hypothesis

Ref	Expression
t1sep.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
t1sep	|- ((J e. Fre /\ (A e. X /\ B e. X /\ A =/= B)) -> E.o e. J (A e. o /\ -. B e. o))

Distinct variable groups:   A,o   B,o   o,J   o,X

Proof of Theorem t1sep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1top 15544	. . . 4 |- (J e. Fre -> J e. Top)
2		t1sep.1	. . . . . 6 |- X = U.J
3	2	ist1-2 15542	. . . . 5 |- (J e. Top -> (J e. Fre <-> A.x e. X A.y e. X (x =/= y -> E.o e. J (x e. o /\ -. y e. o))))
4	3	biimpd 170	. . . 4 |- (J e. Top -> (J e. Fre -> A.x e. X A.y e. X (x =/= y -> E.o e. J (x e. o /\ -. y e. o))))
5	1, 4	mpcom 60	. . 3 |- (J e. Fre -> A.x e. X A.y e. X (x =/= y -> E.o e. J (x e. o /\ -. y e. o)))
6		neeq1 2024	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (x =/= y <-> A =/= y))
7		eleq1 1957	. . . . . . . . . 10 |- (x = A -> (x e. o <-> A e. o))
8	7	anbi1d 679	. . . . . . . . 9 |- (x = A -> ((x e. o /\ -. y e. o) <-> (A e. o /\ -. y e. o)))
9	8	rexbidv 2124	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (E.o e. J (x e. o /\ -. y e. o) <-> E.o e. J (A e. o /\ -. y e. o)))
10	6, 9	imbi12d 688	. . . . . . 7 |- (x = A -> ((x =/= y -> E.o e. J (x e. o /\ -. y e. o)) <-> (A =/= y -> E.o e. J (A e. o /\ -. y e. o))))
11		neeq2 2025	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (A =/= y <-> A =/= B))
12		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (y = B -> (y e. o <-> B e. o))
13	12	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- (y = B -> (-. y e. o <-> -. B e. o))
14	13	anbi2d 678	. . . . . . . . 9 |- (y = B -> ((A e. o /\ -. y e. o) <-> (A e. o /\ -. B e. o)))
15	14	rexbidv 2124	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (E.o e. J (A e. o /\ -. y e. o) <-> E.o e. J (A e. o /\ -. B e. o)))
16	11, 15	imbi12d 688	. . . . . . 7 |- (y = B -> ((A =/= y -> E.o e. J (A e. o /\ -. y e. o)) <-> (A =/= B -> E.o e. J (A e. o /\ -. B e. o))))
17	10, 16	rcla42v 2384	. . . . . 6 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X A.y e. X (x =/= y -> E.o e. J (x e. o /\ -. y e. o)) -> (A =/= B -> E.o e. J (A e. o /\ -. B e. o))))
18	17	com12 14	. . . . 5 |- (A.x e. X A.y e. X (x =/= y -> E.o e. J (x e. o /\ -. y e. o)) -> ((A e. X /\ B e. X) -> (A =/= B -> E.o e. J (A e. o /\ -. B e. o))))
19	18	exp3a 405	. . . 4 |- (A.x e. X A.y e. X (x =/= y -> E.o e. J (x e. o /\ -. y e. o)) -> (A e. X -> (B e. X -> (A =/= B -> E.o e. J (A e. o /\ -. B e. o)))))
20	19	3impd 1082	. . 3 |- (A.x e. X A.y e. X (x =/= y -> E.o e. J (x e. o /\ -. y e. o)) -> ((A e. X /\ B e. X /\ A =/= B) -> E.o e. J (A e. o /\ -. B e. o)))
21	5, 20	syl 12	. 2 |- (J e. Fre -> ((A e. X /\ B e. X /\ A =/= B) -> E.o e. J (A e. o /\ -. B e. o)))
22	21	imp 377	1 |- ((J e. Fre /\ (A e. X /\ B e. X /\ A =/= B)) -> E.o e. J (A e. o /\ -. B e. o))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  U.cuni 3177  Topctop 8857  Frect1 10334

This theorem is referenced by:  t1t0 15547

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-t1 10335

Copyright terms: Public domain