MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1ficld Structured version   Unicode version

Theorem t1ficld 20121
Description: In a T1 space, finite sets are closed. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ist0.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
t1ficld  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem t1ficld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunid 4326 . 2  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  A
2 ist0.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
32ist1 20115 . . . . 5  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  X  { x }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
43simplbi 458 . . . 4  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
543ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  J  e.  Top )
6 simp3 999 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
73simprbi 462 . . . . 5  |-  ( J  e.  Fre  ->  A. x  e.  X  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
8 ssralv 3503 . . . . 5  |-  ( A 
C_  X  ->  ( A. x  e.  X  { x }  e.  ( Clsd `  J )  ->  A. x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J )
) )
97, 8mpan9 467 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X )  ->  A. x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
1093adant3 1017 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
112iuncld 19838 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  {
x }  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  U_ x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J
) )
125, 6, 10, 11syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
131, 12syl5eqelr 2495 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754    C_ wss 3414   {csn 3972   U.cuni 4191   U_ciun 4271   ` cfv 5569   Fincfn 7554   Topctop 19686   Clsdccld 19809   Frect1 20101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-fin 7558  df-top 19691  df-cld 19812  df-t1 20108
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator