MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1ficld Structured version   Unicode version

Theorem t1ficld 19594
Description: In a T1 space, finite sets are closed. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ist0.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
t1ficld  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem t1ficld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunid 4380 . 2  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  A
2 ist0.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
32ist1 19588 . . . . 5  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  X  { x }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
43simplbi 460 . . . 4  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
543ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  J  e.  Top )
6 simp3 998 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
73simprbi 464 . . . . 5  |-  ( J  e.  Fre  ->  A. x  e.  X  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
8 ssralv 3564 . . . . 5  |-  ( A 
C_  X  ->  ( A. x  e.  X  { x }  e.  ( Clsd `  J )  ->  A. x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J )
) )
97, 8mpan9 469 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X )  ->  A. x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
1093adant3 1016 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
112iuncld 19312 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  {
x }  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  U_ x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J
) )
125, 6, 10, 11syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
131, 12syl5eqelr 2560 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  A  C_  X  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   {csn 4027   U.cuni 4245   U_ciun 4325   ` cfv 5586   Fincfn 7513   Topctop 19161   Clsdccld 19283   Frect1 19574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517  df-top 19166  df-cld 19286  df-t1 19581
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator